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Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 2: Mechanik flüssiger Körper. Prag, 1832.

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Kröpfung der Gerinne mit drei Rädern.
Fig.
11.
Tab.
56.a . b . c abfliesst, so haben wir a . b . c = a' . b . 25/29 c = a'' . b . 20/29 c = a''' . b . 10/29 c.
Daraus folgt a' = 29/25 a, a'' = 29/20 a und a''' = 29/10 a.

Da die letzte Wasserhöhe beinahe = 3 a ist, so kann der Fall eintreten, dass die
natürliche Tiefe des Flusses kleiner ist als diese Höhe; dadurch würde das Wasser bei
dem letzten Rade mit der Geschwindigkeit v'' = 10/29 c nicht frey abfliessen können, sonach
das letzte Rad im Stau gehen. Dieser Fall findet vorzüglich bei kleinen und seichten Flüs-
sen Statt, wenn für dieselben eine grosse Gefällshöhe für das Wehr bewilligt wird, denn wir
haben oben gefunden a = 0,422 . h, folglich wäre die Tiefe unter dem letzten Rade
= 29/10 a = 1,224 . h. Setzen wir nun die natürliche Tiefe des abfliessenden Wassers = A,
so müsste zur Vermeidung des Staues die Höhe A grösser als 1,224 h seyn; wäre die Höhe
des Wehres h grösser als A, so ergibt sich von selbst die Unmöglichkeit dieser Anord-
nung. Um dem abzuhelfen, wird die Breite des Gerinnes B grösser als die Breite
zwischen den Griessäulen b gemacht. Da nun zwischen den Griessäulen die auf die Breite
b beschränkte Wassermenge = m . b . h . 2/3 . [Formel 1] eben so gross ist als die im Ge-
rinne abfliessende, so können wir diese Wassermenge = a . B . [Formel 2] setzen, da-
durch wird a = m . 2/3 h · [Formel 3] = 0,422 h · [Formel 4] , folglich ist die Höhe des unter dem letz-
ten Rade abfliessenden Wassers a''' = 29/10 . 0,422 h · [Formel 5] = 1,224. h · [Formel 6] , welche nun der Tiefe
des Wassers im Flusse A gleichgesetzt werden kann; dadurch erhalten wir die Breite des
Gerinnes B = 1,224 · [Formel 7] .

§. 274.

Bei allen diesen über die zweckmässigste Geschwindigkeit und Stellung der Räder,
dann für die Kröpfung angegebenen Regeln wurde die Oberfläche für den Abfluss des
Wassers zwischen den Mühlrädern horizontal angenommen und der Widerstand,
welchen das Wasser von den Wänden des Gerinnes erfährt, noch nicht in Be-
trachtung gezogen. Das letztere kann ohne Anstand Statt finden, wenn die Gerinne sehr
weit und die Geschwindigkeit des Wassers nicht bedeutend ist, welches hauptsächlich an
grossen Flüssen der Fall ist, wo wegen Vermeidung der Uiberschwemmungen keine grosse
Stauhöhe für das Wehr gestattet werden kann. Bei kleinern Flüssen hingegen, wo die
natürliche Höhe der Ufer eine grössere Erhöhung des Wehres zum Vortheile der Mühle
gestattet, demnach die Geschwindigkeit des Wassers im Mühlgerinne grösser wird, kann
man die gleichförmige Geschwindigkeit durch eine angemessene Neigung des Gerinne-
bodens herstellen. Zu dieser Absicht dient die für den Widerstand des Wassers ange-
gebene Gleichung h = [Formel 8] . Wird hierin wegen der grossen Ge-
schwindigkeit der zweite Theil vernachlässigt und die Höhe des Wasserstandes im Ge-
rinne = a, die Breite des Gerinnes = b, folglich die Peripherie p = 2 a + b und die
Querschnittsfläche f = a . b, endlich die Geschwindigkeitshöhe des Wassers [Formel 9] = H
gesetzt, so ist die zur Erzielung einer gleichförmigen Geschwindigkeit nöthige Neigung
des Gerinnes [Formel 10] .

Kröpfung der Gerinne mit drei Rädern.
Fig.
11.
Tab.
56.a . b . c abfliesst, so haben wir a . b . c = a' . b . 25/29 c = a'' . b . 20/29 c = a''' . b . 10/29 c.
Daraus folgt a' = 29/25 a, a'' = 29/20 a und a''' = 29/10 a.

Da die letzte Wasserhöhe beinahe = 3 a ist, so kann der Fall eintreten, dass die
natürliche Tiefe des Flusses kleiner ist als diese Höhe; dadurch würde das Wasser bei
dem letzten Rade mit der Geschwindigkeit v'' = 10/29 c nicht frey abfliessen können, sonach
das letzte Rad im Stau gehen. Dieser Fall findet vorzüglich bei kleinen und seichten Flüs-
sen Statt, wenn für dieselben eine grosse Gefällshöhe für das Wehr bewilligt wird, denn wir
haben oben gefunden a = 0,422 . h, folglich wäre die Tiefe unter dem letzten Rade
= 29/10 a = 1,224 . h. Setzen wir nun die natürliche Tiefe des abfliessenden Wassers = A,
so müsste zur Vermeidung des Staues die Höhe A grösser als 1,224 h seyn; wäre die Höhe
des Wehres h grösser als A, so ergibt sich von selbst die Unmöglichkeit dieser Anord-
nung. Um dem abzuhelfen, wird die Breite des Gerinnes B grösser als die Breite
zwischen den Griessäulen b gemacht. Da nun zwischen den Griessäulen die auf die Breite
b beschränkte Wassermenge = m . b . h . ⅔ . [Formel 1] eben so gross ist als die im Ge-
rinne abfliessende, so können wir diese Wassermenge = a . B . [Formel 2] setzen, da-
durch wird a = m . ⅔ h · [Formel 3] = 0,422 h · [Formel 4] , folglich ist die Höhe des unter dem letz-
ten Rade abfliessenden Wassers a''' = 29/10 . 0,422 h · [Formel 5] = 1,224. h · [Formel 6] , welche nun der Tiefe
des Wassers im Flusse A gleichgesetzt werden kann; dadurch erhalten wir die Breite des
Gerinnes B = 1,224 · [Formel 7] .

§. 274.

Bei allen diesen über die zweckmässigste Geschwindigkeit und Stellung der Räder,
dann für die Kröpfung angegebenen Regeln wurde die Oberfläche für den Abfluss des
Wassers zwischen den Mühlrädern horizontal angenommen und der Widerstand,
welchen das Wasser von den Wänden des Gerinnes erfährt, noch nicht in Be-
trachtung gezogen. Das letztere kann ohne Anstand Statt finden, wenn die Gerinne sehr
weit und die Geschwindigkeit des Wassers nicht bedeutend ist, welches hauptsächlich an
grossen Flüssen der Fall ist, wo wegen Vermeidung der Uiberschwemmungen keine grosse
Stauhöhe für das Wehr gestattet werden kann. Bei kleinern Flüssen hingegen, wo die
natürliche Höhe der Ufer eine grössere Erhöhung des Wehres zum Vortheile der Mühle
gestattet, demnach die Geschwindigkeit des Wassers im Mühlgerinne grösser wird, kann
man die gleichförmige Geschwindigkeit durch eine angemessene Neigung des Gerinne-
bodens herstellen. Zu dieser Absicht dient die für den Widerstand des Wassers ange-
gebene Gleichung h = [Formel 8] . Wird hierin wegen der grossen Ge-
schwindigkeit der zweite Theil vernachlässigt und die Höhe des Wasserstandes im Ge-
rinne = a, die Breite des Gerinnes = b, folglich die Peripherie p = 2 a + b und die
Querschnittsfläche f = a . b, endlich die Geschwindigkeitshöhe des Wassers [Formel 9] = H
gesetzt, so ist die zur Erzielung einer gleichförmigen Geschwindigkeit nöthige Neigung
des Gerinnes [Formel 10] .

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[368/0386] Kröpfung der Gerinne mit drei Rädern. a . b . c abfliesst, so haben wir a . b . c = a' . b . 25/29 c = a'' . b . 20/29 c = a''' . b . 10/29 c. Daraus folgt a' = 29/25 a, a'' = 29/20 a und a''' = 29/10 a. Fig. 11. Tab. 56. Da die letzte Wasserhöhe beinahe = 3 a ist, so kann der Fall eintreten, dass die natürliche Tiefe des Flusses kleiner ist als diese Höhe; dadurch würde das Wasser bei dem letzten Rade mit der Geschwindigkeit v'' = 10/29 c nicht frey abfliessen können, sonach das letzte Rad im Stau gehen. Dieser Fall findet vorzüglich bei kleinen und seichten Flüs- sen Statt, wenn für dieselben eine grosse Gefällshöhe für das Wehr bewilligt wird, denn wir haben oben gefunden a = 0,422 . h, folglich wäre die Tiefe unter dem letzten Rade = 29/10 a = 1,224 . h. Setzen wir nun die natürliche Tiefe des abfliessenden Wassers = A, so müsste zur Vermeidung des Staues die Höhe A grösser als 1,224 h seyn; wäre die Höhe des Wehres h grösser als A, so ergibt sich von selbst die Unmöglichkeit dieser Anord- nung. Um dem abzuhelfen, wird die Breite des Gerinnes B grösser als die Breite zwischen den Griessäulen b gemacht. Da nun zwischen den Griessäulen die auf die Breite b beschränkte Wassermenge = m . b . h . ⅔ . [FORMEL] eben so gross ist als die im Ge- rinne abfliessende, so können wir diese Wassermenge = a . B . [FORMEL] setzen, da- durch wird a = m . ⅔ h · [FORMEL] = 0,422 h · [FORMEL], folglich ist die Höhe des unter dem letz- ten Rade abfliessenden Wassers a''' = 29/10 . 0,422 h · [FORMEL] = 1,224. h · [FORMEL], welche nun der Tiefe des Wassers im Flusse A gleichgesetzt werden kann; dadurch erhalten wir die Breite des Gerinnes B = 1,224 · [FORMEL]. §. 274. Bei allen diesen über die zweckmässigste Geschwindigkeit und Stellung der Räder, dann für die Kröpfung angegebenen Regeln wurde die Oberfläche für den Abfluss des Wassers zwischen den Mühlrädern horizontal angenommen und der Widerstand, welchen das Wasser von den Wänden des Gerinnes erfährt, noch nicht in Be- trachtung gezogen. Das letztere kann ohne Anstand Statt finden, wenn die Gerinne sehr weit und die Geschwindigkeit des Wassers nicht bedeutend ist, welches hauptsächlich an grossen Flüssen der Fall ist, wo wegen Vermeidung der Uiberschwemmungen keine grosse Stauhöhe für das Wehr gestattet werden kann. Bei kleinern Flüssen hingegen, wo die natürliche Höhe der Ufer eine grössere Erhöhung des Wehres zum Vortheile der Mühle gestattet, demnach die Geschwindigkeit des Wassers im Mühlgerinne grösser wird, kann man die gleichförmige Geschwindigkeit durch eine angemessene Neigung des Gerinne- bodens herstellen. Zu dieser Absicht dient die für den Widerstand des Wassers ange- gebene Gleichung h = [FORMEL]. Wird hierin wegen der grossen Ge- schwindigkeit der zweite Theil vernachlässigt und die Höhe des Wasserstandes im Ge- rinne = a, die Breite des Gerinnes = b, folglich die Peripherie p = 2 a + b und die Querschnittsfläche f = a . b, endlich die Geschwindigkeitshöhe des Wassers [FORMEL] = H gesetzt, so ist die zur Erzielung einer gleichförmigen Geschwindigkeit nöthige Neigung des Gerinnes [FORMEL].

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Zitationshilfe: Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 2: Mechanik flüssiger Körper. Prag, 1832, S. 368. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gerstner_mechanik02_1832/386>, abgerufen am 04.12.2024.