klein seyn. Nach den Resultaten dieser Untersuchung ist nun die, Seite 225 vorgetragene Erklärung, unter welchen Umständen eine Schnecke Wasser gibt, zu berichtigen.
§. 161.
Die Wassermenge, welche zwischen zwei Schneckengewinden ein- geschlossen wird, kann man auf folgende Art berechnen:
Ist aus der Gleichung Sin g = Tang a . Tang b der Winkel g bestimmt worden, so su- che man sowohl an der innern, als an der äussern Windung die Punkte, welche die Ober- fläche des Wassers beiderseits begränzen, oder welche sich mit dem höchsten Punkte in einer und derselben Horizontalebene befinden, zu Folge der Gleichungen r . g . Sin g + r . Cos g = r . g' . Sin g + r . Cos g' = r . m . Sin g + R . Cos m = r . m' . Sin g + R . Cos m'.
Fig. 8. Tab. 86.
Es sey der unbestimmte Winkel b' c r = l, so ist v v' = r . l . Tang a =
[Formel 1]
; eben so ist p p' = R . l . Tang A = r . l . Tang a =
[Formel 2]
; es sind nämlich beide Höhen gleich, da die innere und äussere Windung gleich viel steigen. Ferner ist o c = o m + m c; da aber o m =
[Formel 3]
, und m c = d e' = r . g . Tang a =
[Formel 4]
, so ist o c = r
[Formel 5]
. Auf gleiche Art erhalten wir n o = o c -- c n = o c -- p p' = r
[Formel 6]
. Für die innere Windung ist o l' =
[Formel 7]
, daher l v = o c -- v v' -- o l' = r
[Formel 8]
. Für die äussere Windung ist o h' =
[Formel 9]
, folglich p h = h' n = o c -- p p' -- o h' = r
[Formel 10]
. Betrachten wir Fig. 9.Fig. 9 ein Element p v des zwischen den Windungen enthaltenen Wasserkörpers, so ist der kubische Inhalt der Pyramide p h H n P = p P . p h . 1/3 P n, und der kubische Inhalt der Pyramide h o n H = 1/2 n o . P n . 1/3 p P; es ist also der kubische Inhalt des keilförmigen Körpers p h o n P H = p P . p h . 1/3 P n + 1/2 n o . P n . 1/3 p P = p P . 1/3 P n (p h + 1/2 n o). Auf gleiche Art erhalten wir den Kubikinhalt des keilförmigen Körpers v I o n V L = v V . 1/3 V n (v l + 1/2 n o). Demnach ist der kubische Inhalt des, zwischen den Flächen p h H P und v I L V eingeschlossenen Wasserelementes = p P . 1/3 P n (p h + 1/2 n o) -- v V . 1/3 V n (v l + 1/2 n o). Substituiren wir für p h, n o, v l die oben gefundenen Werthe und setzen P n = R, V n = r, so lässt sich mit Hilfe der unter dem Texte beigefügten Rechnung *) der kubische Inhalt der Wassermenge M für einen
*) Substituiren wir nebst den genannten Werthen noch P p = R . d l und v V = r . d l, so ist der kubi- sche Inhalt des Wasserelementes d M =
[Formel 11]
Berechnung der Wassermenge.
klein seyn. Nach den Resultaten dieser Untersuchung ist nun die, Seite 225 vorgetragene Erklärung, unter welchen Umständen eine Schnecke Wasser gibt, zu berichtigen.
§. 161.
Die Wassermenge, welche zwischen zwei Schneckengewinden ein- geschlossen wird, kann man auf folgende Art berechnen:
Ist aus der Gleichung Sin γ = Tang α . Tang β der Winkel γ bestimmt worden, so su- che man sowohl an der innern, als an der äussern Windung die Punkte, welche die Ober- fläche des Wassers beiderseits begränzen, oder welche sich mit dem höchsten Punkte in einer und derselben Horizontalebene befinden, zu Folge der Gleichungen r . γ . Sin γ + r . Cos γ = r . γ' . Sin γ + r . Cos γ' = r . μ . Sin γ + R . Cos μ = r . μ' . Sin γ + R . Cos μ'.
Fig. 8. Tab. 86.
Es sey der unbestimmte Winkel b' c r = λ, so ist v v' = r . λ . Tang α =
[Formel 1]
; eben so ist p p' = R . λ . Tang A = r . λ . Tang α =
[Formel 2]
; es sind nämlich beide Höhen gleich, da die innere und äussere Windung gleich viel steigen. Ferner ist o c = o m + m c; da aber o m =
[Formel 3]
, und m c = d e' = r . γ . Tang α =
[Formel 4]
, so ist o c = r
[Formel 5]
. Auf gleiche Art erhalten wir n o = o c — c n = o c — p p' = r
[Formel 6]
. Für die innere Windung ist o l' =
[Formel 7]
, daher l v = o c — v v' — o l' = r
[Formel 8]
. Für die äussere Windung ist o h' =
[Formel 9]
, folglich p h = h' n = o c — p p' — o h' = r
[Formel 10]
. Betrachten wir Fig. 9.Fig. 9 ein Element p v des zwischen den Windungen enthaltenen Wasserkörpers, so ist der kubische Inhalt der Pyramide p h H n P = p P . p h . ⅓ P n, und der kubische Inhalt der Pyramide h o n H = ½ n o . P n . ⅓ p P; es ist also der kubische Inhalt des keilförmigen Körpers p h o n P H = p P . p h . ⅓ P n + ½ n o . P n . ⅓ p P = p P . ⅓ P n (p h + ½ n o). Auf gleiche Art erhalten wir den Kubikinhalt des keilförmigen Körpers v I o n V L = v V . ⅓ V n (v l + ½ n o). Demnach ist der kubische Inhalt des, zwischen den Flächen p h H P und v I L V eingeschlossenen Wasserelementes = p P . ⅓ P n (p h + ½ n o) — v V . ⅓ V n (v l + ½ n o). Substituiren wir für p h, n o, v l die oben gefundenen Werthe und setzen P n = R, V n = r, so lässt sich mit Hilfe der unter dem Texte beigefügten Rechnung *) der kubische Inhalt der Wassermenge M für einen
*) Substituiren wir nebst den genannten Werthen noch P p = R . d λ und v V = r . d λ, so ist der kubi- sche Inhalt des Wasserelementes d M =
[Formel 11]
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[228/0264]
Berechnung der Wassermenge.
klein seyn. Nach den Resultaten dieser Untersuchung ist nun die, Seite 225 vorgetragene
Erklärung, unter welchen Umständen eine Schnecke Wasser gibt, zu berichtigen.
§. 161.
Die Wassermenge, welche zwischen zwei Schneckengewinden ein-
geschlossen wird, kann man auf folgende Art berechnen:
Ist aus der Gleichung Sin γ = Tang α . Tang β der Winkel γ bestimmt worden, so su-
che man sowohl an der innern, als an der äussern Windung die Punkte, welche die Ober-
fläche des Wassers beiderseits begränzen, oder welche sich mit dem höchsten Punkte in
einer und derselben Horizontalebene befinden, zu Folge der Gleichungen
r . γ . Sin γ + r . Cos γ = r . γ' . Sin γ + r . Cos γ' = r . μ . Sin γ + R . Cos μ = r . μ' . Sin γ + R . Cos μ'.
Es sey der unbestimmte Winkel b' c r = λ, so ist v v' = r . λ . Tang α = [FORMEL]; eben
so ist p p' = R . λ . Tang A = r . λ . Tang α = [FORMEL]; es sind nämlich beide Höhen gleich,
da die innere und äussere Windung gleich viel steigen. Ferner ist o c = o m + m c; da
aber o m = [FORMEL], und m c = d e' = r . γ . Tang α = [FORMEL], so ist
o c = r [FORMEL]. Auf gleiche Art erhalten wir
n o = o c — c n = o c — p p' = r [FORMEL]. Für die innere Windung ist
o l' = [FORMEL], daher l v = o c — v v' — o l' = r [FORMEL].
Für die äussere Windung ist o h' = [FORMEL], folglich
p h = h' n = o c — p p' — o h' = r [FORMEL]. Betrachten wir
Fig. 9 ein Element p v des zwischen den Windungen enthaltenen Wasserkörpers, so ist
der kubische Inhalt der Pyramide p h H n P = p P . p h . ⅓ P n, und der kubische Inhalt der
Pyramide h o n H = ½ n o . P n . ⅓ p P; es ist also der kubische Inhalt des keilförmigen
Körpers p h o n P H = p P . p h . ⅓ P n + ½ n o . P n . ⅓ p P = p P . ⅓ P n (p h + ½ n o).
Auf gleiche Art erhalten wir den Kubikinhalt des keilförmigen Körpers
v I o n V L = v V . ⅓ V n (v l + ½ n o). Demnach ist der kubische Inhalt des, zwischen den
Flächen p h H P und v I L V eingeschlossenen Wasserelementes
= p P . ⅓ P n (p h + ½ n o) — v V . ⅓ V n (v l + ½ n o). Substituiren wir für p h, n o, v l die
oben gefundenen Werthe und setzen P n = R, V n = r, so lässt sich mit Hilfe der unter
dem Texte beigefügten Rechnung *) der kubische Inhalt der Wassermenge M für einen
Fig.
9.
*) Substituiren wir nebst den genannten Werthen noch P p = R . d λ und v V = r . d λ, so ist der kubi-
sche Inhalt des Wasserelementes d M =
[FORMEL]
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Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 3: Beschreibung und Berechnung grösserer Maschinenanlagen. Wien, 1834, S. 228. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gerstner_mechanik03_1834/264>, abgerufen am 24.11.2024.
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