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Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 3: Beschreibung und Berechnung grösserer Maschinenanlagen. Wien, 1834.

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Reibung zwischen Zahn und Getriebe.
Fig.
5.
Tab.
75.A C = B C = b, der Halbmesser des Rades A J = a und der Halbmesser des Triebstockes
B E = r, so ist die Sehne A B = 2 b . Sin 1/2 l und O B = b . Sin 1/2 l, wenn O C winkelrecht
auf A B ist; folglich O E = b . Sin 1/2 l -- r und C O = b . Cos 1/2 l, also [Formel 1] = tang v
= [Formel 2] Auf gleiche Art ist auch tang w = [Formel 3] Nun ist aber
E R = A R + A E, dann A R = A J . Sin R J A = a . Sin 1/2 l und A E = A B -- B E
= 2 b . Sin 1/2 l -- r, folglich E R = a . Sin 1/2 l + 2 b . Sin 1/2 l -- r; eben so ist
J R = a . Cos 1/2 l. Wir erhalten daher tang w = [Formel 4] ; daraus folgt
tang v + tang w + [Formel 5]
Also ist die Kraft P = [Formel 6] Zu Anfang des Eingriffes
bei a ist l = 0, für diesen Fall gibt demnach unsere Gleichung
P = [Formel 7]

In dieser Gleichung erscheint die Reibung mit dem negativen Zeichen aus dem
Grunde, weil der Berührungspunkt a des Zahnes mit dem Triebstocke zuerst bis nach
A abwärts und dann von A bis E aufwärts geht. Weil aber die Reibung sich nur der
Bewegung entgegen setzt, demnach nicht nur bei dem Aufwärtsgehen, sondern auch
bei dem Abwärtsgehen der Kraft entgegen wirkt, so müssen wir auch für diesen ersten
Theil der Bewegung von a bis A die Reibung mit dem positiven Zeichen nehmen,
und wir erhalten für den ersten Angriff bei a die Kraft P = [Formel 8]

Für den Austritt des Zahnes bei E bleibt uns demnach die Gleichung
P = [Formel 9] Wenn wir nun den Winkel [Formel 10] so
klein nehmen, dass derselbe ein Bruch wird, so ist Sin 1/2 l = 1/2 l und Cos 1/2 l = 1;
dadurch erhalten wir P = [Formel 11] Wird hierzu die Kraft, welche
beim Eintritt in a Statt findet, nämlich P = [Formel 12] addirt und von der
Summe das Mittel genommen, so ergibt sich die mittlere Kraft
P = [Formel 13] weil
b . l = a . m ist.

Aus dieser Gleichung ergibt sich von selbst, dass für den Fall, wenn das Ge-
trieb sich innerhalb des Rades befindet, die Kraft P = [Formel 14]
seyn werde, wie wir bereits früher bei der Abrundung und nöthigen Höhe der Zähne
gezeigt haben. Hieraus ist zu ersehen, dass wenn das Getrieb sich innerhalb des ge-
zähnten Rades befindet, die Bewegung leichter sey, als wenn das gezähnte Rad in
das Getrieb von aussen eingreift.

Reibung zwischen Zahn und Getriebe.
Fig.
5.
Tab.
75.A C = B C = b, der Halbmesser des Rades A J = a und der Halbmesser des Triebstockes
B E = r, so ist die Sehne A B = 2 b . Sin ½ λ und O B = b . Sin ½ λ, wenn O C winkelrecht
auf A B ist; folglich O E = b . Sin ½ λ — r und C O = b . Cos ½ λ, also [Formel 1] = tang v
= [Formel 2] Auf gleiche Art ist auch tang w = [Formel 3] Nun ist aber
E R = A R + A E, dann A R = A J . Sin R J A = a . Sin ½ λ und A E = A B — B E
= 2 b . Sin ½ λ — r, folglich E R = a . Sin ½ λ + 2 b . Sin ½ λ — r; eben so ist
J R = a . Cos ½ λ. Wir erhalten daher tang w = [Formel 4] ; daraus folgt
tang v + tang w + [Formel 5]
Also ist die Kraft P = [Formel 6] Zu Anfang des Eingriffes
bei a ist λ = 0, für diesen Fall gibt demnach unsere Gleichung
P = [Formel 7]

In dieser Gleichung erscheint die Reibung mit dem negativen Zeichen aus dem
Grunde, weil der Berührungspunkt a des Zahnes mit dem Triebstocke zuerst bis nach
A abwärts und dann von A bis E aufwärts geht. Weil aber die Reibung sich nur der
Bewegung entgegen setzt, demnach nicht nur bei dem Aufwärtsgehen, sondern auch
bei dem Abwärtsgehen der Kraft entgegen wirkt, so müssen wir auch für diesen ersten
Theil der Bewegung von a bis A die Reibung mit dem positiven Zeichen nehmen,
und wir erhalten für den ersten Angriff bei a die Kraft P = [Formel 8]

Für den Austritt des Zahnes bei E bleibt uns demnach die Gleichung
P = [Formel 9] Wenn wir nun den Winkel [Formel 10] so
klein nehmen, dass derselbe ein Bruch wird, so ist Sin ½ λ = ½ λ und Cos ½ λ = 1;
dadurch erhalten wir P = [Formel 11] Wird hierzu die Kraft, welche
beim Eintritt in a Statt findet, nämlich P = [Formel 12] addirt und von der
Summe das Mittel genommen, so ergibt sich die mittlere Kraft
P = [Formel 13] weil
b . λ = a . μ ist.

Aus dieser Gleichung ergibt sich von selbst, dass für den Fall, wenn das Ge-
trieb sich innerhalb des Rades befindet, die Kraft P = [Formel 14]
seyn werde, wie wir bereits früher bei der Abrundung und nöthigen Höhe der Zähne
gezeigt haben. Hieraus ist zu ersehen, dass wenn das Getrieb sich innerhalb des ge-
zähnten Rades befindet, die Bewegung leichter sey, als wenn das gezähnte Rad in
das Getrieb von aussen eingreift.

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[76/0112] Reibung zwischen Zahn und Getriebe. A C = B C = b, der Halbmesser des Rades A J = a und der Halbmesser des Triebstockes B E = r, so ist die Sehne A B = 2 b . Sin ½ λ und O B = b . Sin ½ λ, wenn O C winkelrecht auf A B ist; folglich O E = b . Sin ½ λ — r und C O = b . Cos ½ λ, also [FORMEL] = tang v = [FORMEL] Auf gleiche Art ist auch tang w = [FORMEL] Nun ist aber E R = A R + A E, dann A R = A J . Sin R J A = a . Sin ½ λ und A E = A B — B E = 2 b . Sin ½ λ — r, folglich E R = a . Sin ½ λ + 2 b . Sin ½ λ — r; eben so ist J R = a . Cos ½ λ. Wir erhalten daher tang w = [FORMEL]; daraus folgt tang v + tang w + [FORMEL] Also ist die Kraft P = [FORMEL] Zu Anfang des Eingriffes bei a ist λ = 0, für diesen Fall gibt demnach unsere Gleichung P = [FORMEL] Fig. 5. Tab. 75. In dieser Gleichung erscheint die Reibung mit dem negativen Zeichen aus dem Grunde, weil der Berührungspunkt a des Zahnes mit dem Triebstocke zuerst bis nach A abwärts und dann von A bis E aufwärts geht. Weil aber die Reibung sich nur der Bewegung entgegen setzt, demnach nicht nur bei dem Aufwärtsgehen, sondern auch bei dem Abwärtsgehen der Kraft entgegen wirkt, so müssen wir auch für diesen ersten Theil der Bewegung von a bis A die Reibung mit dem positiven Zeichen nehmen, und wir erhalten für den ersten Angriff bei a die Kraft P = [FORMEL] Für den Austritt des Zahnes bei E bleibt uns demnach die Gleichung P = [FORMEL] Wenn wir nun den Winkel [FORMEL] so klein nehmen, dass derselbe ein Bruch wird, so ist Sin ½ λ = ½ λ und Cos ½ λ = 1; dadurch erhalten wir P = [FORMEL] Wird hierzu die Kraft, welche beim Eintritt in a Statt findet, nämlich P = [FORMEL] addirt und von der Summe das Mittel genommen, so ergibt sich die mittlere Kraft P = [FORMEL] weil b . λ = a . μ ist. Aus dieser Gleichung ergibt sich von selbst, dass für den Fall, wenn das Ge- trieb sich innerhalb des Rades befindet, die Kraft P = [FORMEL] seyn werde, wie wir bereits früher bei der Abrundung und nöthigen Höhe der Zähne gezeigt haben. Hieraus ist zu ersehen, dass wenn das Getrieb sich innerhalb des ge- zähnten Rades befindet, die Bewegung leichter sey, als wenn das gezähnte Rad in das Getrieb von aussen eingreift.

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Zitationshilfe: Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 3: Beschreibung und Berechnung grösserer Maschinenanlagen. Wien, 1834, S. 76. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gerstner_mechanik03_1834/112>, abgerufen am 24.11.2024.