zweiten oder dritten Quadranten von b aus gerechnet, fällt, so wird Cos g negativ, folg-Fig. 8. Tab. 86. lich die Höhe d i + e' a ein Minimum.
Die Oberfläche des Wassers schneidet das innere Schraubengewinde zum zwei- ten Male im Punkte f, dessen Projekzion auf die Grundfläche der Schnecke nach f' fällt. Setzen wir den zugehörigen Winkel b e w f' = g', so ist die Höhe des Punktes f über der Horizontalen a j = (r . g' . Tang a . Tang b + r . Cos g' + R) Cos b (III); da aber d und f auf gleicher Höhe, oder in einer horizontalen Ebene liegen, so ist auch (r . g' . Tang a . Tang b + r . Cos g' + R) Cos b = (r . g . Tang a . Tang b + r . Cos g + R) Cos b, oder r . g' . Tang a . Tang b + r . Cos g' = r . g . Tang a . Tang b + r . Cos g und nach (II) ist r . g' . Sin g + r . Cos g' = r . g . Sin g + r . Cos g (IV). Die Oberfläche des Wassers schneidet das äussere Schneckengewinde zum ersten Male in k und die Höhe des Punktes k über der horizontalen Ebene a j ist, wenn wir den zugehörigen Pro- jekzionswinkel mit m bezeichnen (R . m . Tang A . Tang b + R . Cos m + R) Cos b, und für den zweiten Durchschnitt des äussern Schneckengewindes in g haben wir die Höhe dieses Punktes über der Horizontalen a j, wenn der zugehörige Projekzionswinkel mit m' bezeichnet wird = (R . m' . Tang A . Tang b + R . Cos m' + R) Cos b. Substituiren wir in diesen zwei Ausdrücken R . Tang A = r . Tang a, und setzen nach (II) für das Maximum Tang a . Tang b = Sin g, so erhalten wir, da beide Höhen einander gleich sind r . m . Sin g + R . Cos m = r . m' . Sin g + R . Cos m' (V).
Ist die Neigung der Schraube von der Art, dass a + b = 90° macht, so ist Tang a =
[Formel 1]
, also Tang a . Tang b = 1 = Sin g; demnach ist g = 90° und Cos g = 0; es wird also das innere Schneckengewinde bei q horizontal seyn, und es findet für dasselbe weder ein Maximum noch ein Minimum Statt, oder auf dem innern Gewinde bleibt kein Wasser stehen; doch bleibt Wasser auf dem äussern Gewinde und zwar gibt die Schnecke noch so viel Wasser, als in der Windung q u' y enthalten ist. Wenn aber a + b grösser als 90°, oder a grösser als 90 -- b ist, so berührt das Wasser die innere Windung gar nicht, und wir haben nur ein Maximum für die äussere Windung. Da nämlich die Höhe eines jeden Punktes dieser Windung = (R . m . Tang A . Tang b + R . Cos m + R) Cos b, so findet der höchste Punkt in dieser Windung dort Statt, wo Sin m = Tang A . Tang b =
[Formel 2]
· Tang b ist. Ist nun A + b = 90°, oder grösser als 90°, so hält auch die äussere Windung kein Wasser.
Die Gränze für das Wasser auf der innern Windung ist nach dem Frühern für Tang a . Tang b = 1 =
[Formel 3]
· Tang b, demnach r =
[Formel 4]
· Tang b und die Gränze für das Was- ser auf der äussern Windung ist für Tang A . Tang b = 1 =
[Formel 5]
· Tang b, demnach R =
[Formel 6]
· Tang b. Ist r kleiner, als
[Formel 7]
· Tang b, so befindet sich an der innern Windung kein Wasser; wenn aber R kleiner, als
[Formel 8]
· Tang b, so bleibt auch auf der äussern Windung kein Wasser. Soll also die Schnecke viel Wasser geben, so müssen die Grössen
[Formel 9]
und
[Formel 10]
oder R und r gross, dann h und b
29*
Berechnung der Wassermenge.
zweiten oder dritten Quadranten von b aus gerechnet, fällt, so wird Cos γ negativ, folg-Fig. 8. Tab. 86. lich die Höhe d i + e' a ein Minimum.
Die Oberfläche des Wassers schneidet das innere Schraubengewinde zum zwei- ten Male im Punkte f, dessen Projekzion auf die Grundfläche der Schnecke nach f' fällt. Setzen wir den zugehörigen Winkel b e w f' = γ', so ist die Höhe des Punktes f über der Horizontalen a j = (r . γ' . Tang α . Tang β + r . Cos γ' + R) Cos β (III); da aber d und f auf gleicher Höhe, oder in einer horizontalen Ebene liegen, so ist auch (r . γ' . Tang α . Tang β + r . Cos γ' + R) Cos β = (r . γ . Tang α . Tang β + r . Cos γ + R) Cos β, oder r . γ' . Tang α . Tang β + r . Cos γ' = r . γ . Tang α . Tang β + r . Cos γ und nach (II) ist r . γ' . Sin γ + r . Cos γ' = r . γ . Sin γ + r . Cos γ (IV). Die Oberfläche des Wassers schneidet das äussere Schneckengewinde zum ersten Male in k und die Höhe des Punktes k über der horizontalen Ebene a j ist, wenn wir den zugehörigen Pro- jekzionswinkel mit μ bezeichnen (R . μ . Tang A . Tang β + R . Cos μ + R) Cos β, und für den zweiten Durchschnitt des äussern Schneckengewindes in g haben wir die Höhe dieses Punktes über der Horizontalen a j, wenn der zugehörige Projekzionswinkel mit μ' bezeichnet wird = (R . μ' . Tang A . Tang β + R . Cos μ' + R) Cos β. Substituiren wir in diesen zwei Ausdrücken R . Tang A = r . Tang α, und setzen nach (II) für das Maximum Tang α . Tang β = Sin γ, so erhalten wir, da beide Höhen einander gleich sind r . μ . Sin γ + R . Cos μ = r . μ' . Sin γ + R . Cos μ' (V).
Ist die Neigung der Schraube von der Art, dass α + β = 90° macht, so ist Tang α =
[Formel 1]
, also Tang α . Tang β = 1 = Sin γ; demnach ist γ = 90° und Cos γ = 0; es wird also das innere Schneckengewinde bei q horizontal seyn, und es findet für dasselbe weder ein Maximum noch ein Minimum Statt, oder auf dem innern Gewinde bleibt kein Wasser stehen; doch bleibt Wasser auf dem äussern Gewinde und zwar gibt die Schnecke noch so viel Wasser, als in der Windung q u' y enthalten ist. Wenn aber α + β grösser als 90°, oder α grösser als 90 — β ist, so berührt das Wasser die innere Windung gar nicht, und wir haben nur ein Maximum für die äussere Windung. Da nämlich die Höhe eines jeden Punktes dieser Windung = (R . μ . Tang A . Tang β + R . Cos μ + R) Cos β, so findet der höchste Punkt in dieser Windung dort Statt, wo Sin μ = Tang A . Tang β =
[Formel 2]
· Tang β ist. Ist nun A + β = 90°, oder grösser als 90°, so hält auch die äussere Windung kein Wasser.
Die Gränze für das Wasser auf der innern Windung ist nach dem Frühern für Tang α . Tang β = 1 =
[Formel 3]
· Tang β, demnach r =
[Formel 4]
· Tang β und die Gränze für das Was- ser auf der äussern Windung ist für Tang A . Tang β = 1 =
[Formel 5]
· Tang β, demnach R =
[Formel 6]
· Tang β. Ist r kleiner, als
[Formel 7]
· Tang β, so befindet sich an der innern Windung kein Wasser; wenn aber R kleiner, als
[Formel 8]
· Tang β, so bleibt auch auf der äussern Windung kein Wasser. Soll also die Schnecke viel Wasser geben, so müssen die Grössen
[Formel 9]
und
[Formel 10]
oder R und r gross, dann h und β
29*
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[227/0263]
Berechnung der Wassermenge.
zweiten oder dritten Quadranten von b aus gerechnet, fällt, so wird Cos γ negativ, folg-
lich die Höhe d i + e' a ein Minimum.
Fig.
8.
Tab.
86.
Die Oberfläche des Wassers schneidet das innere Schraubengewinde zum zwei-
ten Male im Punkte f, dessen Projekzion auf die Grundfläche der Schnecke nach f' fällt.
Setzen wir den zugehörigen Winkel b e w f' = γ', so ist die Höhe des Punktes f über der
Horizontalen a j = (r . γ' . Tang α . Tang β + r . Cos γ' + R) Cos β (III);
da aber d und f auf gleicher Höhe, oder in einer horizontalen Ebene liegen, so ist auch
(r . γ' . Tang α . Tang β + r . Cos γ' + R) Cos β = (r . γ . Tang α . Tang β + r . Cos γ + R) Cos β,
oder r . γ' . Tang α . Tang β + r . Cos γ' = r . γ . Tang α . Tang β + r . Cos γ
und nach (II) ist r . γ' . Sin γ + r . Cos γ' = r . γ . Sin γ + r . Cos γ (IV). Die Oberfläche des
Wassers schneidet das äussere Schneckengewinde zum ersten Male in k und die
Höhe des Punktes k über der horizontalen Ebene a j ist, wenn wir den zugehörigen Pro-
jekzionswinkel mit μ bezeichnen (R . μ . Tang A . Tang β + R . Cos μ + R) Cos β, und für
den zweiten Durchschnitt des äussern Schneckengewindes in g haben wir die Höhe
dieses Punktes über der Horizontalen a j, wenn der zugehörige Projekzionswinkel mit μ'
bezeichnet wird = (R . μ' . Tang A . Tang β + R . Cos μ' + R) Cos β. Substituiren wir in diesen
zwei Ausdrücken R . Tang A = r . Tang α, und setzen nach (II) für das Maximum
Tang α . Tang β = Sin γ, so erhalten wir, da beide Höhen einander gleich sind
r . μ . Sin γ + R . Cos μ = r . μ' . Sin γ + R . Cos μ' (V).
Ist die Neigung der Schraube von der Art, dass α + β = 90° macht, so ist
Tang α = [FORMEL], also Tang α . Tang β = 1 = Sin γ; demnach ist γ = 90° und Cos γ = 0;
es wird also das innere Schneckengewinde bei q horizontal seyn, und es findet für
dasselbe weder ein Maximum noch ein Minimum Statt, oder auf dem innern Gewinde
bleibt kein Wasser stehen; doch bleibt Wasser auf dem äussern Gewinde und zwar gibt die
Schnecke noch so viel Wasser, als in der Windung q u' y enthalten ist. Wenn aber α + β
grösser als 90°, oder α grösser als 90 — β ist, so berührt das Wasser die innere Windung gar
nicht, und wir haben nur ein Maximum für die äussere Windung. Da nämlich die Höhe
eines jeden Punktes dieser Windung = (R . μ . Tang A . Tang β + R . Cos μ + R) Cos β, so
findet der höchste Punkt in dieser Windung dort Statt, wo
Sin μ = Tang A . Tang β = [FORMEL] · Tang β ist. Ist nun A + β = 90°, oder grösser als 90°, so
hält auch die äussere Windung kein Wasser.
Die Gränze für das Wasser auf der innern Windung ist nach dem Frühern für
Tang α . Tang β = 1 = [FORMEL] · Tang β, demnach r = [FORMEL] · Tang β und die Gränze für das Was-
ser auf der äussern Windung ist für
Tang A . Tang β = 1 = [FORMEL] · Tang β, demnach R = [FORMEL] · Tang β. Ist r kleiner, als [FORMEL] · Tang β,
so befindet sich an der innern Windung kein Wasser; wenn aber R kleiner, als [FORMEL] · Tang β,
so bleibt auch auf der äussern Windung kein Wasser. Soll also die Schnecke viel Wasser
geben, so müssen die Grössen [FORMEL] und [FORMEL] oder R und r gross, dann h und β
29*
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Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 3: Beschreibung und Berechnung grösserer Maschinenanlagen. Wien, 1834, S. 227. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gerstner_mechanik03_1834/263>, abgerufen am 24.11.2024.
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