Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 2: Mechanik flüssiger Körper. Prag, 1832.
Bahn schief geworfener Körper. fortwährend beschleunigt und die Geschwindigkeit V, welche er erreichen kann, un-endlich gross, oder [Formel 1] = 0 wird. §. 351. Aus den im vorigen Paragraphe für die Berechnung der Coordinaten angegebenen Aus diesen drei Gleichungen lässt sich sowohl die Geschwindigkeit in der Richtung der Bahn,
als auch die horizontale und vertikale Geschwindigkeit für jeden gegebenen Winkel l finden. Wir können nun auch die Coordinaten x und y der krummen Linie mittelst der Gleichung IV berechnen; wir haben nämlich d x = d s · Cos l = [Formel 4] . Auf gleiche Art ist d y = d s · Sin l = [Formel 5] . Aus den Integralien dieser Gleichungen findet man die Coordinaten x und y für jeden Stellungs- winkel l; bevor wir aber zur Bestimmung dieser Integralien schreiten, wollen wir erst den Fall untersuchen, wenn die Geschwindigkeit V so gross ist, dass die Grösse [Formel 6] gegen 1 vernachlässigt werden kann. In diesem Falle haben wir die horizontale Geschwindigkeit v · Cos l = c · Cos a, die Geschwindigkeit nach der Richtung der Bahn v = c · [Formel 7] und die senkrechte Geschwindig- keit v · Sin l = c · Cos a · tang l. Ferner ist d s = [Formel 8] , folglich der Bogen s = [Formel 9] · L und d x = d s · Cos l = [Formel 10] und die Ab- scisse x = [Formel 11] (tang a -- tang l). Eben so ist d y = d s · Sin l = [Formel 12] , folglich die zu dem Winkel l gehö- rige Ordinate y = [Formel 13] (tang2 a -- tang2 l). Bahn schief geworfener Körper. fortwährend beschleunigt und die Geschwindigkeit V, welche er erreichen kann, un-endlich gross, oder [Formel 1] = 0 wird. §. 351. Aus den im vorigen Paragraphe für die Berechnung der Coordinaten angegebenen Aus diesen drei Gleichungen lässt sich sowohl die Geschwindigkeit in der Richtung der Bahn,
als auch die horizontale und vertikale Geschwindigkeit für jeden gegebenen Winkel λ finden. Wir können nun auch die Coordinaten x und y der krummen Linie mittelst der Gleichung IV berechnen; wir haben nämlich d x = d s · Cos λ = [Formel 4] . Auf gleiche Art ist d y = d s · Sin λ = [Formel 5] . Aus den Integralien dieser Gleichungen findet man die Coordinaten x und y für jeden Stellungs- winkel λ; bevor wir aber zur Bestimmung dieser Integralien schreiten, wollen wir erst den Fall untersuchen, wenn die Geschwindigkeit V so gross ist, dass die Grösse [Formel 6] gegen 1 vernachlässigt werden kann. In diesem Falle haben wir die horizontale Geschwindigkeit v · Cos λ = c · Cos α, die Geschwindigkeit nach der Richtung der Bahn v = c · [Formel 7] und die senkrechte Geschwindig- keit v · Sin λ = c · Cos α · tang λ. Ferner ist d s = [Formel 8] , folglich der Bogen s = [Formel 9] · L und d x = d s · Cos λ = [Formel 10] und die Ab- scisse x = [Formel 11] (tang α — tang λ). Eben so ist d y = d s · Sin λ = [Formel 12] , folglich die zu dem Winkel λ gehö- rige Ordinate y = [Formel 13] (tang2 α — tang2 λ). <TEI> <text> <body> <div n="1"> <div n="2"> <div n="3"> <p><pb facs="#f0508" n="490"/><fw place="top" type="header"><hi rendition="#i">Bahn schief geworfener Körper.</hi></fw><lb/> fortwährend beschleunigt und die Geschwindigkeit V, welche er erreichen kann, un-<lb/> endlich gross, oder <formula/> = 0 wird.</p> </div><lb/> <div n="3"> <head>§. 351.</head><lb/> <p>Aus den im vorigen Paragraphe für die Berechnung der Coordinaten angegebenen<lb/> Differenzial-Gleichungen würden sich auch die Coordinaten für jeden Punkt der krum-<lb/> men Linie bestimmen lassen, wenn jene Differenzial-Gleichungen in ihrer allgemei-<lb/> nen Form integrirt werden könnten. Da aber hierzu noch keine Methode bekannt ist,<lb/> so hat man bisher verschiedene Annäherungen versucht und zur Erhaltung konvergi-<lb/> render Reihen angenommen, dass die Grösse <formula/> und der Winkel <hi rendition="#i">λ</hi> so klein sind, dass<lb/> die höheren Potenzen derselben weggelassen werden können. Weil aber im widerste-<lb/> henden Mittel die Geschwindigkeit V auf die Grösse <formula/> beschränkt<lb/> ist und bei der Luft für eine 6 pfündige Kanonenkugel = 296 Fuss gefunden wurde, so<lb/> müsste man zu einer algebraischen Annäherung den Werth von c viel kleiner als 296<lb/> Fuss annehmen. Da jedoch die Kraft des Schiesspulvers so gross ist, dass die aus<lb/> Kanonen und andern Gewehren abgeschossenen Kugeln mit einer viel grössern Geschwin-<lb/> digkeit fortgetrieben werden, so wollen wir eine eigene Methode zur Berechnung der<lb/> Bahn unserer Kugeln angeben, <hi rendition="#g">welche weder von der Grösse der Geschwin-<lb/> digkeit c, noch von der Kleinheit der Winkel <hi rendition="#i">α</hi> und</hi> <hi rendition="#i">λ</hi>, welche die Rich-<lb/><note xml:id="note-0508" prev="#note-0507" place="foot" n="*)">Aus diesen drei Gleichungen lässt sich sowohl die Geschwindigkeit in der Richtung der Bahn,<lb/> als auch die horizontale und vertikale Geschwindigkeit für jeden gegebenen Winkel <hi rendition="#i">λ</hi> finden.<lb/> Wir können nun auch die Coordinaten x und y der krummen Linie mittelst der Gleichung IV<lb/> berechnen; wir haben nämlich d x = d s · Cos <hi rendition="#i">λ</hi> = <formula/>.<lb/> Auf gleiche Art ist d y = d s · Sin <hi rendition="#i">λ</hi> = <formula/>.<lb/> Aus den Integralien dieser Gleichungen findet man die Coordinaten x und y für jeden Stellungs-<lb/> winkel <hi rendition="#i">λ</hi>; bevor wir aber zur Bestimmung dieser Integralien schreiten, wollen wir erst den Fall<lb/> untersuchen, wenn die Geschwindigkeit V so gross ist, dass die Grösse <formula/> gegen 1 vernachlässigt<lb/> werden kann. In diesem Falle haben wir die horizontale Geschwindigkeit v · Cos <hi rendition="#i">λ</hi> = c · Cos <hi rendition="#i">α</hi>,<lb/> die Geschwindigkeit nach der Richtung der Bahn v = c · <formula/> und die senkrechte Geschwindig-<lb/> keit v · Sin <hi rendition="#i">λ</hi> = c · Cos <hi rendition="#i">α</hi> · tang <hi rendition="#i">λ</hi>. Ferner ist d s = <formula/>, folglich der Bogen<lb/> s = <formula/> · L und d x = d s · Cos <hi rendition="#i">λ</hi> = <formula/> und die Ab-<lb/> scisse x = <formula/> (tang <hi rendition="#i">α</hi> — tang <hi rendition="#i">λ</hi>). Eben so ist<lb/> d y = d s · Sin <hi rendition="#i">λ</hi> = <formula/>, folglich die zu dem Winkel <hi rendition="#i">λ</hi> gehö-<lb/> rige Ordinate y = <formula/> (tang<hi rendition="#sup">2</hi> <hi rendition="#i">α</hi> — tang<hi rendition="#sup">2</hi> <hi rendition="#i">λ</hi>).</note><lb/></p> </div> </div> </div> </body> </text> </TEI> [490/0508]
Bahn schief geworfener Körper.
fortwährend beschleunigt und die Geschwindigkeit V, welche er erreichen kann, un-
endlich gross, oder [FORMEL] = 0 wird.
§. 351.
Aus den im vorigen Paragraphe für die Berechnung der Coordinaten angegebenen
Differenzial-Gleichungen würden sich auch die Coordinaten für jeden Punkt der krum-
men Linie bestimmen lassen, wenn jene Differenzial-Gleichungen in ihrer allgemei-
nen Form integrirt werden könnten. Da aber hierzu noch keine Methode bekannt ist,
so hat man bisher verschiedene Annäherungen versucht und zur Erhaltung konvergi-
render Reihen angenommen, dass die Grösse [FORMEL] und der Winkel λ so klein sind, dass
die höheren Potenzen derselben weggelassen werden können. Weil aber im widerste-
henden Mittel die Geschwindigkeit V auf die Grösse [FORMEL] beschränkt
ist und bei der Luft für eine 6 pfündige Kanonenkugel = 296 Fuss gefunden wurde, so
müsste man zu einer algebraischen Annäherung den Werth von c viel kleiner als 296
Fuss annehmen. Da jedoch die Kraft des Schiesspulvers so gross ist, dass die aus
Kanonen und andern Gewehren abgeschossenen Kugeln mit einer viel grössern Geschwin-
digkeit fortgetrieben werden, so wollen wir eine eigene Methode zur Berechnung der
Bahn unserer Kugeln angeben, welche weder von der Grösse der Geschwin-
digkeit c, noch von der Kleinheit der Winkel α und λ, welche die Rich-
*)
*) Aus diesen drei Gleichungen lässt sich sowohl die Geschwindigkeit in der Richtung der Bahn,
als auch die horizontale und vertikale Geschwindigkeit für jeden gegebenen Winkel λ finden.
Wir können nun auch die Coordinaten x und y der krummen Linie mittelst der Gleichung IV
berechnen; wir haben nämlich d x = d s · Cos λ = [FORMEL].
Auf gleiche Art ist d y = d s · Sin λ = [FORMEL].
Aus den Integralien dieser Gleichungen findet man die Coordinaten x und y für jeden Stellungs-
winkel λ; bevor wir aber zur Bestimmung dieser Integralien schreiten, wollen wir erst den Fall
untersuchen, wenn die Geschwindigkeit V so gross ist, dass die Grösse [FORMEL] gegen 1 vernachlässigt
werden kann. In diesem Falle haben wir die horizontale Geschwindigkeit v · Cos λ = c · Cos α,
die Geschwindigkeit nach der Richtung der Bahn v = c · [FORMEL] und die senkrechte Geschwindig-
keit v · Sin λ = c · Cos α · tang λ. Ferner ist d s = [FORMEL], folglich der Bogen
s = [FORMEL] · L und d x = d s · Cos λ = [FORMEL] und die Ab-
scisse x = [FORMEL] (tang α — tang λ). Eben so ist
d y = d s · Sin λ = [FORMEL], folglich die zu dem Winkel λ gehö-
rige Ordinate y = [FORMEL] (tang2 α — tang2 λ).
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| Zitationshilfe: | Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 2: Mechanik flüssiger Körper. Prag, 1832, S. 490. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gerstner_mechanik02_1832/508>, abgerufen am 04.12.2024. |
