Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 2: Mechanik flüssiger Körper. Prag, 1832.
Ausfluss bei veränderlicher Druckhöhe. §. 119. Findet ein Ausfluss aus Behältern Statt, welche keinen Zufluss erhal- Auf gleiche Art lässt sich auch die Zeit t berechnen, in welcher das Gefäss bis Nach dem vorigen ist die Zeit, in welcher das ganze Gefäss ausfliesst, Auf eine andere Weise lässt sich diess auch so berechnen. Es ist offenbar, dass *) Das prismatische Gefäss Fig. 25 sey am Boden mit einer kleinen Oeffnung versehen, die horizon-Fig. 25. tale Querschnittsfläche desselben sey = F und die Fläche der Oeffnung = f, endlich die Höhe des Wasserstandes A B = A. Die Geschwindigkeit im ersten Augenblicke des Ausflusses wird demnach = 2 [Formel 6] seyn; da aber die Oberfläche des Wassers im Gefässe fortwährend fällt, so sey die noch übrige Höhe des Wassers M B = x und daher die Geschwindigkeit für diese Höhe des Wassers = 2 [Formel 7] . Die in der Zeit d t ausfliessende Wassermenge ist nun = d t . m . f . 2 [Formel 8] = -- F . d x, da das Wasser fällt, folglich die Höhe x in der Zeit d t um d x vermindert wird. Hieraus folgt d t = -- [Formel 9] . Wird diese Gleichung integrirt, so er- halten wir t = [Formel 10] , weil bei dem Anfange des Ausflusses t = 0 und x = A ist. Wenn wir x = 0 setzen, so erhalten wir die Zeit des ganzen Ausflusses T = [Formel 11] . Hieraus folgt A = [Formel 12] . g. T2 oder die Höhen des Wassers im Behälter sind den Qua- draten der Zeit ihres Abflusses proporzional. 21*
Ausfluss bei veränderlicher Druckhöhe. §. 119. Findet ein Ausfluss aus Behältern Statt, welche keinen Zufluss erhal- Auf gleiche Art lässt sich auch die Zeit t berechnen, in welcher das Gefäss bis Nach dem vorigen ist die Zeit, in welcher das ganze Gefäss ausfliesst, Auf eine andere Weise lässt sich diess auch so berechnen. Es ist offenbar, dass *) Das prismatische Gefäss Fig. 25 sey am Boden mit einer kleinen Oeffnung versehen, die horizon-Fig. 25. tale Querschnittsfläche desselben sey = F und die Fläche der Oeffnung = f, endlich die Höhe des Wasserstandes A B = A. Die Geschwindigkeit im ersten Augenblicke des Ausflusses wird demnach = 2 [Formel 6] seyn; da aber die Oberfläche des Wassers im Gefässe fortwährend fällt, so sey die noch übrige Höhe des Wassers M B = x und daher die Geschwindigkeit für diese Höhe des Wassers = 2 [Formel 7] . Die in der Zeit d t ausfliessende Wassermenge ist nun = d t . m . f . 2 [Formel 8] = — F . d x, da das Wasser fällt, folglich die Höhe x in der Zeit d t um d x vermindert wird. Hieraus folgt d t = — [Formel 9] . Wird diese Gleichung integrirt, so er- halten wir t = [Formel 10] , weil bei dem Anfange des Ausflusses t = 0 und x = A ist. Wenn wir x = 0 setzen, so erhalten wir die Zeit des ganzen Ausflusses T = [Formel 11] . Hieraus folgt A = [Formel 12] . g. T2 oder die Höhen des Wassers im Behälter sind den Qua- draten der Zeit ihres Abflusses proporzional. 21*
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Ausfluss bei veränderlicher Druckhöhe.
§. 119.
Findet ein Ausfluss aus Behältern Statt, welche keinen Zufluss erhal-
ten, so müssen offenbar die Geschwindigkeiten des ausfliessenden Wassers wie die
Quadratwurzeln aus den Druckhöhen abnehmen, folglich dieselbe gleichförmig
verzögerte Bewegung eintreten, als wenn ein Körper senkrecht in die Höhe ge-
worfen wird. Nennen wir daher die Druckhöhe oder die Höhe des Wasserstandes zu
Anfange des Ausflusses = A, so ist die anfängliche Geschwindigkeit = 2 [FORMEL] und die
Endgeschwindigkeit 2 √ g . 0 = 0, demnach die mittlere Geschwindigkeit des Ausflusses
c = [FORMEL] und die mittlere Quantität, welche in 1 Sekunde ausläuft = m . f [FORMEL].
Wenn also T die Zeit ist, in welcher das ganze Wasser F . A aus dem Gefässe aus-
fliesst, so ist T . m . f . [FORMEL] = F . A, woraus die Zeit T = [FORMEL] folgt *)
Fig.
25.
Tab.
46.
Auf gleiche Art lässt sich auch die Zeit t berechnen, in welcher das Gefäss bis
auf eine bestimmte Höhe a ausläuft und zwar hat man hierzu zweierlei Methoden.
Nach dem vorigen ist die Zeit, in welcher das ganze Gefäss ausfliesst,
T = [FORMEL] und die Zeit t', in welcher der übrige Theil, dessen Höhe a ist, aus-
fliesst t' = [FORMEL], folglich die Zeit, in welcher das Wasser von der Höhe A auf
a herabkommt = T — t' = t = [FORMEL].
Wird hier der frühere Werth von T substituirt, so ist t = T [FORMEL]. (I)
Auf eine andere Weise lässt sich diess auch so berechnen. Es ist offenbar, dass
die anfängliche Geschwindigkeit = 2 [FORMEL] und die Endgeschwindigkeit, wenn nur
noch die Wasserhöhe a im Gefässe ist = 2 [FORMEL], demnach die mittlere Geschwindig-
keit des Ausflusses = [FORMEL] seyn müsse. Hieraus folgt
t . m . f [FORMEL] = F (A—a) und t = [FORMEL] (II).
*) Das prismatische Gefäss Fig. 25 sey am Boden mit einer kleinen Oeffnung versehen, die horizon-
tale Querschnittsfläche desselben sey = F und die Fläche der Oeffnung = f, endlich die Höhe des
Wasserstandes A B = A. Die Geschwindigkeit im ersten Augenblicke des Ausflusses wird demnach
= 2 [FORMEL] seyn; da aber die Oberfläche des Wassers im Gefässe fortwährend fällt, so sey die
noch übrige Höhe des Wassers M B = x und daher die Geschwindigkeit für diese Höhe des
Wassers = 2 [FORMEL]. Die in der Zeit d t ausfliessende Wassermenge ist nun
= d t . m . f . 2 [FORMEL] = — F . d x, da das Wasser fällt, folglich die Höhe x in der Zeit d t um d x
vermindert wird. Hieraus folgt d t = — [FORMEL]. Wird diese Gleichung integrirt, so er-
halten wir t = [FORMEL], weil bei dem Anfange des Ausflusses t = 0 und x = A ist.
Wenn wir x = 0 setzen, so erhalten wir die Zeit des ganzen Ausflusses T = [FORMEL]. Hieraus
folgt A = [FORMEL] . g. T2 oder die Höhen des Wassers im Behälter sind den Qua-
draten der Zeit ihres Abflusses proporzional.
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