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Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 3: Beschreibung und Berechnung grösserer Maschinenanlagen. Wien, 1834.

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Berechnung des Wasserschöpfrades.
das Gewicht des Wassers in allen Kästen = 56,4 n . a . d [Formel 1] . Diese Last ist aufFig.
9.
Tab.
83.
dem Bogen P p vertheilt, es wird daher ihr Druck am Halbmesser O F des Rades
= 56,4 n . a . d [Formel 2] seyn. Weil die mittlere Ausgusshöhe des Wassers in l,
nämlich in der Mitte der Höhe zwischen H und dem Scheitel L des Rades angenommen
werden kann, so müsste dieser Ausdruck eigentlich mit [Formel 3] multiplizirt werden, wogegen
wir jedoch zur Vereinfachung der Rechnung das Verhältniss [Formel 4] annehmen können.

Da die Rechnung im vorigen §. gezeigt hat, dass der Faktor 1 -- [Formel 5] beinahe = 1
ist, und auch der Einfluss der Reibung unbedeutend erschien, so wollen wir in der fol-
genden Rechnung den Faktor 1 -- [Formel 6] = 1 setzen und die Reibung vernachlässi-
gen. Demnach wird von der Schaufelfläche die Wassermenge 2/3 f . c in einem freien Gerinne
aufgehalten, wenn f die Fläche der Schaufeln und c die Geschwindigkeit des anströmenden
Wassers bezeichnet. Setzen wir jene des Rades = v, so erhalten wir die Gleichung zwischen
Kraft und Last 56,4 f . c [Formel 7] = 56,4 n . a . d [Formel 8] (I). Setzen wir die Um-
laufszeit des Rades [Formel 9] = t und die Anzahl der Zellen auf der ganzen Peripherie = N, so
wird in der Zeit t die Wassermenge N . a . d [Formel 10] ausgegossen, folglich in 1 Se-
kunde die Wassermenge [Formel 11] v. Wird in diese
Gleichung der Werth für den kubischen Inhalt einer Zelle aus (I) substituirt, so ist der Effekt
in 1 Sekunde = [Formel 12] . Nun verhält sich aber P p : 22/7 · 2 r = n : N,
also ist der Effekt = [Formel 13] . Dieser ist am grössten, wenn v = 1/2 c, und da der
Höhenunterschied der zwei Wasserspiegel H G = H ist, so ist der grösste Effekt
= [Formel 14] . Weil der Bogen P p = r (p -- 2 w), so ist die Gleichung zwischen Kraft
und Last n . a . d [Formel 15] .

Bezeichnen wir die Tiefe des Wassers im Flusse mit T und die halbe Breite der Schau-
feln mit s, so ist G M = r (1 -- Cos w) + s = T und weil H G = H = 2 r · Cos w ist, so ist
auch r = 1/2 H -- s + T. Ferner ist 1 -- Cos w = 2 Sin2 (1/2 w), folglich 2 r · Sin2 (1/2 w) + s = T,
woraus Sin 1/2 w = [Formel 16] ; eben so ist Cos w = 1 -- 2 Sin2 (1/2 w) = [Formel 17] .

§. 136.

Beispiel. Es sey der Winkel w = 30°, so ist Cos w = 0,866, also
0,866 (H + 2 T -- 2 s) = H, woraus T = s + 1/13 H und s = T -- 1/13 H, oder die halbe Breite
der Schaufeln ist in diesem Falle = der Wassertiefe im Flusse -- 1/13 der Höhe, auf
welche das Wasser gehoben wird.

Berechnung des Wasserschöpfrades.
das Gewicht des Wassers in allen Kästen = 56,4 n . a . d [Formel 1] . Diese Last ist aufFig.
9.
Tab.
83.
dem Bogen P p vertheilt, es wird daher ihr Druck am Halbmesser O F des Rades
= 56,4 n . a . d [Formel 2] seyn. Weil die mittlere Ausgusshöhe des Wassers in l,
nämlich in der Mitte der Höhe zwischen H und dem Scheitel L des Rades angenommen
werden kann, so müsste dieser Ausdruck eigentlich mit [Formel 3] multiplizirt werden, wogegen
wir jedoch zur Vereinfachung der Rechnung das Verhältniss [Formel 4] annehmen können.

Da die Rechnung im vorigen §. gezeigt hat, dass der Faktor 1 — [Formel 5] beinahe = 1
ist, und auch der Einfluss der Reibung unbedeutend erschien, so wollen wir in der fol-
genden Rechnung den Faktor 1 — [Formel 6] = 1 setzen und die Reibung vernachlässi-
gen. Demnach wird von der Schaufelfläche die Wassermenge ⅔ f . c in einem freien Gerinne
aufgehalten, wenn f die Fläche der Schaufeln und c die Geschwindigkeit des anströmenden
Wassers bezeichnet. Setzen wir jene des Rades = v, so erhalten wir die Gleichung zwischen
Kraft und Last 56,4 f . c [Formel 7] = 56,4 n . a . d [Formel 8] (I). Setzen wir die Um-
laufszeit des Rades [Formel 9] = t und die Anzahl der Zellen auf der ganzen Peripherie = N, so
wird in der Zeit t die Wassermenge N . a . d [Formel 10] ausgegossen, folglich in 1 Se-
kunde die Wassermenge [Formel 11] v. Wird in diese
Gleichung der Werth für den kubischen Inhalt einer Zelle aus (I) substituirt, so ist der Effekt
in 1 Sekunde = [Formel 12] . Nun verhält sich aber P p : 22/7 · 2 r = n : N,
also ist der Effekt = [Formel 13] . Dieser ist am grössten, wenn v = ½ c, und da der
Höhenunterschied der zwei Wasserspiegel H G = H ist, so ist der grösste Effekt
= [Formel 14] . Weil der Bogen P p = r (π — 2 w), so ist die Gleichung zwischen Kraft
und Last n . a . d [Formel 15] .

Bezeichnen wir die Tiefe des Wassers im Flusse mit T und die halbe Breite der Schau-
feln mit s, so ist G M = r (1 — Cos w) + s = T und weil H G = H = 2 r · Cos w ist, so ist
auch r = ½ H — s + T. Ferner ist 1 — Cos w = 2 Sin2 (½ w), folglich 2 r · Sin2 (½ w) + s = T,
woraus Sin ½ w = [Formel 16] ; eben so ist Cos w = 1 — 2 Sin2 (½ w) = [Formel 17] .

§. 136.

Beispiel. Es sey der Winkel w = 30°, so ist Cos w = 0,866, also
0,866 (H + 2 T — 2 s) = H, woraus T = s + 1/13 H und s = T — 1/13 H, oder die halbe Breite
der Schaufeln ist in diesem Falle = der Wassertiefe im Flusse — 1/13 der Höhe, auf
welche das Wasser gehoben wird.

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[197/0233] Berechnung des Wasserschöpfrades. das Gewicht des Wassers in allen Kästen = 56,4 n . a . d [FORMEL]. Diese Last ist auf dem Bogen P p vertheilt, es wird daher ihr Druck am Halbmesser O F des Rades = 56,4 n . a . d [FORMEL] seyn. Weil die mittlere Ausgusshöhe des Wassers in l, nämlich in der Mitte der Höhe zwischen H und dem Scheitel L des Rades angenommen werden kann, so müsste dieser Ausdruck eigentlich mit [FORMEL] multiplizirt werden, wogegen wir jedoch zur Vereinfachung der Rechnung das Verhältniss [FORMEL] annehmen können. Fig. 9. Tab. 83. Da die Rechnung im vorigen §. gezeigt hat, dass der Faktor 1 — [FORMEL] beinahe = 1 ist, und auch der Einfluss der Reibung unbedeutend erschien, so wollen wir in der fol- genden Rechnung den Faktor 1 — [FORMEL] = 1 setzen und die Reibung vernachlässi- gen. Demnach wird von der Schaufelfläche die Wassermenge ⅔ f . c in einem freien Gerinne aufgehalten, wenn f die Fläche der Schaufeln und c die Geschwindigkeit des anströmenden Wassers bezeichnet. Setzen wir jene des Rades = v, so erhalten wir die Gleichung zwischen Kraft und Last 56,4 f . c [FORMEL] = 56,4 n . a . d [FORMEL] (I). Setzen wir die Um- laufszeit des Rades [FORMEL] = t und die Anzahl der Zellen auf der ganzen Peripherie = N, so wird in der Zeit t die Wassermenge N . a . d [FORMEL] ausgegossen, folglich in 1 Se- kunde die Wassermenge [FORMEL] v. Wird in diese Gleichung der Werth für den kubischen Inhalt einer Zelle aus (I) substituirt, so ist der Effekt in 1 Sekunde = [FORMEL]. Nun verhält sich aber P p : 22/7 · 2 r = n : N, also ist der Effekt = [FORMEL]. Dieser ist am grössten, wenn v = ½ c, und da der Höhenunterschied der zwei Wasserspiegel H G = H ist, so ist der grösste Effekt = [FORMEL]. Weil der Bogen P p = r (π — 2 w), so ist die Gleichung zwischen Kraft und Last n . a . d [FORMEL]. Bezeichnen wir die Tiefe des Wassers im Flusse mit T und die halbe Breite der Schau- feln mit s, so ist G M = r (1 — Cos w) + s = T und weil H G = H = 2 r · Cos w ist, so ist auch r = ½ H — s + T. Ferner ist 1 — Cos w = 2 Sin2 (½ w), folglich 2 r · Sin2 (½ w) + s = T, woraus Sin ½ w = [FORMEL]; eben so ist Cos w = 1 — 2 Sin2 (½ w) = [FORMEL]. §. 136. Beispiel. Es sey der Winkel w = 30°, so ist Cos w = 0,866, also 0,866 (H + 2 T — 2 s) = H, woraus T = s + 1/13 H und s = T — 1/13 H, oder die halbe Breite der Schaufeln ist in diesem Falle = der Wassertiefe im Flusse — 1/13 der Höhe, auf welche das Wasser gehoben wird.

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Zitationshilfe: Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 3: Beschreibung und Berechnung grösserer Maschinenanlagen. Wien, 1834, S. 197. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gerstner_mechanik03_1834/233>, abgerufen am 21.11.2024.