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Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 2: Mechanik flüssiger Körper. Prag, 1832.

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Bahn des ausfliessenden Wassers.
halb der Oeffnung zusammenzieht und dass sonach die aus einem Gefässe wirklich
ausfliessende Wassermenge nur aus der Fläche des zusammengezogenen Strahles zu be-

Fig.
6.
Tab.
46.d y + d y' + d y'' + ..... = [Formel 1] + ..... und wenn wir diese Reihe von a
bis e fortsetzen, so haben wir den allgemeinen Satz, dass die ganze Höhe der Linie A A' über B B'
oder y der Summe der Vermehrungen der Geschwindigkeitshöhen aller Elemente von a bis e gleich
ist. Es wird also noch darauf ankommen, die Grössen [Formel 2] , ..... auf eine
allgemeine Art aufzufinden und ihre Summe durch eine algebraische Gleichung anzugeben. Hierzu
dient uns die oben angeführte Gleichung z . v = z' . v' = ...... Nehmen wir zur Vergleichung
für irgend einen bestimmten Ort der Röhre die Querschnittsfläche = f und die Geschwindigkeit = c
an, so haben wir f . c = v . z = v' . z' = v'' . z'' = ...... Hieraus folgt v = c · [Formel 3] ........ Wird
diese Gleichung differenzirt und dabei f als beständig angenommen, so ist
[Formel 4] und eben so [Formel 5]
und [Formel 6] .... Hieraus sehen wir, dass die Aenderung der Ge-
schwindigkeit d v sowohl von der Beschleunigung d c, welche der ganzen Masse des Wassers gemein-
schaftlich zukommt, als auch von der Veränderung d [Formel 7] oder von der Aenderung der Quer-
schnittsfläche der Röhre abhängt.
Wenn wir nun in der obigen Gleichung
d y + d y' + d y'' + ..... = [Formel 8] + ...... die Werthe von d v, d v', d v'' ...
substituiren, so erhalten wir
d y + d y' + d y'' + ...... = [Formel 9] +
+ [Formel 10] . Setzen wir nun
in der ersten Reihe dieser Gleichung [Formel 11] statt v, [Formel 12] statt v' ......, dann in die zweite Reihe
[Formel 13] statt v, [Formel 14] statt v' ....., so erhalten wir
d y + d y' + d y'' + .... = [Formel 15] +
+ [Formel 16]
Zur Bestimmung der Summe der ersten Reihe [Formel 17] + ...... wollen wir in
Fig.
8.der Fig. 8 die Linie A B = d s und A a = [Formel 18] , dann BC = d s' und Bb = [Formel 19] ferner C D = d s'' und
C c = [Formel 20] ...... setzen, so ist [Formel 21] = A a b B, und eben so [Formel 22] = B b c C ...... demnach die
Summe [Formel 23] + ...... = der ganzen Fläche a A U u = [Formel 24] . Auf gleiche
Art ist in der zweiten Reihe [Formel 25] + ...... =
[Formel 26] Wir haben demnach durch die Integrazion der obigen Gleichungen
y = [Formel 27] + Konst.

Bahn des ausfliessenden Wassers.
halb der Oeffnung zusammenzieht und dass sonach die aus einem Gefässe wirklich
ausfliessende Wassermenge nur aus der Fläche des zusammengezogenen Strahles zu be-

Fig.
6.
Tab.
46.d y + d y' + d y'' + ..... = [Formel 1] + ..... und wenn wir diese Reihe von a
bis e fortsetzen, so haben wir den allgemeinen Satz, dass die ganze Höhe der Linie A A' über B B'
oder y der Summe der Vermehrungen der Geschwindigkeitshöhen aller Elemente von a bis e gleich
ist. Es wird also noch darauf ankommen, die Grössen [Formel 2] , ..... auf eine
allgemeine Art aufzufinden und ihre Summe durch eine algebraische Gleichung anzugeben. Hierzu
dient uns die oben angeführte Gleichung z . v = z' . v' = ...... Nehmen wir zur Vergleichung
für irgend einen bestimmten Ort der Röhre die Querschnittsfläche = f und die Geschwindigkeit = c
an, so haben wir f . c = v . z = v' . z' = v'' . z'' = ...... Hieraus folgt v = c · [Formel 3] ........ Wird
diese Gleichung differenzirt und dabei f als beständig angenommen, so ist
[Formel 4] und eben so [Formel 5]
und [Formel 6] .... Hieraus sehen wir, dass die Aenderung der Ge-
schwindigkeit d v sowohl von der Beschleunigung d c, welche der ganzen Masse des Wassers gemein-
schaftlich zukommt, als auch von der Veränderung d [Formel 7] oder von der Aenderung der Quer-
schnittsfläche der Röhre abhängt.
Wenn wir nun in der obigen Gleichung
d y + d y' + d y'' + ..... = [Formel 8] + ...... die Werthe von d v, d v', d v'' …
substituiren, so erhalten wir
d y + d y' + d y'' + ...... = [Formel 9] +
+ [Formel 10] . Setzen wir nun
in der ersten Reihe dieser Gleichung [Formel 11] statt v, [Formel 12] statt v' ......, dann in die zweite Reihe
[Formel 13] statt v, [Formel 14] statt v' ....., so erhalten wir
d y + d y' + d y'' + .... = [Formel 15] +
+ [Formel 16]
Zur Bestimmung der Summe der ersten Reihe [Formel 17] + ...... wollen wir in
Fig.
8.der Fig. 8 die Linie A B = d s und A a = [Formel 18] , dann BC = d s' und Bb = [Formel 19] ferner C D = d s'' und
C c = [Formel 20] ...... setzen, so ist [Formel 21] = A a b B, und eben so [Formel 22] = B b c C ...... demnach die
Summe [Formel 23] + ...... = der ganzen Fläche a A U u = [Formel 24] . Auf gleiche
Art ist in der zweiten Reihe [Formel 25] + ...... =
[Formel 26] Wir haben demnach durch die Integrazion der obigen Gleichungen
y = [Formel 27] + Konst.
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[140/0158] Bahn des ausfliessenden Wassers. halb der Oeffnung zusammenzieht und dass sonach die aus einem Gefässe wirklich ausfliessende Wassermenge nur aus der Fläche des zusammengezogenen Strahles zu be- *) *) d y + d y' + d y'' + ..... = [FORMEL] + ..... und wenn wir diese Reihe von a bis e fortsetzen, so haben wir den allgemeinen Satz, dass die ganze Höhe der Linie A A' über B B' oder y der Summe der Vermehrungen der Geschwindigkeitshöhen aller Elemente von a bis e gleich ist. Es wird also noch darauf ankommen, die Grössen [FORMEL], ..... auf eine allgemeine Art aufzufinden und ihre Summe durch eine algebraische Gleichung anzugeben. Hierzu dient uns die oben angeführte Gleichung z . v = z' . v' = ...... Nehmen wir zur Vergleichung für irgend einen bestimmten Ort der Röhre die Querschnittsfläche = f und die Geschwindigkeit = c an, so haben wir f . c = v . z = v' . z' = v'' . z'' = ...... Hieraus folgt v = c · [FORMEL] ........ Wird diese Gleichung differenzirt und dabei f als beständig angenommen, so ist [FORMEL] und eben so [FORMEL] und [FORMEL] .... Hieraus sehen wir, dass die Aenderung der Ge- schwindigkeit d v sowohl von der Beschleunigung d c, welche der ganzen Masse des Wassers gemein- schaftlich zukommt, als auch von der Veränderung d [FORMEL] oder von der Aenderung der Quer- schnittsfläche der Röhre abhängt. Wenn wir nun in der obigen Gleichung d y + d y' + d y'' + ..... = [FORMEL] + ...... die Werthe von d v, d v', d v'' … substituiren, so erhalten wir d y + d y' + d y'' + ...... = [FORMEL] + + [FORMEL]. Setzen wir nun in der ersten Reihe dieser Gleichung [FORMEL] statt v, [FORMEL] statt v' ......, dann in die zweite Reihe [FORMEL] statt v, [FORMEL] statt v' ....., so erhalten wir d y + d y' + d y'' + .... = [FORMEL] + + [FORMEL] Zur Bestimmung der Summe der ersten Reihe [FORMEL] + ...... wollen wir in der Fig. 8 die Linie A B = d s und A a = [FORMEL], dann BC = d s' und Bb = [FORMEL] ferner C D = d s'' und C c = [FORMEL] ...... setzen, so ist [FORMEL] = A a b B, und eben so [FORMEL] = B b c C ...... demnach die Summe [FORMEL] + ...... = der ganzen Fläche a A U u = [FORMEL]. Auf gleiche Art ist in der zweiten Reihe [FORMEL] + ...... = [FORMEL] Wir haben demnach durch die Integrazion der obigen Gleichungen y = [FORMEL] + Konst.

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Zitationshilfe: Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 2: Mechanik flüssiger Körper. Prag, 1832, S. 140. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gerstner_mechanik02_1832/158>, abgerufen am 04.12.2024.