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Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 2: Mechanik flüssiger Körper. Prag, 1832.

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Vortheil dreier Räder in einem Gerinne.
moment des letzten Rades zu einem Maximum machen. Demnach muss v'' = 1/2 v' seyn,
dadurch wird dieses Bewegungsmoment = [Formel 1] . Setzen wir nun das Bewe-
gungsmoment des zweiten Rades diesem letzten gleich, so haben wir
[Formel 2] ; daraus folgt v' = 4/5 v, folglich ist das Bewegungs-
moment des zweiten Rades = [Formel 3] (v -- 4/5 v) 4/5 v. Wird nun das Bewegungs-
moment des ersten Rades diesem gleich gesetzt, so erhalten wir
[Formel 4] (v -- 4/5 v) 4/5 v; daraus folgt v = 25/29 c, mithin v' = 20/29 c und
v'' = 10/29 c. Dadurch wird das Bewegungsmoment des ersten Rades
[Formel 5] ; das Bewegungsmoment des zweiten Rades
= [Formel 6] ; und das Moment des dritten Rades
= [Formel 7] .

Würde dagegen die Wassermenge M in drei Gerinne vertheilt, sonach jedes Rad
nur mit der Wassermenge [Formel 8] betrieben, so wäre das Bewegungsmoment eines jeden Rades
= [Formel 9] , folglich das Bewegungsmoment aller 3 Räder = [Formel 10] . Die Summe
der Bewegungsmomente der 3 Räder in abgesonderten Gerinnen verhält sich demnach zu
der Summe der Bewegungsmomente der 3 Räder in einem gemeinschaftlichen Gerinne
wie [Formel 11] = 841 : 1200 oder beinahe wie 7 : 10; die 3 Räder in
abgesonderten Gerinnen können demnach diejenige Arbeit erst in 10 Tagen verrichten,
welche die 3 Räder in einem gemeinschaftlichen Gerinne in 7 Tagen zu Stande bringen.

Diese Bemerkung ist um so wichtiger, weil dasjenige Wasser, welches bei der An-
wendung eines Rades theils in den Zwischenräumen zwischen den Rädern und dem Gerinne,
theils auch unter den Rädern ohne anzustossen abfliesst, bei den abgesonderten Gerinnen
gänzlich verloren geht, bei Anordnung dreier Räder in einem gemeinschaftlichen Gerinne
aber bei den folgenden Rädern zur Verwendung gebracht werden kann. Dieser Vortheil
erhellet auch aus dem Umstande, weil das Wasser bei der Anwendung dreier Räder mit
der Geschwindigkeit v'' = 10/29 c beinahe = 1/3 c abfliesst, während das abfliessende Was-
ser bei abgesonderten Gerinnen die Geschwindigkeit 1/2 c behält.

§. 273.

Zur Bestimmung der Kröpfung wollen wir die Tiefe des mit der Geschwin-Fig.
11.
Tab.
56.
digkeit c zufliessenden Wassers = a, die Tiefe des unter dem ersten Rade mit der Ge-
schwindigkeit v = 25/29 c abfliessenden Wassers = a', und eben so die Tiefe des unter dem
zweiten Rade mit der Geschwindigkeit v' = 20/29 c abfliessenden Wassers = a'' und end-
lich die Tiefe des mit der Geschwindigkeit v'' = 10/29 c unter dem dritten Rade abflies-
senden Wassers = a''' bezeichnen. Da nun unter allen Rädern dieselbe Wassermenge

Vortheil dreier Räder in einem Gerinne.
moment des letzten Rades zu einem Maximum machen. Demnach muss v'' = ½ v' seyn,
dadurch wird dieses Bewegungsmoment = [Formel 1] . Setzen wir nun das Bewe-
gungsmoment des zweiten Rades diesem letzten gleich, so haben wir
[Formel 2] ; daraus folgt v' = ⅘ v, folglich ist das Bewegungs-
moment des zweiten Rades = [Formel 3] (v — ⅘ v) ⅘ v. Wird nun das Bewegungs-
moment des ersten Rades diesem gleich gesetzt, so erhalten wir
[Formel 4] (v — ⅘ v) ⅘ v; daraus folgt v = 25/29 c, mithin v' = 20/29 c und
v'' = 10/29 c. Dadurch wird das Bewegungsmoment des ersten Rades
[Formel 5] ; das Bewegungsmoment des zweiten Rades
= [Formel 6] ; und das Moment des dritten Rades
= [Formel 7] .

Würde dagegen die Wassermenge M in drei Gerinne vertheilt, sonach jedes Rad
nur mit der Wassermenge [Formel 8] betrieben, so wäre das Bewegungsmoment eines jeden Rades
= [Formel 9] , folglich das Bewegungsmoment aller 3 Räder = [Formel 10] . Die Summe
der Bewegungsmomente der 3 Räder in abgesonderten Gerinnen verhält sich demnach zu
der Summe der Bewegungsmomente der 3 Räder in einem gemeinschaftlichen Gerinne
wie [Formel 11] = 841 : 1200 oder beinahe wie 7 : 10; die 3 Räder in
abgesonderten Gerinnen können demnach diejenige Arbeit erst in 10 Tagen verrichten,
welche die 3 Räder in einem gemeinschaftlichen Gerinne in 7 Tagen zu Stande bringen.

Diese Bemerkung ist um so wichtiger, weil dasjenige Wasser, welches bei der An-
wendung eines Rades theils in den Zwischenräumen zwischen den Rädern und dem Gerinne,
theils auch unter den Rädern ohne anzustossen abfliesst, bei den abgesonderten Gerinnen
gänzlich verloren geht, bei Anordnung dreier Räder in einem gemeinschaftlichen Gerinne
aber bei den folgenden Rädern zur Verwendung gebracht werden kann. Dieser Vortheil
erhellet auch aus dem Umstande, weil das Wasser bei der Anwendung dreier Räder mit
der Geschwindigkeit v'' = 10/29 c beinahe = ⅓ c abfliesst, während das abfliessende Was-
ser bei abgesonderten Gerinnen die Geschwindigkeit ½ c behält.

§. 273.

Zur Bestimmung der Kröpfung wollen wir die Tiefe des mit der Geschwin-Fig.
11.
Tab.
56.
digkeit c zufliessenden Wassers = a, die Tiefe des unter dem ersten Rade mit der Ge-
schwindigkeit v = 25/29 c abfliessenden Wassers = a', und eben so die Tiefe des unter dem
zweiten Rade mit der Geschwindigkeit v' = 20/29 c abfliessenden Wassers = a'' und end-
lich die Tiefe des mit der Geschwindigkeit v'' = 10/29 c unter dem dritten Rade abflies-
senden Wassers = a''' bezeichnen. Da nun unter allen Rädern dieselbe Wassermenge

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[367/0385] Vortheil dreier Räder in einem Gerinne. moment des letzten Rades zu einem Maximum machen. Demnach muss v'' = ½ v' seyn, dadurch wird dieses Bewegungsmoment = [FORMEL]. Setzen wir nun das Bewe- gungsmoment des zweiten Rades diesem letzten gleich, so haben wir [FORMEL]; daraus folgt v' = ⅘ v, folglich ist das Bewegungs- moment des zweiten Rades = [FORMEL] (v — ⅘ v) ⅘ v. Wird nun das Bewegungs- moment des ersten Rades diesem gleich gesetzt, so erhalten wir [FORMEL] (v — ⅘ v) ⅘ v; daraus folgt v = 25/29 c, mithin v' = 20/29 c und v'' = 10/29 c. Dadurch wird das Bewegungsmoment des ersten Rades [FORMEL]; das Bewegungsmoment des zweiten Rades = [FORMEL]; und das Moment des dritten Rades = [FORMEL]. Würde dagegen die Wassermenge M in drei Gerinne vertheilt, sonach jedes Rad nur mit der Wassermenge [FORMEL] betrieben, so wäre das Bewegungsmoment eines jeden Rades = [FORMEL], folglich das Bewegungsmoment aller 3 Räder = [FORMEL]. Die Summe der Bewegungsmomente der 3 Räder in abgesonderten Gerinnen verhält sich demnach zu der Summe der Bewegungsmomente der 3 Räder in einem gemeinschaftlichen Gerinne wie [FORMEL] = 841 : 1200 oder beinahe wie 7 : 10; die 3 Räder in abgesonderten Gerinnen können demnach diejenige Arbeit erst in 10 Tagen verrichten, welche die 3 Räder in einem gemeinschaftlichen Gerinne in 7 Tagen zu Stande bringen. Diese Bemerkung ist um so wichtiger, weil dasjenige Wasser, welches bei der An- wendung eines Rades theils in den Zwischenräumen zwischen den Rädern und dem Gerinne, theils auch unter den Rädern ohne anzustossen abfliesst, bei den abgesonderten Gerinnen gänzlich verloren geht, bei Anordnung dreier Räder in einem gemeinschaftlichen Gerinne aber bei den folgenden Rädern zur Verwendung gebracht werden kann. Dieser Vortheil erhellet auch aus dem Umstande, weil das Wasser bei der Anwendung dreier Räder mit der Geschwindigkeit v'' = 10/29 c beinahe = ⅓ c abfliesst, während das abfliessende Was- ser bei abgesonderten Gerinnen die Geschwindigkeit ½ c behält. §. 273. Zur Bestimmung der Kröpfung wollen wir die Tiefe des mit der Geschwin- digkeit c zufliessenden Wassers = a, die Tiefe des unter dem ersten Rade mit der Ge- schwindigkeit v = 25/29 c abfliessenden Wassers = a', und eben so die Tiefe des unter dem zweiten Rade mit der Geschwindigkeit v' = 20/29 c abfliessenden Wassers = a'' und end- lich die Tiefe des mit der Geschwindigkeit v'' = 10/29 c unter dem dritten Rade abflies- senden Wassers = a''' bezeichnen. Da nun unter allen Rädern dieselbe Wassermenge Fig. 11. Tab. 56.

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Zitationshilfe: Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 2: Mechanik flüssiger Körper. Prag, 1832, S. 367. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gerstner_mechanik02_1832/385>, abgerufen am 04.12.2024.