Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 2: Mechanik flüssiger Körper. Prag, 1832.

Diese Methode beruht erstens auf dem vollständigen Integral
L = [Formel 1] und zweitens auf der genauen Berechnung der Länge des Bogens
s = [Formel 2] · nat · log [Formel 3] . Wenn nun nach der letzten Gleichung
die Länge der Bögen s für alle Winkel, welche die Richtung der Bahn erhalten kann,
entweder von 5 zu 5 Grad oder zur Erzielung einer noch grössern Genauigkeit von
Grad zu Grad berechnet wird, so kann man diese Bögen von einander abziehen und
die Unterschiede so kleiner Bogenlängen als gerade Linien betrachten. Dadurch er-
halten wir in jedem Dreiecke M N O die Länge des Bogens M N = der endlichen Dif-
ferenz von s = D s und da der Winkel N M O = l ist, so folgt
M O = D s · Cos l = D x und N O = D s · Sin l = D y. Die Summe aller D xFig.
25.
Tab.
65.
vom Anfangspunkte A bis zu dem Punkte L gibt die Abscisse für den Punkt L, näm-
lich A L = x und die Summe aller D y die Ordinate L M = y. Um diese Rechnung
noch genauer zu führen, müssen wir bemerken, dass der Bogen A M im Punkte M
mit der Abscissenlinie den Winkel N M O = l, in dem folgenden Punkte N aber nach
unserer Rechnung einen um 5 Grad kleinern Winkel l' macht; weil nun die Gleichung
D y = D s · Sin l die Linie N O zu gross, und die Gleichung D y = D s · Sin l'
den Werth für N O zu klein geben würde, so haben wir zur genauern Bestimmung
der Grössen N O und M O statt des Winkels l den Winkel [Formel 4] angenommen, sonach
D x = D s · Cos [Formel 5] und D y = D s · Sin [Formel 6] gesetzt.

Zur leichtern Ausführung solcher Rechnungen dient die nachfolgende Tabelle.
In der ersten Kolumne dieser Tabelle befinden sich die Winkel l, bis zu welchen die
Länge des Bogens berechnet werden soll und in der zweiten Kolumne ist die Grösse
[Formel 7] angegeben. Die dritte Kolumne enthält den Werth für nat · log · tang (45 -- 1/2 l). Für
diejenigen, welche nicht im Besitze der Tafeln natürlicher Logarithmen sind, wird
hier bemerkt, dass die natürlichen Logarithmen mit Hilfe der Briggischen berechnet
werden, wenn der jedesmalige Briggische Logarithmus mit der Zahl 2,302585 multiplizirt
wird. Die vierte Kolumne enthält die Grösse [Formel 8] -- nat · log · tang (45 -- 1/2 l). Weil
aber tang (45 -- 1/2 l) kleiner als 1, und daher der Logarithmus eine negative Grösse
ist, so erhellet, dass durch die Subtrakzion dieser Zahlen von den Zahlen in der zwei-
ten Kolumne eigentlich die Summe von beiden entsteht.

Die auf solche Art berechnete Tabelle ist allgemein und es lassen sich mit ihrer
Hilfe alle Bahnen geworfener Körper für jeden Winkel a berechnen. Es leuchtet von
selbst ein, dass man bei dieser Rechnung keineswegs, so wie es andere Schriftsteller gethan
habea, genöthigt sey, den Winkel a sehr klein anzunehmen, da sich nach unserer
Theorie die Bahn geworfener Körper im widerstehenden Mittel oder die sogenannte Bal-
listische Linie mit gleicher Verlässlichkeit für jeden Werth von a bestimmen lässt.

Diese Methode beruht erstens auf dem vollständigen Integral
L = [Formel 1] und zweitens auf der genauen Berechnung der Länge des Bogens
s = [Formel 2] · nat · log [Formel 3] . Wenn nun nach der letzten Gleichung
die Länge der Bögen s für alle Winkel, welche die Richtung der Bahn erhalten kann,
entweder von 5 zu 5 Grad oder zur Erzielung einer noch grössern Genauigkeit von
Grad zu Grad berechnet wird, so kann man diese Bögen von einander abziehen und
die Unterschiede so kleiner Bogenlängen als gerade Linien betrachten. Dadurch er-
halten wir in jedem Dreiecke M N O die Länge des Bogens M N = der endlichen Dif-
ferenz von s = Δ s und da der Winkel N M O = λ ist, so folgt
M O = Δ s · Cos λ = Δ x und N O = Δ s · Sin λ = Δ y. Die Summe aller Δ xFig.
25.
Tab.
65.
vom Anfangspunkte A bis zu dem Punkte L gibt die Abscisse für den Punkt L, näm-
lich A L = x und die Summe aller Δ y die Ordinate L M = y. Um diese Rechnung
noch genauer zu führen, müssen wir bemerken, dass der Bogen A M im Punkte M
mit der Abscissenlinie den Winkel N M O = λ, in dem folgenden Punkte N aber nach
unserer Rechnung einen um 5 Grad kleinern Winkel λ' macht; weil nun die Gleichung
Δ y = Δ s · Sin λ die Linie N O zu gross, und die Gleichung Δ y = Δ s · Sin λ'
den Werth für N O zu klein geben würde, so haben wir zur genauern Bestimmung
der Grössen N O und M O statt des Winkels λ den Winkel [Formel 4] angenommen, sonach
Δ x = Δ s · Cos [Formel 5] und Δ y = Δ s · Sin [Formel 6] gesetzt.

Zur leichtern Ausführung solcher Rechnungen dient die nachfolgende Tabelle.
In der ersten Kolumne dieser Tabelle befinden sich die Winkel λ, bis zu welchen die
Länge des Bogens berechnet werden soll und in der zweiten Kolumne ist die Grösse
[Formel 7] angegeben. Die dritte Kolumne enthält den Werth für nat · log · tang (45 — ½ λ). Für
diejenigen, welche nicht im Besitze der Tafeln natürlicher Logarithmen sind, wird
hier bemerkt, dass die natürlichen Logarithmen mit Hilfe der Briggischen berechnet
werden, wenn der jedesmalige Briggische Logarithmus mit der Zahl 2,302585 multiplizirt
wird. Die vierte Kolumne enthält die Grösse [Formel 8] — nat · log · tang (45 — ½ λ). Weil
aber tang (45 — ½ λ) kleiner als 1, und daher der Logarithmus eine negative Grösse
ist, so erhellet, dass durch die Subtrakzion dieser Zahlen von den Zahlen in der zwei-
ten Kolumne eigentlich die Summe von beiden entsteht.

Die auf solche Art berechnete Tabelle ist allgemein und es lassen sich mit ihrer
Hilfe alle Bahnen geworfener Körper für jeden Winkel α berechnen. Es leuchtet von
selbst ein, dass man bei dieser Rechnung keineswegs, so wie es andere Schriftsteller gethan
habea, genöthigt sey, den Winkel α sehr klein anzunehmen, da sich nach unserer
Theorie die Bahn geworfener Körper im widerstehenden Mittel oder die sogenannte Bal-
listische Linie mit gleicher Verlässlichkeit für jeden Werth von α bestimmen lässt.