Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 2: Mechanik flüssiger Körper. Prag, 1832.
Bahn des ausfliessenden Wassers. rechnen sey. In diesem Strahle fand Newton wirklich die Geschwindigkeit c = 2 sqrt g.h;demnach wird auch die Richtigkeit dieser Formel durch die dritte Methode bestätigt. Zur Bestimmung der beständigen Grösse setzen wir den Querschnitt der Röhre im oberstenFig.
6. Tab. 46. Punkte = A, so haben wir, weil in diesem Punkte y = 0 und die Fläche [Formel 1] = 0 ist, 0 = [Formel 2] + Konst. demnach ist Konst. = -- [Formel 3] . Wenn wir nun das Integrale von der obersten Querschnittsfläche A' A = A bis zur untersten B' B = U nehmen und den Querschnitt am Ende der Röhre z = U setzen, so erhalten wir y = [Formel 4] . In dieser Gleichung ist y die ganze Höhe des Ge- fässes = C D = Y und [Formel 5] die Geschwindigkeit, womit das Theilchen d M am Ende der Röhre a m e nach der Richtung seiner Bahn bei e ausfliesst, die wir = V setzen wollen; und eben so ist [Formel 6] die Geschwindigkeit, welche das Theilchen d M am Anfange der Röhre bei a besitzt, und die wir a nennen wollen. Daraus ergibt sich [Formel 7] . Für den Beharrungsstand des Wassers, wenn nämlich dem Gefässe oben eben soviel Wasser zugeführt wird, als unten abfliesst, ist die Geschwindigkeit c an dem bestimmten Orte un- veränderlich dieselbe, demnach d c = 0. Wir haben also für den Beharrungsstand die Geschwin- digkeitshöhe des Ausflusses [Formel 8] , d. h. die Geschwindigkeitshöhe in der Aus- flussöffnung ist = der Höhe Y des Wasserstandes ober der Oeffnung + der Geschwindigkeitshöhe an der Oberfläche des Wassers, womit dasselbe nämlich in den Wasserspiegel eintritt. Dieser Satz stimmt mit demjenigen überein, welchen wir §. 510 bei der Bewegung über schiefe Flächen gefunden und für alle krummen Linien, welche Körper durch die Schwerkraft beschreiben, bewiesen haben. Auf gleiche Art, wie wir hier die Bewegung des Wassertheiles d M durch die Röhre a m n e berechnet haben, können wir nun das ganze im Gefässe A A' B' B enthaltene Wasser in eine unzäh- lige Anzahl analoger Röhren eintheilen, und für jedes Theilchen die Geschwindigkeit des Wassers in der Oeffnung B' B bestimmen. II. Weil aber die Richtungen dieser Geschwindigkeiten nicht zu einander parallel sind, son-Fig. 7. dern mit der senkrechten Linie M e einen Winkel bilden, welcher von der Gestalt des Gefässes und von der krummen Linie, die das Element d M zwischen den übrigen flüssigen Theilen von a bis e beschreibt, abhängig ist, so müssen wir noch die Bewegung des Wassers ausser- halb der Oeffnung B B' (Fig. 6) oder im freien Raume von e bis u untersuchen, und dadurch den 2ten Theil der im Eingange aufgestellten Frage beantworten. Zu dieser Absicht sey e p q u die Fortsetzung der Bahn a m n e, welche nämlich das Wassertheil- chen d M ausserhalb des Gefässes beschreibt, die Geschwindigkeit in e sey wie zuvor = V, die Geschwindigkeit in p = n, der Raum p q = d s und der Winkel q p u', den nämlich die Bahn mit der senkrechten Linie macht = l. Die Coordinaten der krummen Linie seyen e' p = y und e e' = x. Da das Element d M in p von der Schwere nach der senkrechten Richtung herabgezogen wird, so wollen wir das Gewicht d M desselben durch die Senkrechte p O vorstellen, und diese Kraft in zwei andere, nämlich in p P = d M . Cos l nach der Richtung der Bahn, und in p Q = d M . Sin l nach der winkelrechten Richtung auf die Bahn zerlegen. Demnach geben uns die allgemeinen Gesetze der beschleunigten Bewegung d M : 2 g . d t = d M . Cos l : d n. Setzen wir statt d t den Werth [Formel 9] , so erhalten wir die Beschleunigung d n = 2 g · [Formel 10] · Cos l, weil aber d s . Cos l = d y ist, so folgt n . d n = 2 g . d y und hieraus n2 = 4 g . y + Konst. Zur Bestimmung der Konstanten wissen wir, dass in der Oeffnung B' B die Abscisse y = 0 ist und die Geschwindigkeit n = V werden muss, also Bahn des ausfliessenden Wassers. rechnen sey. In diesem Strahle fand Newton wirklich die Geschwindigkeit c = 2 √ g.h;demnach wird auch die Richtigkeit dieser Formel durch die dritte Methode bestätigt. Zur Bestimmung der beständigen Grösse setzen wir den Querschnitt der Röhre im oberstenFig.
6. Tab. 46. Punkte = A, so haben wir, weil in diesem Punkte y = 0 und die Fläche [Formel 1] = 0 ist, 0 = [Formel 2] + Konst. demnach ist Konst. = — [Formel 3] . Wenn wir nun das Integrale von der obersten Querschnittsfläche A' A = A bis zur untersten B' B = U nehmen und den Querschnitt am Ende der Röhre z = U setzen, so erhalten wir y = [Formel 4] . In dieser Gleichung ist y die ganze Höhe des Ge- fässes = C D = Y und [Formel 5] die Geschwindigkeit, womit das Theilchen d M am Ende der Röhre a m e nach der Richtung seiner Bahn bei e ausfliesst, die wir = V setzen wollen; und eben so ist [Formel 6] die Geschwindigkeit, welche das Theilchen d M am Anfange der Röhre bei a besitzt, und die wir α nennen wollen. Daraus ergibt sich [Formel 7] . Für den Beharrungsstand des Wassers, wenn nämlich dem Gefässe oben eben soviel Wasser zugeführt wird, als unten abfliesst, ist die Geschwindigkeit c an dem bestimmten Orte un- veränderlich dieselbe, demnach d c = 0. Wir haben also für den Beharrungsstand die Geschwin- digkeitshöhe des Ausflusses [Formel 8] , d. h. die Geschwindigkeitshöhe in der Aus- flussöffnung ist = der Höhe Y des Wasserstandes ober der Oeffnung + der Geschwindigkeitshöhe an der Oberfläche des Wassers, womit dasselbe nämlich in den Wasserspiegel eintritt. Dieser Satz stimmt mit demjenigen überein, welchen wir §. 510 bei der Bewegung über schiefe Flächen gefunden und für alle krummen Linien, welche Körper durch die Schwerkraft beschreiben, bewiesen haben. Auf gleiche Art, wie wir hier die Bewegung des Wassertheiles d M durch die Röhre a m n e berechnet haben, können wir nun das ganze im Gefässe A A' B' B enthaltene Wasser in eine unzäh- lige Anzahl analoger Röhren eintheilen, und für jedes Theilchen die Geschwindigkeit des Wassers in der Oeffnung B' B bestimmen. II. Weil aber die Richtungen dieser Geschwindigkeiten nicht zu einander parallel sind, son-Fig. 7. dern mit der senkrechten Linie M e einen Winkel bilden, welcher von der Gestalt des Gefässes und von der krummen Linie, die das Element d M zwischen den übrigen flüssigen Theilen von a bis e beschreibt, abhängig ist, so müssen wir noch die Bewegung des Wassers ausser- halb der Oeffnung B B' (Fig. 6) oder im freien Raume von e bis u untersuchen, und dadurch den 2ten Theil der im Eingange aufgestellten Frage beantworten. Zu dieser Absicht sey e p q u die Fortsetzung der Bahn a m n e, welche nämlich das Wassertheil- chen d M ausserhalb des Gefässes beschreibt, die Geschwindigkeit in e sey wie zuvor = V, die Geschwindigkeit in p = ν, der Raum p q = d s und der Winkel q p u', den nämlich die Bahn mit der senkrechten Linie macht = λ. Die Coordinaten der krummen Linie seyen e' p = y und e e' = x. Da das Element d M in p von der Schwere nach der senkrechten Richtung herabgezogen wird, so wollen wir das Gewicht d M desselben durch die Senkrechte p O vorstellen, und diese Kraft in zwei andere, nämlich in p P = d M . Cos λ nach der Richtung der Bahn, und in p Q = d M . Sin λ nach der winkelrechten Richtung auf die Bahn zerlegen. Demnach geben uns die allgemeinen Gesetze der beschleunigten Bewegung d M : 2 g . d t = d M . Cos λ : d ν. Setzen wir statt d t den Werth [Formel 9] , so erhalten wir die Beschleunigung d ν = 2 g · [Formel 10] · Cos λ, weil aber d s . Cos λ = d y ist, so folgt ν . d ν = 2 g . d y und hieraus ν2 = 4 g . y + Konst. Zur Bestimmung der Konstanten wissen wir, dass in der Oeffnung B' B die Abscisse y = 0 ist und die Geschwindigkeit ν = V werden muss, also <TEI> <text> <body> <div n="1"> <div n="2"> <div n="3"> <p><pb facs="#f0159" n="141"/><fw place="top" type="header"><hi rendition="#i">Bahn des ausfliessenden Wassers.</hi></fw><lb/> rechnen sey. 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Bahn des ausfliessenden Wassers.
rechnen sey. In diesem Strahle fand Newton wirklich die Geschwindigkeit c = 2 √ g.h;
demnach wird auch die Richtigkeit dieser Formel durch die dritte Methode bestätigt.
*)
*) Zur Bestimmung der beständigen Grösse setzen wir den Querschnitt der Röhre im obersten
Punkte = A, so haben wir, weil in diesem Punkte y = 0 und die Fläche
[FORMEL] = 0 ist, 0 = [FORMEL] + Konst. demnach ist Konst. = — [FORMEL].
Wenn wir nun das Integrale von der obersten Querschnittsfläche A' A = A bis zur untersten
B' B = U nehmen und den Querschnitt am Ende der Röhre z = U setzen, so erhalten wir
y = [FORMEL]. In dieser Gleichung ist y die ganze Höhe des Ge-
fässes = C D = Y und [FORMEL] die Geschwindigkeit, womit das Theilchen d M am Ende der Röhre
a m e nach der Richtung seiner Bahn bei e ausfliesst, die wir = V setzen wollen; und eben so ist
[FORMEL] die Geschwindigkeit, welche das Theilchen d M am Anfange der Röhre bei a besitzt, und die
wir α nennen wollen. Daraus ergibt sich [FORMEL].
Für den Beharrungsstand des Wassers, wenn nämlich dem Gefässe oben eben soviel
Wasser zugeführt wird, als unten abfliesst, ist die Geschwindigkeit c an dem bestimmten Orte un-
veränderlich dieselbe, demnach d c = 0. Wir haben also für den Beharrungsstand die Geschwin-
digkeitshöhe des Ausflusses [FORMEL], d. h. die Geschwindigkeitshöhe in der Aus-
flussöffnung ist = der Höhe Y des Wasserstandes ober der Oeffnung + der
Geschwindigkeitshöhe an der Oberfläche des Wassers, womit dasselbe
nämlich in den Wasserspiegel eintritt. Dieser Satz stimmt mit demjenigen überein,
welchen wir §. 510 bei der Bewegung über schiefe Flächen gefunden und für alle krummen Linien,
welche Körper durch die Schwerkraft beschreiben, bewiesen haben.
Auf gleiche Art, wie wir hier die Bewegung des Wassertheiles d M durch die Röhre a m n e
berechnet haben, können wir nun das ganze im Gefässe A A' B' B enthaltene Wasser in eine unzäh-
lige Anzahl analoger Röhren eintheilen, und für jedes Theilchen die Geschwindigkeit des Wassers
in der Oeffnung B' B bestimmen.
II. Weil aber die Richtungen dieser Geschwindigkeiten nicht zu einander parallel sind, son-
dern mit der senkrechten Linie M e einen Winkel bilden, welcher von der Gestalt des Gefässes
und von der krummen Linie, die das Element d M zwischen den übrigen flüssigen Theilen von
a bis e beschreibt, abhängig ist, so müssen wir noch die Bewegung des Wassers ausser-
halb der Oeffnung B B' (Fig. 6) oder im freien Raume von e bis u untersuchen, und dadurch
den 2ten Theil der im Eingange aufgestellten Frage beantworten.
Zu dieser Absicht sey e p q u die Fortsetzung der Bahn a m n e, welche nämlich das Wassertheil-
chen d M ausserhalb des Gefässes beschreibt, die Geschwindigkeit in e sey wie zuvor = V, die
Geschwindigkeit in p = ν, der Raum p q = d s und der Winkel q p u', den nämlich die Bahn mit der
senkrechten Linie macht = λ. Die Coordinaten der krummen Linie seyen e' p = y und e e' = x.
Da das Element d M in p von der Schwere nach der senkrechten Richtung herabgezogen wird,
so wollen wir das Gewicht d M desselben durch die Senkrechte p O vorstellen, und diese Kraft in
zwei andere, nämlich in p P = d M . Cos λ nach der Richtung der Bahn, und in p Q = d M . Sin λ nach
der winkelrechten Richtung auf die Bahn zerlegen. Demnach geben uns die allgemeinen Gesetze
der beschleunigten Bewegung d M : 2 g . d t = d M . Cos λ : d ν. Setzen wir statt d t den Werth [FORMEL], so
erhalten wir die Beschleunigung d ν = 2 g · [FORMEL] · Cos λ, weil aber d s . Cos λ = d y ist, so folgt
ν . d ν = 2 g . d y und hieraus ν2 = 4 g . y + Konst. Zur Bestimmung der Konstanten wissen wir,
dass in der Oeffnung B' B die Abscisse y = 0 ist und die Geschwindigkeit ν = V werden muss, also
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| Zitationshilfe: | Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 2: Mechanik flüssiger Körper. Prag, 1832, S. 141. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gerstner_mechanik02_1832/159>, abgerufen am 04.12.2024. |
