Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 2: Mechanik flüssiger Körper. Prag, 1832.
Ausfluss aus elyptischen Oeffnungen. §. 118. Manchmal tritt der Fall ein, dass das Wasser durch eine elyptische oder zylindrische eine vollkommen richtige Gleichung ohne Aproximazion finden. Wir haben nämlich die Ge- schwindigkeit des ausfliessenden Wassers 2 [Formel 14] = 2 Sin [Formel 15] , demnach ist das Element der ausfliessenden Wassermenge d M = 2 a . b . d ph . Sin2 ph . 2 Sin [Formel 16] . Nun ist aber Sin ph = 2 Sin [Formel 17] · Cos [Formel 18] und d ph . Sin [Formel 19] = -- 2 d Cos [Formel 20] . Setzen wir noch zur Abkürzung ph = 2 m, so ist d M = -- 2 a . b . 2 d Cos m . 4 Sin2 m . Cos2 m . 2 [Formel 21] = -- 32 a . b (1 -- Cos2 m) Cos2 m . d Cos m [Formel 22] . Das Integral dieser Gleichung ist M = 32 a . b [Formel 23] , wo nämlich die beständige Grösse so bestimmt wurde, dass die ausfliessende Wassermenge M = 0 wird, wenn ph = 2 m = 0 ist. Um die durch die ganze Oeffnung ausfliessende Wassermenge zu erhalten, müssen wir ph = 2 m = 180, also m = 90 und Cos m = 0 setzen. Dadurch erhalten wir M' = 32 a . b [Formel 24] . Vergleicht man diese Gleichung mit der obigen M' = [Formel 25] p . a . b . 2 [Formel 26] = 6,0868 a . b [Formel 27] , so sieht man, dass der Unterschied an und für sich gering ist, und bloss daher rührt, weil man die Aproximazion nicht weit genug fortgesetzt hat. *) Fig.
24. Tab. 46.Wenn fliessendes Wasser durch eine elyptische Röhre geleitet wird, aber der Zufluss desselben nicht so gross ist, um die Röhre beständig voll zu erhalten, sonach von der elyptischen Fläche A C B D das Segment K C K' leer bleibt, so ist die Fläche des Elementes Q Q' q 'q wie zuvor 2 a . b . Sin2 ph . d ph, oder wenn wir ph = 2 m setzen, so ist diese Fläche = 8 a . b . Sin2 m . Cos2 m . 2 d m. In diesem Falle ist aber die Druckhöhe nur = E P = E O -- P O, und wenn wir den Winkel I O E = 2 a setzen, so ist die Druckhöhe E P = b . Cos 2 a -- b. Cos 2 m = 2 b (Sin2 m -- Sin2 a), daher die Geschwindigkeit des durch das Element fliessenden Wassers = 2 [Formel 1] = 2 Sin [Formel 2] . Wir erhalten sonach die in einer Sekunde ausfliessende Wassermenge d M = 32 a . b . Sin2 m . Cos2 m . d m . Sin m [Formel 3] = 32 a . b (Cos2 m -- Cos4 m -- 1/2 Sin2 a. Cos2 m) d m . Sin m [Formel 4] . Das Integral dieser Gleichung ist M = 32 a . b [Formel 5] , weil M = 0 werden muss, wenn 2 m = 2 a ist. Wir erhalten demnach den Ausfluss durch die ganze Oeffnung, wenn ph = 2 m = 180° oder m = 90° und Cos m = 0 gesetzt wird, M = 32 a . b [Formel 6] = 32 a . b [Formel 7] =. [Formel 8] . Weil aber 2 Cos2 a = 1 + Cos 2 a = 1 + [Formel 9] ist, so ist auch M = [Formel 10] (8 b + e) (2 b -- e) [Formel 11] . Für den Kreis ist b = a, folglich die Wassermenge M' = [Formel 12] (8 a + e) (2 a -- e) [Formel 13] . Ausfluss aus elyptischen Oeffnungen. §. 118. Manchmal tritt der Fall ein, dass das Wasser durch eine elyptische oder zylindrische eine vollkommen richtige Gleichung ohne Aproximazion finden. Wir haben nämlich die Ge- schwindigkeit des ausfliessenden Wassers 2 [Formel 14] = 2 Sin [Formel 15] , demnach ist das Element der ausfliessenden Wassermenge d M = 2 a . b . d φ . Sin2 φ . 2 Sin [Formel 16] . Nun ist aber Sin φ = 2 Sin [Formel 17] · Cos [Formel 18] und d φ . Sin [Formel 19] = — 2 d Cos [Formel 20] . Setzen wir noch zur Abkürzung φ = 2 μ, so ist d M = — 2 a . b . 2 d Cos μ . 4 Sin2 μ . Cos2 μ . 2 [Formel 21] = — 32 a . b (1 — Cos2 μ) Cos2 μ . d Cos μ [Formel 22] . Das Integral dieser Gleichung ist M = 32 a . b [Formel 23] , wo nämlich die beständige Grösse so bestimmt wurde, dass die ausfliessende Wassermenge M = 0 wird, wenn φ = 2 μ = 0 ist. Um die durch die ganze Oeffnung ausfliessende Wassermenge zu erhalten, müssen wir φ = 2 μ = 180, also μ = 90 und Cos μ = 0 setzen. Dadurch erhalten wir M' = 32 a . b [Formel 24] . Vergleicht man diese Gleichung mit der obigen M' = [Formel 25] π . a . b . 2 [Formel 26] = 6,0868 a . b [Formel 27] , so sieht man, dass der Unterschied an und für sich gering ist, und bloss daher rührt, weil man die Aproximazion nicht weit genug fortgesetzt hat. *) Fig.
24. Tab. 46.Wenn fliessendes Wasser durch eine elyptische Röhre geleitet wird, aber der Zufluss desselben nicht so gross ist, um die Röhre beständig voll zu erhalten, sonach von der elyptischen Fläche A C B D das Segment K C K' leer bleibt, so ist die Fläche des Elementes Q Q' q 'q wie zuvor 2 a . b . Sin2 φ . d φ, oder wenn wir φ = 2 μ setzen, so ist diese Fläche = 8 a . b . Sin2 μ . Cos2 μ . 2 d μ. In diesem Falle ist aber die Druckhöhe nur = E P = E O — P O, und wenn wir den Winkel I O E = 2 α setzen, so ist die Druckhöhe E P = b . Cos 2 α — b. Cos 2 μ = 2 b (Sin2 μ — Sin2 α), daher die Geschwindigkeit des durch das Element fliessenden Wassers = 2 [Formel 1] = 2 Sin [Formel 2] . Wir erhalten sonach die in einer Sekunde ausfliessende Wassermenge d M = 32 a . b . Sin2 μ . Cos2 μ . d μ . Sin μ [Formel 3] = 32 a . b (Cos2 μ — Cos4 μ — ½ Sin2 α. Cos2 μ) d μ . Sin μ [Formel 4] . Das Integral dieser Gleichung ist M = 32 a . b [Formel 5] , weil M = 0 werden muss, wenn 2 μ = 2 α ist. Wir erhalten demnach den Ausfluss durch die ganze Oeffnung, wenn φ = 2 μ = 180° oder μ = 90° und Cos μ = 0 gesetzt wird, M = 32 a . b [Formel 6] = 32 a . b [Formel 7] =. [Formel 8] . Weil aber 2 Cos2 α = 1 + Cos 2 α = 1 + [Formel 9] ist, so ist auch M = [Formel 10] (8 b + e) (2 b — e) [Formel 11] . Für den Kreis ist b = a, folglich die Wassermenge M' = [Formel 12] (8 a + e) (2 a — e) [Formel 13] . <TEI> <text> <body> <div n="1"> <div n="2"> <pb facs="#f0180" n="162"/> <fw place="top" type="header"><hi rendition="#i">Ausfluss aus elyptischen Oeffnungen</hi>.</fw><lb/> <div n="3"> <head>§. 118.</head><lb/> <p>Manchmal tritt der Fall ein, dass das Wasser durch eine elyptische oder zylindrische<lb/> Röhre geleitet wird, jedoch kein so bedeutender Zufluss Statt findet, um die Röhre<lb/> beständig voll zu erhalten; es bleibt daher der obere Theil derselben leer. 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Ausfluss aus elyptischen Oeffnungen.
§. 118.
Manchmal tritt der Fall ein, dass das Wasser durch eine elyptische oder zylindrische
Röhre geleitet wird, jedoch kein so bedeutender Zufluss Statt findet, um die Röhre
beständig voll zu erhalten; es bleibt daher der obere Theil derselben leer. Auch
für diesen Fall gibt uns die höhere Analysis die in der Note abgeleitete Formel *), mit
deren Benützung sich alle hierher gehörigen Aufgaben auflösen lassen.
*)
*) Wenn fliessendes Wasser durch eine elyptische Röhre geleitet wird, aber der Zufluss desselben
nicht so gross ist, um die Röhre beständig voll zu erhalten, sonach von der elyptischen Fläche
A C B D das Segment K C K' leer bleibt, so ist die Fläche des Elementes Q Q' q 'q wie zuvor
2 a . b . Sin2 φ . d φ, oder wenn wir φ = 2 μ setzen, so ist diese Fläche
= 8 a . b . Sin2 μ . Cos2 μ . 2 d μ. In diesem Falle ist aber die Druckhöhe nur = E P = E O — P O,
und wenn wir den Winkel I O E = 2 α setzen, so ist die Druckhöhe
E P = b . Cos 2 α — b. Cos 2 μ = 2 b (Sin2 μ — Sin2 α), daher die Geschwindigkeit des durch das
Element fliessenden Wassers = 2 [FORMEL] = 2 Sin [FORMEL].
Wir erhalten sonach die in einer Sekunde ausfliessende Wassermenge
d M = 32 a . b . Sin2 μ . Cos2 μ . d μ . Sin μ [FORMEL]
= 32 a . b (Cos2 μ — Cos4 μ — ½ Sin2 α. Cos2 μ) d μ . Sin μ [FORMEL]. Das Integral dieser Gleichung ist
M = 32 a . b [FORMEL], weil
M = 0 werden muss, wenn 2 μ = 2 α ist.
Wir erhalten demnach den Ausfluss durch die ganze Oeffnung, wenn φ = 2 μ = 180° oder
μ = 90° und Cos μ = 0 gesetzt wird, M = 32 a . b [FORMEL]
= 32 a . b [FORMEL] =.
[FORMEL].
Weil aber 2 Cos2 α = 1 + Cos 2 α = 1 + [FORMEL] ist, so ist auch
M = [FORMEL] (8 b + e) (2 b — e) [FORMEL].
Für den Kreis ist b = a, folglich die Wassermenge M' = [FORMEL] (8 a + e) (2 a — e) [FORMEL].
*) eine vollkommen richtige Gleichung ohne Aproximazion finden. Wir haben nämlich die Ge-
schwindigkeit des ausfliessenden Wassers 2 [FORMEL] = 2 Sin [FORMEL], demnach ist
das Element der ausfliessenden Wassermenge d M = 2 a . b . d φ . Sin2 φ . 2 Sin [FORMEL]. Nun ist
aber Sin φ = 2 Sin [FORMEL] · Cos [FORMEL] und d φ . Sin [FORMEL] = — 2 d Cos [FORMEL]. Setzen wir noch zur Abkürzung
φ = 2 μ, so ist
d M = — 2 a . b . 2 d Cos μ . 4 Sin2 μ . Cos2 μ . 2 [FORMEL] = — 32 a . b (1 — Cos2 μ) Cos2 μ . d Cos μ [FORMEL].
Das Integral dieser Gleichung ist M = 32 a . b [FORMEL], wo nämlich
die beständige Grösse so bestimmt wurde, dass die ausfliessende Wassermenge M = 0 wird, wenn
φ = 2 μ = 0 ist.
Um die durch die ganze Oeffnung ausfliessende Wassermenge zu erhalten, müssen wir
φ = 2 μ = 180, also μ = 90 und Cos μ = 0 setzen. Dadurch erhalten wir
M' = 32 a . b [FORMEL]. Vergleicht man diese
Gleichung mit der obigen M' = [FORMEL] π . a . b . 2 [FORMEL] = 6,0868 a . b [FORMEL], so sieht man, dass der
Unterschied an und für sich gering ist, und bloss daher rührt, weil man die Aproximazion nicht
weit genug fortgesetzt hat.
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