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Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 3: Beschreibung und Berechnung grösserer Maschinenanlagen. Wien, 1834.

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Spiralpumpe mit verjüngten Windungen.
2 p . A . p . a2, wovon die Hälfte mit Luft und die andere Hälfte mit Wasser gefüllt ist. InFig.
14.
und
15.
Tab.
86.
jeder folgenden Windung wird sich dieselbe Wassermenge p . A . p . a2 befinden, demnach für
die Luft in der letzten Windung nur der Kubikinhalt 2 p . u . p . a2 -- p . A . p . a2 = p2 . a2 (2 u -- A)
übrig bleiben. Setzen wir den Winkel a c e = n und a c k = w, wie es bei der ersten Gat-
tung der Spiralpumpe §. 177 angenommen wurde, so ist der Bogen e a = u . n und der Bo-
gen a k = u . w, demnach der Kubikinhalt der Luft in der letzten Windung
= a e k . p . a2 = u . p . a2 (n + w). Diess gibt p2 . a2 (2 u -- A) = u . p . a2 (n + w), woraus
u = [Formel 1] . Da in der letzten Windung noch immer Luft enthalten seyn muss,
folglich n + w nie = 0 werden kann, so folgt aus dieser Gleichung, dass u immer grösser
als 1/2 A seyn müsse. Wir erhalten sonach die erste Gleichung zur Bestimmung der Kon-
strukzionsverhältnisse der Spiralpumpe n + w = 180 [Formel 2] (I). Der Halbmesser des
Schlangenrohres ist a b = a = a c -- b c = u -- u . Cos n, woraus [Formel 3] = 1 -- Cos n (II) folgt.

Der kubische Inhalt der Luft in der ersten vom Wasser abgesperrten Windung oder
p . A . p . a2 wird von der Atmosphäre oder der Höhe h und nebstbei von der Höhe
b' d' = 2 A -- 2 a gedrückt. Da aber das Wasser in diesem Rohre in Bewegung gesetzt
werden muss, und hiezu eine Höhe = y' erfordert wird, welche die Druckhöhe h + 2 A -- 2 a
vermindert, so folgt, dass die in der ersten Windung eingeschlossene Luft eigentlich bloss
von der Wassersäule h + 2 A -- 2 a -- y' gedrückt werde. Die Luft in der letzten Win-
dung, deren Kubikinhalt = u . p . a2 (n + w) ist, wird von der Steighöhe H und von der
Atmosphäre mit h gedrückt; hievon kommt aber die Höhe
m d = m c + c' d' = u . Cos w + A -- a abzuschlagen, wornach die Druckhöhe
= H + h -- u . Cos w -- A + a wäre. Da aber das Wasser in der Steigröhre die erforder-
liche Geschwindigkeit erhalten soll und die Widerstände bei seiner Bewegung überwältigt
werden müssen, welches beides eine Druckhöhe z fordert, so wird die eigentliche Druck-
höhe für die letzte Windung = H + h + z -- u . Cos w -- A + a seyn. Nach dem Mariotte'-
schen Gesetze verhält sich:
p . A. p . a2 : u . p . a2 (n + w) = H + h + z -- u . Cos w -- A + a : h + 2 A -- 2 a -- y'. Aus die-
ser Proporzion ergibt sich die Steighöhe des Wassers
H = [Formel 4] (h + 2 A -- 2 a -- y') + A -- a + u . Cos w -- h -- z (III).

Zur Bestimmung der Anzahl N der Windungen haben wir die Druckhöhe des Was-
sers in der ersten Windung = 2 A -- 2 a -- y', und jene in der letzten Windung
b m = a c -- a b -- m c = u -- a -- u . Cos w = u (1 -- Cos w) -- a. Diese Druckhöhe wird aber
um jene Höhe y'' vermindert, welche zur Bewirkung der Geschwindigkeit und Ueberwäl-
tigung der Widerstände in der letzten Windung erfordert wird; demnach ist die wirksame
Wasserdruckhöhe in der letzten Windung = u (1 -- Cos w) -- a -- y''. Hieraus erhalten
wir die mittlere Druckhöhe in der ersten und letzten Windung
[Formel 5] . Wird diese Druckhöhe N mal genommen, so
erhalten wir die ganze wirksame Druckhöhe von Seite aller Windungen, wodurch nicht
bloss das Wasser im Steigrohre auf die Höhe H gehoben, sondern auch die Widerstands-
höhe z überwältigt werden muss. Diess gibt die Gleichung

Gerstner's Mechanik. Band III. 33

Spiralpumpe mit verjüngten Windungen.
2 π . A . π . a2, wovon die Hälfte mit Luft und die andere Hälfte mit Wasser gefüllt ist. InFig.
14.
und
15.
Tab.
86.
jeder folgenden Windung wird sich dieselbe Wassermenge π . A . π . a2 befinden, demnach für
die Luft in der letzten Windung nur der Kubikinhalt 2 π . u . π . a2 — π . A . π . a2 = π2 . a2 (2 u — A)
übrig bleiben. Setzen wir den Winkel a c e = ν und a c k = w, wie es bei der ersten Gat-
tung der Spiralpumpe §. 177 angenommen wurde, so ist der Bogen e a = u . ν und der Bo-
gen a k = u . w, demnach der Kubikinhalt der Luft in der letzten Windung
= a e k . π . a2 = u . π . a2 (ν + w). Diess gibt π2 . a2 (2 u — A) = u . π . a2 (ν + w), woraus
u = [Formel 1] . Da in der letzten Windung noch immer Luft enthalten seyn muss,
folglich ν + w nie = 0 werden kann, so folgt aus dieser Gleichung, dass u immer grösser
als ½ A seyn müsse. Wir erhalten sonach die erste Gleichung zur Bestimmung der Kon-
strukzionsverhältnisse der Spiralpumpe ν + w = 180 [Formel 2] (I). Der Halbmesser des
Schlangenrohres ist a b = a = a c — b c = u — u . Cos ν, woraus [Formel 3] = 1 — Cos ν (II) folgt.

Der kubische Inhalt der Luft in der ersten vom Wasser abgesperrten Windung oder
π . A . π . a2 wird von der Atmosphäre oder der Höhe h und nebstbei von der Höhe
b' d' = 2 A — 2 a gedrückt. Da aber das Wasser in diesem Rohre in Bewegung gesetzt
werden muss, und hiezu eine Höhe = y' erfordert wird, welche die Druckhöhe h + 2 A — 2 a
vermindert, so folgt, dass die in der ersten Windung eingeschlossene Luft eigentlich bloss
von der Wassersäule h + 2 A — 2 a — y' gedrückt werde. Die Luft in der letzten Win-
dung, deren Kubikinhalt = u . π . a2 (ν + w) ist, wird von der Steighöhe H und von der
Atmosphäre mit h gedrückt; hievon kommt aber die Höhe
m d = m c + c' d' = u . Cos w + A — a abzuschlagen, wornach die Druckhöhe
= H + h — u . Cos w — A + a wäre. Da aber das Wasser in der Steigröhre die erforder-
liche Geschwindigkeit erhalten soll und die Widerstände bei seiner Bewegung überwältigt
werden müssen, welches beides eine Druckhöhe z fordert, so wird die eigentliche Druck-
höhe für die letzte Windung = H + h + z — u . Cos w — A + a seyn. Nach dem Mariotte’-
schen Gesetze verhält sich:
π . A. π . a2 : u . π . a2 (ν + w) = H + h + z — u . Cos w — A + a : h + 2 A — 2 a — y'. Aus die-
ser Proporzion ergibt sich die Steighöhe des Wassers
H = [Formel 4] (h + 2 A — 2 a — y') + A — a + u . Cos w — h — z (III).

Zur Bestimmung der Anzahl N der Windungen haben wir die Druckhöhe des Was-
sers in der ersten Windung = 2 A — 2 a — y', und jene in der letzten Windung
b m = a c — a b — m c = u — a — u . Cos w = u (1 — Cos w) — a. Diese Druckhöhe wird aber
um jene Höhe y'' vermindert, welche zur Bewirkung der Geschwindigkeit und Ueberwäl-
tigung der Widerstände in der letzten Windung erfordert wird; demnach ist die wirksame
Wasserdruckhöhe in der letzten Windung = u (1 — Cos w) — a — y''. Hieraus erhalten
wir die mittlere Druckhöhe in der ersten und letzten Windung
[Formel 5] . Wird diese Druckhöhe N mal genommen, so
erhalten wir die ganze wirksame Druckhöhe von Seite aller Windungen, wodurch nicht
bloss das Wasser im Steigrohre auf die Höhe H gehoben, sondern auch die Widerstands-
höhe z überwältigt werden muss. Diess gibt die Gleichung

Gerstner’s Mechanik. Band III. 33
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[257/0293] Spiralpumpe mit verjüngten Windungen. 2 π . A . π . a2, wovon die Hälfte mit Luft und die andere Hälfte mit Wasser gefüllt ist. In jeder folgenden Windung wird sich dieselbe Wassermenge π . A . π . a2 befinden, demnach für die Luft in der letzten Windung nur der Kubikinhalt 2 π . u . π . a2 — π . A . π . a2 = π2 . a2 (2 u — A) übrig bleiben. Setzen wir den Winkel a c e = ν und a c k = w, wie es bei der ersten Gat- tung der Spiralpumpe §. 177 angenommen wurde, so ist der Bogen e a = u . ν und der Bo- gen a k = u . w, demnach der Kubikinhalt der Luft in der letzten Windung = a e k . π . a2 = u . π . a2 (ν + w). Diess gibt π2 . a2 (2 u — A) = u . π . a2 (ν + w), woraus u = [FORMEL]. Da in der letzten Windung noch immer Luft enthalten seyn muss, folglich ν + w nie = 0 werden kann, so folgt aus dieser Gleichung, dass u immer grösser als ½ A seyn müsse. Wir erhalten sonach die erste Gleichung zur Bestimmung der Kon- strukzionsverhältnisse der Spiralpumpe ν + w = 180 [FORMEL] (I). Der Halbmesser des Schlangenrohres ist a b = a = a c — b c = u — u . Cos ν, woraus [FORMEL] = 1 — Cos ν (II) folgt. Fig. 14. und 15. Tab. 86. Der kubische Inhalt der Luft in der ersten vom Wasser abgesperrten Windung oder π . A . π . a2 wird von der Atmosphäre oder der Höhe h und nebstbei von der Höhe b' d' = 2 A — 2 a gedrückt. Da aber das Wasser in diesem Rohre in Bewegung gesetzt werden muss, und hiezu eine Höhe = y' erfordert wird, welche die Druckhöhe h + 2 A — 2 a vermindert, so folgt, dass die in der ersten Windung eingeschlossene Luft eigentlich bloss von der Wassersäule h + 2 A — 2 a — y' gedrückt werde. Die Luft in der letzten Win- dung, deren Kubikinhalt = u . π . a2 (ν + w) ist, wird von der Steighöhe H und von der Atmosphäre mit h gedrückt; hievon kommt aber die Höhe m d = m c + c' d' = u . Cos w + A — a abzuschlagen, wornach die Druckhöhe = H + h — u . Cos w — A + a wäre. Da aber das Wasser in der Steigröhre die erforder- liche Geschwindigkeit erhalten soll und die Widerstände bei seiner Bewegung überwältigt werden müssen, welches beides eine Druckhöhe z fordert, so wird die eigentliche Druck- höhe für die letzte Windung = H + h + z — u . Cos w — A + a seyn. Nach dem Mariotte’- schen Gesetze verhält sich: π . A. π . a2 : u . π . a2 (ν + w) = H + h + z — u . Cos w — A + a : h + 2 A — 2 a — y'. Aus die- ser Proporzion ergibt sich die Steighöhe des Wassers H = [FORMEL] (h + 2 A — 2 a — y') + A — a + u . Cos w — h — z (III). Zur Bestimmung der Anzahl N der Windungen haben wir die Druckhöhe des Was- sers in der ersten Windung = 2 A — 2 a — y', und jene in der letzten Windung b m = a c — a b — m c = u — a — u . Cos w = u (1 — Cos w) — a. Diese Druckhöhe wird aber um jene Höhe y'' vermindert, welche zur Bewirkung der Geschwindigkeit und Ueberwäl- tigung der Widerstände in der letzten Windung erfordert wird; demnach ist die wirksame Wasserdruckhöhe in der letzten Windung = u (1 — Cos w) — a — y''. Hieraus erhalten wir die mittlere Druckhöhe in der ersten und letzten Windung [FORMEL]. Wird diese Druckhöhe N mal genommen, so erhalten wir die ganze wirksame Druckhöhe von Seite aller Windungen, wodurch nicht bloss das Wasser im Steigrohre auf die Höhe H gehoben, sondern auch die Widerstands- höhe z überwältigt werden muss. Diess gibt die Gleichung Gerstner’s Mechanik. Band III. 33

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Zitationshilfe: Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 3: Beschreibung und Berechnung grösserer Maschinenanlagen. Wien, 1834, S. 257. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gerstner_mechanik03_1834/293>, abgerufen am 23.11.2024.