Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 3: Beschreibung und Berechnung grösserer Maschinenanlagen. Wien, 1834.
Berechnung der Wassermenge. beliebigen Bogen l finden; derselbe ist nämlich =[Formel 1] . Hiezu kommt noch beim Anfange von d bis k eine Pyramide d k z x, welche zur Basis die Flä- che x z d am innern Schneckengewinde, und die Spitze am äussern Gewinde in k hat. Die Fläche x z d ist wegen der Berührung des Bogens d x mit d z als eine äussere Parabel betrachtet = 1/3 z x . d e. Weil aber k x' = R . Cos m und x x' = r. Cos m, so ist k x = (R -- r) Cos m, daher z x = (R -- r) [Formel 2] ; und da d e = r (m -- g), so ist die Fläche x z d = (R -- r) [Formel 3] (m -- g), und die Pyramide zu Anfange ist sehr nahe = (R -- r)2 [Formel 4] . Eben so hat die Pyramide am Ende, so lange m' und g' grös- ser als 270° sind, noch eine Basis am innern Schneckengange, deren Breite = r (m' -- g') und Höhe x z = (R -- r) [Formel 5] , folglich die Fläche (R -- r) [Formel 6] , und den kubischen Inhalt [Formel 7] . Also ist der ganze kubische Inhalt des Wassers für den beliebigen Bogen l, oder §. 162. Bei dieser Berechnung wurde vorausgesetzt, dass das Wasser in einem Gewinde oder d M = R2 . d l
[Formel 10]
.
Wird diese Gleichung integrirt, so erhalten wir den kubischen Inhalt des Wasserkörpers integral d M = M = [Formel 11] (r . l . Cos g -- 1/2 r . l2 . Sin g + r . l . g . Sin g) -- (R3 -- r3) [Formel 12] + Const. Wird für die Bestimmung der Constanten l = m gesetzt, so ist die Wassermenge M = 0, woraus Const. = -- [Formel 13] (r . m . Cos g -- 1/2 r . m2 . Sin g + r . m . g . Sin g) + (R3 -- r3) [Formel 14] , dem- nach ist das vollständige Integrale oder die Wassermenge für einen beliebigen Bogen l, nämlich [Formel 15] . Berechnung der Wassermenge. beliebigen Bogen λ finden; derselbe ist nämlich =[Formel 1] . Hiezu kommt noch beim Anfange von d bis k eine Pyramide d k z x, welche zur Basis die Flä- che x z d am innern Schneckengewinde, und die Spitze am äussern Gewinde in k hat. Die Fläche x z d ist wegen der Berührung des Bogens d x mit d z als eine äussere Parabel betrachtet = ⅓ z x . δ e. Weil aber k x' = R . Cos μ und x x' = r. Cos μ, so ist k x = (R — r) Cos μ, daher z x = (R — r) [Formel 2] ; und da δ e = r (μ — γ), so ist die Fläche x z d = (R — r) [Formel 3] (μ — γ), und die Pyramide zu Anfange ist sehr nahe = (R — r)2 [Formel 4] . Eben so hat die Pyramide am Ende, so lange μ' und γ' grös- ser als 270° sind, noch eine Basis am innern Schneckengange, deren Breite = r (μ' — γ') und Höhe x z = (R — r) [Formel 5] , folglich die Fläche (R — r) [Formel 6] , und den kubischen Inhalt [Formel 7] . Also ist der ganze kubische Inhalt des Wassers für den beliebigen Bogen λ, oder §. 162. Bei dieser Berechnung wurde vorausgesetzt, dass das Wasser in einem Gewinde oder d M = R2 . d λ
[Formel 10]
.
Wird diese Gleichung integrirt, so erhalten wir den kubischen Inhalt des Wasserkörpers ∫ d M = M = [Formel 11] (r . λ . Cos γ — ½ r . λ2 . Sin γ + r . λ . γ . Sin γ) — (R3 — r3) [Formel 12] + Const. Wird für die Bestimmung der Constanten λ = μ gesetzt, so ist die Wassermenge M = 0, woraus Const. = — [Formel 13] (r . μ . Cos γ — ½ r . μ2 . Sin γ + r . μ . γ . Sin γ) + (R3 — r3) [Formel 14] , dem- nach ist das vollständige Integrale oder die Wassermenge für einen beliebigen Bogen λ, nämlich [Formel 15] . <TEI> <text> <body> <div n="1"> <div n="2"> <div n="3"> <p><pb facs="#f0265" n="229"/><fw place="top" type="header"><hi rendition="#i">Berechnung der Wassermenge.</hi></fw><lb/> beliebigen Bogen <hi rendition="#i">λ</hi> finden; derselbe ist nämlich =<lb/><formula/>. Hiezu<lb/> kommt noch beim Anfange von d bis k eine Pyramide d k z x, welche zur Basis die Flä-<lb/> che x z d am innern Schneckengewinde, und die Spitze am äussern Gewinde in k hat. Die<lb/> Fläche x z d ist wegen der Berührung des Bogens d x mit d z als eine äussere Parabel<lb/> betrachtet = ⅓ z x . <hi rendition="#i">δ</hi> e. Weil aber k x' = R . Cos <hi rendition="#i">μ</hi> und x x' = r. Cos <hi rendition="#i">μ</hi>, so ist<lb/> k x = (R — r) Cos <hi rendition="#i">μ</hi>, daher z x = (R — r) <formula/>; und da <hi rendition="#i">δ</hi> e = r (<hi rendition="#i">μ</hi> — <hi rendition="#i">γ</hi>), so ist die Fläche<lb/> x z d = (R — r) <formula/> (<hi rendition="#i">μ</hi> — <hi rendition="#i">γ</hi>), und die Pyramide zu Anfange ist sehr nahe<lb/> = (R — r)<hi rendition="#sup">2</hi> <formula/>. Eben so hat die Pyramide am Ende, so lange <hi rendition="#i">μ</hi>' und <hi rendition="#i">γ</hi>' grös-<lb/> ser als 270° sind, noch eine Basis am innern Schneckengange, deren Breite = r (<hi rendition="#i">μ</hi>' — <hi rendition="#i">γ</hi>')<lb/> und Höhe x z = (R — r) <formula/>, folglich die Fläche (R — r) <formula/>, und den<lb/> kubischen Inhalt <formula/>.</p><lb/> <p>Also ist der ganze kubische Inhalt des Wassers für den beliebigen Bogen <hi rendition="#i">λ</hi>, oder<lb/><formula/>.<lb/> Setzt man <hi rendition="#i">λ</hi> = <hi rendition="#i">μ</hi>', so ist die ganze Wassermenge in einem Gewinde<lb/><formula/>.</p> </div><lb/> <div n="3"> <head>§. 162.</head><lb/> <p>Bei dieser Berechnung wurde vorausgesetzt, dass das Wasser in einem Gewinde<lb/> durchaus bis zu jener horizontalen Fläche anstehen könne, welche durch die berechneten<lb/><note xml:id="note-0265" prev="#note-0264" place="foot" n="*)">oder d M = R<hi rendition="#sup">2</hi> . d <hi rendition="#i">λ</hi> <formula/>.<lb/> Wird diese Gleichung<lb/> integrirt, so erhalten wir den kubischen Inhalt des Wasserkörpers<lb/><hi rendition="#i">∫</hi> d M = M = <formula/> (r . <hi rendition="#i">λ</hi> . Cos <hi rendition="#i">γ</hi> — ½ r . <hi rendition="#i">λ</hi><hi rendition="#sup">2</hi> . Sin <hi rendition="#i">γ</hi> + r . <hi rendition="#i">λ</hi> . <hi rendition="#i">γ</hi> . Sin <hi rendition="#i">γ</hi>) — (R<hi rendition="#sup">3</hi> — r<hi rendition="#sup">3</hi>) <formula/> + Const.<lb/> Wird für die Bestimmung der Constanten <hi rendition="#i">λ</hi> = <hi rendition="#i">μ</hi> gesetzt, so ist die Wassermenge M = 0, woraus<lb/> Const. = — <formula/> (r . <hi rendition="#i">μ</hi> . Cos <hi rendition="#i">γ</hi> — ½ r . <hi rendition="#i">μ</hi><hi rendition="#sup">2</hi> . Sin <hi rendition="#i">γ</hi> + r . <hi rendition="#i">μ</hi> . <hi rendition="#i">γ</hi> . Sin <hi rendition="#i">γ</hi>) + (R<hi rendition="#sup">3</hi> — r<hi rendition="#sup">3</hi>) <formula/>, dem-<lb/> nach ist das vollständige Integrale oder die Wassermenge für einen beliebigen Bogen <hi rendition="#i">λ</hi>, nämlich<lb/><formula/>.</note><lb/></p> </div> </div> </div> </body> </text> </TEI> [229/0265]
Berechnung der Wassermenge.
beliebigen Bogen λ finden; derselbe ist nämlich =
[FORMEL]. Hiezu
kommt noch beim Anfange von d bis k eine Pyramide d k z x, welche zur Basis die Flä-
che x z d am innern Schneckengewinde, und die Spitze am äussern Gewinde in k hat. Die
Fläche x z d ist wegen der Berührung des Bogens d x mit d z als eine äussere Parabel
betrachtet = ⅓ z x . δ e. Weil aber k x' = R . Cos μ und x x' = r. Cos μ, so ist
k x = (R — r) Cos μ, daher z x = (R — r) [FORMEL]; und da δ e = r (μ — γ), so ist die Fläche
x z d = (R — r) [FORMEL] (μ — γ), und die Pyramide zu Anfange ist sehr nahe
= (R — r)2 [FORMEL]. Eben so hat die Pyramide am Ende, so lange μ' und γ' grös-
ser als 270° sind, noch eine Basis am innern Schneckengange, deren Breite = r (μ' — γ')
und Höhe x z = (R — r) [FORMEL], folglich die Fläche (R — r) [FORMEL], und den
kubischen Inhalt [FORMEL].
Also ist der ganze kubische Inhalt des Wassers für den beliebigen Bogen λ, oder
[FORMEL].
Setzt man λ = μ', so ist die ganze Wassermenge in einem Gewinde
[FORMEL].
§. 162.
Bei dieser Berechnung wurde vorausgesetzt, dass das Wasser in einem Gewinde
durchaus bis zu jener horizontalen Fläche anstehen könne, welche durch die berechneten
*)
*) oder d M = R2 . d λ [FORMEL].
Wird diese Gleichung
integrirt, so erhalten wir den kubischen Inhalt des Wasserkörpers
∫ d M = M = [FORMEL] (r . λ . Cos γ — ½ r . λ2 . Sin γ + r . λ . γ . Sin γ) — (R3 — r3) [FORMEL] + Const.
Wird für die Bestimmung der Constanten λ = μ gesetzt, so ist die Wassermenge M = 0, woraus
Const. = — [FORMEL] (r . μ . Cos γ — ½ r . μ2 . Sin γ + r . μ . γ . Sin γ) + (R3 — r3) [FORMEL], dem-
nach ist das vollständige Integrale oder die Wassermenge für einen beliebigen Bogen λ, nämlich
[FORMEL].
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| Zitationshilfe: | Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 3: Beschreibung und Berechnung grösserer Maschinenanlagen. Wien, 1834, S. 229. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gerstner_mechanik03_1834/265>, abgerufen am 24.11.2024. |
