Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 2: Mechanik flüssiger Körper. Prag, 1832.
Ausfluss aus Seitenöffnungen der Gefässe. der Unterschied zwischen beiden Methoden in jedem Falle so unbedeutend ist, dass mansich in der Ausübung füglich der einen oder der andern Formel bedienen könne. *) Bei der angeführten Rechnung wurde die Geschwindigkeit des ausfliessenden *) Um den Ausfluss aus beträchtlichen Oeffnungen genau zu berechnen, sey die Oeffnung ein Recht-Fig. 16. eck B C c b, der Wasserstand hinter dieser Oeffnung reiche bis A a und die Höhe desselben über der Oeffnung sey A B = a, ferner B M = x, M N = d x, die Breite der Oeffnung B b = M m = b und die Höhe derselben B C = h. Die Geschwindigkeit, mit welcher das Wasser durch das Element M N n m fliesst, ist offenbar [Formel 1] . Wird diese mit der Fläche b . d x multiplizirt, so ist die durch das Flächen- element M m n N in 1 Sekunde ausfliessende Wassermenge d M = b . d x . 2 [Formel 2] . Das Inte- gral hiervon ist M = 2/3 b (a + x) . 2 [Formel 3] + Konst. Znr Bestimmung der Konstanten haben wir für x = 0 die ausfliessende Wassermenge 0 = 2/3 b . a . 2 [Formel 4] + Konst. demnach M = 2/3 b (a + x) . 2 [Formel 5] -- 2/3 b . a . 2 [Formel 6] = 2/3 b . 2 sqrt g [Formel 7] . Setzen wir x = h, so ist der Ausfluss durch die ganze Oeffnung M = 2/3 b . 2 [Formel 8] . Nun wol- len wir die Höhe des Wasserstandes über der Mitte der Oeffnung = A, folglich a = A -- [Formel 9] setzen, so ist die ausfliessende Wassermenge [Formel 10] Wenn wir die angezeigten Potenzen in Reihen auflösen, und die 2te Reihe von der 1ten abziehen, so ist M = 2/3 b . A . 2 [Formel 11] . Aus diesem Ausdrucke ersieht man, dass für den Fall, wenn die Höhe der Oeffnung h im Ver- gleiche der Höhe des Wasserstandes sehr klein ist, die ausfliessende Wassermenge = b . h . 2 [Formel 12] seyn wird. Also ist die Ausflussmenge in diesem Falle eben so gross, als das Produkt aus der Fläche der Oeffnung in die Geschwindigkeit, die dem Mittelpunkte der Oeffnung zukommt. Für den Fall, wenn die Höhe des Wasserstandes über der Ausflussöffnung oder die Grösse a = 0, folglich A = [Formel 13] ist, beträgt die in 1 Sekunde ausfliessende Wassermenge nach der ursprüng- lichen Formel M = 2/3 b . h . 2 [Formel 14] und nach der letzten Approximazion [Formel 15] Der Unterschied zwischen beiden Rechnungsformeln ist demnach so unbedeutend, dass wir für den praktischen Gebrauch in jedem Falle unbedenklich eine oder die andere nehmen können. Gerstner's Mechanik. Band II. 20
Ausfluss aus Seitenöffnungen der Gefässe. der Unterschied zwischen beiden Methoden in jedem Falle so unbedeutend ist, dass mansich in der Ausübung füglich der einen oder der andern Formel bedienen könne. *) Bei der angeführten Rechnung wurde die Geschwindigkeit des ausfliessenden *) Um den Ausfluss aus beträchtlichen Oeffnungen genau zu berechnen, sey die Oeffnung ein Recht-Fig. 16. eck B C c b, der Wasserstand hinter dieser Oeffnung reiche bis A a und die Höhe desselben über der Oeffnung sey A B = a, ferner B M = x, M N = d x, die Breite der Oeffnung B b = M m = b und die Höhe derselben B C = h. Die Geschwindigkeit, mit welcher das Wasser durch das Element M N n m fliesst, ist offenbar [Formel 1] . Wird diese mit der Fläche b . d x multiplizirt, so ist die durch das Flächen- element M m n N in 1 Sekunde ausfliessende Wassermenge d M = b . d x . 2 [Formel 2] . Das Inte- gral hiervon ist M = ⅔ b (a + x) . 2 [Formel 3] + Konst. Znr Bestimmung der Konstanten haben wir für x = 0 die ausfliessende Wassermenge 0 = ⅔ b . a . 2 [Formel 4] + Konst. demnach M = ⅔ b (a + x) . 2 [Formel 5] — ⅔ b . a . 2 [Formel 6] = ⅔ b . 2 √ g [Formel 7] . Setzen wir x = h, so ist der Ausfluss durch die ganze Oeffnung M = ⅔ b . 2 [Formel 8] . Nun wol- len wir die Höhe des Wasserstandes über der Mitte der Oeffnung = A, folglich a = A — [Formel 9] setzen, so ist die ausfliessende Wassermenge [Formel 10] Wenn wir die angezeigten Potenzen in Reihen auflösen, und die 2te Reihe von der 1ten abziehen, so ist M = ⅔ b . A . 2 [Formel 11] . Aus diesem Ausdrucke ersieht man, dass für den Fall, wenn die Höhe der Oeffnung h im Ver- gleiche der Höhe des Wasserstandes sehr klein ist, die ausfliessende Wassermenge = b . h . 2 [Formel 12] seyn wird. Also ist die Ausflussmenge in diesem Falle eben so gross, als das Produkt aus der Fläche der Oeffnung in die Geschwindigkeit, die dem Mittelpunkte der Oeffnung zukommt. Für den Fall, wenn die Höhe des Wasserstandes über der Ausflussöffnung oder die Grösse a = 0, folglich A = [Formel 13] ist, beträgt die in 1 Sekunde ausfliessende Wassermenge nach der ursprüng- lichen Formel M = ⅔ b . h . 2 [Formel 14] und nach der letzten Approximazion [Formel 15] Der Unterschied zwischen beiden Rechnungsformeln ist demnach so unbedeutend, dass wir für den praktischen Gebrauch in jedem Falle unbedenklich eine oder die andere nehmen können. Gerstner’s Mechanik. Band II. 20
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Ausfluss aus Seitenöffnungen der Gefässe.
der Unterschied zwischen beiden Methoden in jedem Falle so unbedeutend ist, dass man
sich in der Ausübung füglich der einen oder der andern Formel bedienen könne. *)
Bei der angeführten Rechnung wurde die Geschwindigkeit des ausfliessenden
Wassers [FORMEL] als parallel zu den Wänden angenommen. Diese Bedingniss findet
aber nur bei dem Durchflusse des Wassers in Röhren mit parallelen Seitenwänden Statt;
wenn jedoch das Wasser vor der Oeffnung B b c C aus einer bedeutend grösseren Fläche
gegen diese Oeffnung zusammenfliesst, wie es bei jedem grossen Behälter, Teiche, See ....
Statt findet, so haben wir denselben Fall, welchen wir bereits bei dem Ausflusse aus
kleinen Oeffnungen behandelt haben. Das von beiden Seiten zudrängende Wasser
ändert nämlich die Richtung der Wasserfäden und der Ausfluss wird gegen die Mitte
der Oeffnung zusammengedrückt. Ist die Weite des Gefässes im Vergleiche mit der
Oeffnung hinreichend gross, so wird die Zusammenziehung dasselbe Mass haben wie
bei kleinen Oeffnungen, und die Fläche des zusammengezogenen Strahles wird sich auch
Fig.
16.
Tab.
46.
*) Um den Ausfluss aus beträchtlichen Oeffnungen genau zu berechnen, sey die Oeffnung ein Recht-
eck B C c b, der Wasserstand hinter dieser Oeffnung reiche bis A a und die Höhe desselben über
der Oeffnung sey A B = a, ferner B M = x, M N = d x, die Breite der Oeffnung B b = M m = b
und die Höhe derselben B C = h.
Die Geschwindigkeit, mit welcher das Wasser durch das Element M N n m fliesst, ist offenbar
[FORMEL]. Wird diese mit der Fläche b . d x multiplizirt, so ist die durch das Flächen-
element M m n N in 1 Sekunde ausfliessende Wassermenge d M = b . d x . 2 [FORMEL]. Das Inte-
gral hiervon ist M = ⅔ b (a + x) . 2 [FORMEL] + Konst. Znr Bestimmung der Konstanten haben
wir für x = 0 die ausfliessende Wassermenge 0 = ⅔ b . a . 2 [FORMEL] + Konst. demnach
M = ⅔ b (a + x) . 2 [FORMEL] — ⅔ b . a . 2 [FORMEL] = ⅔ b . 2 √ g [FORMEL]. Setzen wir
x = h, so ist der Ausfluss durch die ganze Oeffnung M = ⅔ b . 2 [FORMEL]. Nun wol-
len wir die Höhe des Wasserstandes über der Mitte der Oeffnung = A, folglich a = A — [FORMEL]
setzen, so ist die ausfliessende Wassermenge
[FORMEL] Wenn wir die angezeigten Potenzen in Reihen auflösen, und die 2te Reihe von der 1ten abziehen,
so ist M = ⅔ b . A . 2 [FORMEL].
Aus diesem Ausdrucke ersieht man, dass für den Fall, wenn die Höhe der Oeffnung h im Ver-
gleiche der Höhe des Wasserstandes sehr klein ist, die ausfliessende Wassermenge
= b . h . 2 [FORMEL] seyn wird. Also ist die Ausflussmenge in diesem Falle eben so gross, als das
Produkt aus der Fläche der Oeffnung in die Geschwindigkeit, die dem Mittelpunkte der Oeffnung
zukommt. Für den Fall, wenn die Höhe des Wasserstandes über der Ausflussöffnung oder die Grösse
a = 0, folglich A = [FORMEL] ist, beträgt die in 1 Sekunde ausfliessende Wassermenge nach der ursprüng-
lichen Formel M = ⅔ b . h . 2 [FORMEL] und nach der letzten Approximazion
[FORMEL] Der Unterschied zwischen beiden Rechnungsformeln ist demnach so
unbedeutend, dass wir für den praktischen Gebrauch in jedem Falle unbedenklich eine oder die
andere nehmen können.
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| Zitationshilfe: | Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 2: Mechanik flüssiger Körper. Prag, 1832, S. 153. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gerstner_mechanik02_1832/171>, abgerufen am 04.12.2024. |
