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Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 2: Mechanik flüssiger Körper. Prag, 1832.

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Bahn des ausfliessenden Wassers.

Zur Erklärung dieses auffallenden Unterschieds hat Newton zuerst die Gestalt des
ausfliessenden Wasserstrahles näher untersucht und gefunden, dass derselbe sich ausser-

Wenn das von den Wänden eines Gefässes oder von dem Grundbette eines Flusses umschlos-Fig.
6.
Tab.
46.
sene Wasser aus einem weitern Querschnitte A' A gegen einen engern B' B hinfliesst, so wird die
Bewegung der Wassertheile offenbar durch die Form der Wände des Gefässes in der Art bedingt,
dass nicht nur die den Wänden zunächst anliegenden Wassertheile bei ihrer Bewegung diesen Wän-
den folgen müssen, sondern auch die weiter entfernten durch analoge Bewegungen in ihrer gerad-
linigten Bahn abgelenkt, und durch die engern Querschnitte mit einer grössern Geschwindigkeit
durchzufliessen genöthigt werden, als denselben nach den allgemeinen Gesetzen der Schwere zu-
kommen würde. Weil wir aber das Wasser bisher noch als vollkommen flüssig betrachten, und
auf die Widerstände, welche dasselbe von Seite der ruhenden Wände der Gefässe und von der
verschiedenen Geschwindigkeit der in Bewegung befindlichen Wassertheile erfährt, hier noch keine
Rücksicht nehmen, so ergibt sich von selbst, dass der Verlust, den einige Theile an ihrer Bewegung
erleiden, durch den wechselseitigen Druck den übrigen Theilen mitgetheilt werde, folglich von der
ganzen Bewegung, welche die Schwere an und für sich den Wassertheilen
gibt, bei der Bewegung durch Gefässe nichts verloren gehen könne, son-
dern in der Summe aller Bewegungen beim Ausflusse des Wassers aus dem
Gefässe vorfindig seyn müsse.
Wir wollen nun die Bewegung eines Theilchens d M insbesondere betrachten und annehmen, dass
die Bahn, welche das Theilchen im Gefässe zwischen den übrigen beschreibt, durch die Linie amne
vorgestellt werde. Die Geschwindigkeit dieses Theilchens sey in m = v, in n = v' ......., und die
Querschnittsfläche dieses Theilchens in m = z, in n = z' ...... Der Kubikinhalt des Theilchens d M
ist demnach in m = z . v . d t, in n = z' . v' . d t ...... Da das Wasser als unzusammendrückbar
angenommen wird, folglich das Element d M an jedem Orte der Bahn dieselbe Grösse behalten
muss, so haben wir d M = z . v . d t = z' . v' . d t ...... Hieraus folgt z . v = z' . v' = ...... oder
wenn wir die Gleichung z . v = z' . v' ...... in eine Proporzion auflösen, so erhalten wir
z : z' = v' : v = ...... oder die Geschwindigkeiten stehen im umgekehrten Ver-
hältnisse der Querschnittsflächen. Dieser Satz ist bereits in mehreren Schriften an-
geführt und überhaupt bei dem Abflusse des Wassers sowohl durch Röhrenleitungen als in Fluss-
betten allgemein angenommen worden.
Für die Beschleunigung, welche das Wasser auf der schiefen Fläche durch den Raum m n = d s
erfährt, wollen wir die Ordinate a' m für den Punkt m = y und die Abscisse a a' = x, eben so die
Ordinate an dem Punkte n oder a'' n = y' = y + d y setzen, sonach haben wir o n = d y, m o = d x
und m n = d s. Setzen wir nun das Gewicht des Theilchens d M = m l, und die beschleunigende
Kraft nach der Richtung seiner Bahn = m k, so haben wir: das Gewicht des Theilchens d M oder m l
zur beschleunigenden Kraft nach der Richtung der Bahn m k wie m l : m k, und wegen der Aehnlichkeit
der Dreiecke m n o und m l k ist m l : m k = d s : d y. Daraus folgt die beschleunigende Kraft nach der
Richtung der Bahn m k = d M . [Formel 1] . Nach den Gesetzen der Beschleunigung durch die Schwere ha-
ben wir d M : 2 g . d t = d M . [Formel 2] d v oder wenn wir statt d s den Werth v . d t setzen, und mul-
tipliziren, [Formel 3] = d y. Auf gleiche Art folgt für die weitere Beschleunigung von n abwärts
[Formel 4] = d y' und eben so [Formel 5] = d y'' .....
Dieses sind die Gleichungen, denen die Bewegung der Theile folgen muss, wenn ihre Beschleu-
nigungen bloss nach den allgemeinen Gesetzen der Schwere ohne Rücksicht auf die oben ange-
führten Widerstände geschehen; weil aber bei der gemeinschaftlichen Bewegung des Wassers in
Gefässen die Summe der Kräfte der Summe der Beschleunigungen gleich ist, so können wir diese
Gleichungen addiren, und wir haben:
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Bahn des ausfliessenden Wassers.

Zur Erklärung dieses auffallenden Unterschieds hat Newton zuerst die Gestalt des
ausfliessenden Wasserstrahles näher untersucht und gefunden, dass derselbe sich ausser-

Wenn das von den Wänden eines Gefässes oder von dem Grundbette eines Flusses umschlos-Fig.
6.
Tab.
46.
sene Wasser aus einem weitern Querschnitte A' A gegen einen engern B' B hinfliesst, so wird die
Bewegung der Wassertheile offenbar durch die Form der Wände des Gefässes in der Art bedingt,
dass nicht nur die den Wänden zunächst anliegenden Wassertheile bei ihrer Bewegung diesen Wän-
den folgen müssen, sondern auch die weiter entfernten durch analoge Bewegungen in ihrer gerad-
linigten Bahn abgelenkt, und durch die engern Querschnitte mit einer grössern Geschwindigkeit
durchzufliessen genöthigt werden, als denselben nach den allgemeinen Gesetzen der Schwere zu-
kommen würde. Weil wir aber das Wasser bisher noch als vollkommen flüssig betrachten, und
auf die Widerstände, welche dasselbe von Seite der ruhenden Wände der Gefässe und von der
verschiedenen Geschwindigkeit der in Bewegung befindlichen Wassertheile erfährt, hier noch keine
Rücksicht nehmen, so ergibt sich von selbst, dass der Verlust, den einige Theile an ihrer Bewegung
erleiden, durch den wechselseitigen Druck den übrigen Theilen mitgetheilt werde, folglich von der
ganzen Bewegung, welche die Schwere an und für sich den Wassertheilen
gibt, bei der Bewegung durch Gefässe nichts verloren gehen könne, son-
dern in der Summe aller Bewegungen beim Ausflusse des Wassers aus dem
Gefässe vorfindig seyn müsse.
Wir wollen nun die Bewegung eines Theilchens d M insbesondere betrachten und annehmen, dass
die Bahn, welche das Theilchen im Gefässe zwischen den übrigen beschreibt, durch die Linie amne
vorgestellt werde. Die Geschwindigkeit dieses Theilchens sey in m = v, in n = v' ......., und die
Querschnittsfläche dieses Theilchens in m = z, in n = z' ...... Der Kubikinhalt des Theilchens d M
ist demnach in m = z . v . d t, in n = z' . v' . d t ...... Da das Wasser als unzusammendrückbar
angenommen wird, folglich das Element d M an jedem Orte der Bahn dieselbe Grösse behalten
muss, so haben wir d M = z . v . d t = z' . v' . d t ...... Hieraus folgt z . v = z' . v' = ...... oder
wenn wir die Gleichung z . v = z' . v' ...... in eine Proporzion auflösen, so erhalten wir
z : z' = v' : v = ...... oder die Geschwindigkeiten stehen im umgekehrten Ver-
hältnisse der Querschnittsflächen. Dieser Satz ist bereits in mehreren Schriften an-
geführt und überhaupt bei dem Abflusse des Wassers sowohl durch Röhrenleitungen als in Fluss-
betten allgemein angenommen worden.
Für die Beschleunigung, welche das Wasser auf der schiefen Fläche durch den Raum m n = d s
erfährt, wollen wir die Ordinate a' m für den Punkt m = y und die Abscisse a a' = x, eben so die
Ordinate an dem Punkte n oder a'' n = y' = y + d y setzen, sonach haben wir o n = d y, m o = d x
und m n = d s. Setzen wir nun das Gewicht des Theilchens d M = m l, und die beschleunigende
Kraft nach der Richtung seiner Bahn = m k, so haben wir: das Gewicht des Theilchens d M oder m l
zur beschleunigenden Kraft nach der Richtung der Bahn m k wie m l : m k, und wegen der Aehnlichkeit
der Dreiecke m n o und m l k ist m l : m k = d s : d y. Daraus folgt die beschleunigende Kraft nach der
Richtung der Bahn m k = d M . [Formel 1] . Nach den Gesetzen der Beschleunigung durch die Schwere ha-
ben wir d M : 2 g . d t = d M . [Formel 2] d v oder wenn wir statt d s den Werth v . d t setzen, und mul-
tipliziren, [Formel 3] = d y. Auf gleiche Art folgt für die weitere Beschleunigung von n abwärts
[Formel 4] = d y' und eben so [Formel 5] = d y'' .....
Dieses sind die Gleichungen, denen die Bewegung der Theile folgen muss, wenn ihre Beschleu-
nigungen bloss nach den allgemeinen Gesetzen der Schwere ohne Rücksicht auf die oben ange-
führten Widerstände geschehen; weil aber bei der gemeinschaftlichen Bewegung des Wassers in
Gefässen die Summe der Kräfte der Summe der Beschleunigungen gleich ist, so können wir diese
Gleichungen addiren, und wir haben:
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[139/0157] Bahn des ausfliessenden Wassers. Zur Erklärung dieses auffallenden Unterschieds hat Newton zuerst die Gestalt des ausfliessenden Wasserstrahles näher untersucht und gefunden, dass derselbe sich ausser- *) *) Wenn das von den Wänden eines Gefässes oder von dem Grundbette eines Flusses umschlos- sene Wasser aus einem weitern Querschnitte A' A gegen einen engern B' B hinfliesst, so wird die Bewegung der Wassertheile offenbar durch die Form der Wände des Gefässes in der Art bedingt, dass nicht nur die den Wänden zunächst anliegenden Wassertheile bei ihrer Bewegung diesen Wän- den folgen müssen, sondern auch die weiter entfernten durch analoge Bewegungen in ihrer gerad- linigten Bahn abgelenkt, und durch die engern Querschnitte mit einer grössern Geschwindigkeit durchzufliessen genöthigt werden, als denselben nach den allgemeinen Gesetzen der Schwere zu- kommen würde. Weil wir aber das Wasser bisher noch als vollkommen flüssig betrachten, und auf die Widerstände, welche dasselbe von Seite der ruhenden Wände der Gefässe und von der verschiedenen Geschwindigkeit der in Bewegung befindlichen Wassertheile erfährt, hier noch keine Rücksicht nehmen, so ergibt sich von selbst, dass der Verlust, den einige Theile an ihrer Bewegung erleiden, durch den wechselseitigen Druck den übrigen Theilen mitgetheilt werde, folglich von der ganzen Bewegung, welche die Schwere an und für sich den Wassertheilen gibt, bei der Bewegung durch Gefässe nichts verloren gehen könne, son- dern in der Summe aller Bewegungen beim Ausflusse des Wassers aus dem Gefässe vorfindig seyn müsse. Wir wollen nun die Bewegung eines Theilchens d M insbesondere betrachten und annehmen, dass die Bahn, welche das Theilchen im Gefässe zwischen den übrigen beschreibt, durch die Linie amne vorgestellt werde. Die Geschwindigkeit dieses Theilchens sey in m = v, in n = v' ......., und die Querschnittsfläche dieses Theilchens in m = z, in n = z' ...... Der Kubikinhalt des Theilchens d M ist demnach in m = z . v . d t, in n = z' . v' . d t ...... Da das Wasser als unzusammendrückbar angenommen wird, folglich das Element d M an jedem Orte der Bahn dieselbe Grösse behalten muss, so haben wir d M = z . v . d t = z' . v' . d t ...... Hieraus folgt z . v = z' . v' = ...... oder wenn wir die Gleichung z . v = z' . v' ...... in eine Proporzion auflösen, so erhalten wir z : z' = v' : v = ...... oder die Geschwindigkeiten stehen im umgekehrten Ver- hältnisse der Querschnittsflächen. Dieser Satz ist bereits in mehreren Schriften an- geführt und überhaupt bei dem Abflusse des Wassers sowohl durch Röhrenleitungen als in Fluss- betten allgemein angenommen worden. Für die Beschleunigung, welche das Wasser auf der schiefen Fläche durch den Raum m n = d s erfährt, wollen wir die Ordinate a' m für den Punkt m = y und die Abscisse a a' = x, eben so die Ordinate an dem Punkte n oder a'' n = y' = y + d y setzen, sonach haben wir o n = d y, m o = d x und m n = d s. Setzen wir nun das Gewicht des Theilchens d M = m l, und die beschleunigende Kraft nach der Richtung seiner Bahn = m k, so haben wir: das Gewicht des Theilchens d M oder m l zur beschleunigenden Kraft nach der Richtung der Bahn m k wie m l : m k, und wegen der Aehnlichkeit der Dreiecke m n o und m l k ist m l : m k = d s : d y. Daraus folgt die beschleunigende Kraft nach der Richtung der Bahn m k = d M . [FORMEL]. Nach den Gesetzen der Beschleunigung durch die Schwere ha- ben wir d M : 2 g . d t = d M . [FORMEL] d v oder wenn wir statt d s den Werth v . d t setzen, und mul- tipliziren, [FORMEL] = d y. Auf gleiche Art folgt für die weitere Beschleunigung von n abwärts [FORMEL] = d y' und eben so [FORMEL] = d y'' ..... Dieses sind die Gleichungen, denen die Bewegung der Theile folgen muss, wenn ihre Beschleu- nigungen bloss nach den allgemeinen Gesetzen der Schwere ohne Rücksicht auf die oben ange- führten Widerstände geschehen; weil aber bei der gemeinschaftlichen Bewegung des Wassers in Gefässen die Summe der Kräfte der Summe der Beschleunigungen gleich ist, so können wir diese Gleichungen addiren, und wir haben: 18*

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Zitationshilfe: Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 2: Mechanik flüssiger Körper. Prag, 1832, S. 139. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gerstner_mechanik02_1832/157>, abgerufen am 12.05.2024.