Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 3: Beschreibung und Berechnung grösserer Maschinenanlagen. Wien, 1834.Durchmesser der Kolbenröhren der Saugsätze. Um zu zeigen, wie viel die elementare Berechnung von D von jenem Werthe ab- *) Wird in der für den Effekt gefundenen Gleichung in den Gliedern, worinn die Kolbenreibung vor- kommt, ' = und H' = H gesetzt, dann Zähler und Nenner mit . dividirt, so ist der Effekt = [Formel 1] Setzt man zur Vereinfachung dieses Ausdruckes [Formel 2] , dann [Formel 3] , ferner [Formel 4] , endlich [Formel 5] , so ist der Effekt = [Formel 6] . Multiplizirt man Zähler und Nenner mit . . n . H, und setzt statt [Formel 7] die gleiche Grösse x, so folgt der Effekt = [Formel 8] . Da die Grössen, welche in der Klammer erscheinen, als gegeben angenommen werden, so muss für den grössten Effekt bloss [Formel 9] oder log x + 1/2 log (g -- l. x) -- 1/2 log (m + r. x) ein Maximum werden. Diess findet Statt, wenn [Formel 10] ist. Durch weitere Entwickelung ergibt sich g . m + 1/2 g . r. x -- 3/2 l . m. x -- l . r. x2 = 0. Da nun die Grösse g kleiner als l, und r kleiner als m ist, so haben wir beinahe g. m = 3/2 l. m. x, woraus der Annäherungswerth [Formel 11] folgt. Diesen Werth können wir nun abermals in unserer Gleichung statt einem x substituiren, um auf diese Art eine Gleichung des ersten Grades zu erhalten; diese ist nämlich [Formel 12] , woraus [Formel 13] folgt. Werden nun wieder die frühern Bezeichnungen angenommen, so erhalten wir die Gleichung [Formel 14] Aus dieser Gleichung lässt sich nunmehr der genaue Werth für den Durchmesser D der Kolbenröh- ren der Sätze berechnen. Da aber in diesem Ausdrucke die Grösse D auf beiden Seiten erscheint, und die direkte Auflösung der Gleichung eine sehr zusammengesetzte Formel geben würde, so kann man vorerst den Werth von D aus der Annäherungsgleichung [Formel 15] , oder [Formel 16] welche ober dem Texte abgeleitet erscheint, bestimmen, und denselben in jenen Gliedern, welche 50*
Durchmesser der Kolbenröhren der Saugsätze. Um zu zeigen, wie viel die elementare Berechnung von D von jenem Werthe ab- *) Wird in der für den Effekt gefundenen Gleichung in den Gliedern, worinn die Kolbenreibung vor- kommt, ' = und H' = H gesetzt, dann Zähler und Nenner mit 𝔉. dividirt, so ist der Effekt = [Formel 1] Setzt man zur Vereinfachung dieses Ausdruckes [Formel 2] , dann [Formel 3] , ferner [Formel 4] , endlich [Formel 5] , so ist der Effekt = [Formel 6] . Multiplizirt man Zähler und Nenner mit 𝔉. . n . H, und setzt statt [Formel 7] die gleiche Grösse x, so folgt der Effekt = [Formel 8] . Da die Grössen, welche in der Klammer erscheinen, als gegeben angenommen werden, so muss für den grössten Effekt bloss [Formel 9] oder log x + ½ log (γ — λ. x) — ½ log (μ + ϱ. x) ein Maximum werden. Diess findet Statt, wenn [Formel 10] ist. Durch weitere Entwickelung ergibt sich γ . μ + ½ γ . ϱ. x — 3/2 λ . μ. x — λ . ϱ. x2 = 0. Da nun die Grösse γ kleiner als λ, und ϱ kleiner als μ ist, so haben wir beinahe γ. μ = 3/2 λ. μ. x, woraus der Annäherungswerth [Formel 11] folgt. Diesen Werth können wir nun abermals in unserer Gleichung statt einem x substituiren, um auf diese Art eine Gleichung des ersten Grades zu erhalten; diese ist nämlich [Formel 12] , woraus [Formel 13] folgt. Werden nun wieder die frühern Bezeichnungen angenommen, so erhalten wir die Gleichung [Formel 14] Aus dieser Gleichung lässt sich nunmehr der genaue Werth für den Durchmesser D der Kolbenröh- ren der Sätze berechnen. Da aber in diesem Ausdrucke die Grösse D auf beiden Seiten erscheint, und die direkte Auflösung der Gleichung eine sehr zusammengesetzte Formel geben würde, so kann man vorerst den Werth von D aus der Annäherungsgleichung [Formel 15] , oder [Formel 16] welche ober dem Texte abgeleitet erscheint, bestimmen, und denselben in jenen Gliedern, welche 50*
<TEI> <text> <body> <div n="1"> <div n="2"> <div n="3"> <pb facs="#f0431" n="395"/> <fw place="top" type="header"> <hi rendition="#i">Durchmesser der Kolbenröhren der Saugsätze.</hi> </fw><lb/> <p>Um zu zeigen, wie viel die elementare Berechnung von D von jenem Werthe ab-<lb/> weicht, welcher sich für den <hi rendition="#g">vortheilhaftesten Durchmesser der Kolben-<lb/> röhren der Saugsätze</hi> aus der unter dem Texte <note xml:id="note-0431" next="#note-0432" place="foot" n="*)">Wird in der für den Effekt gefundenen Gleichung in den Gliedern, worinn die Kolbenreibung vor-<lb/> kommt, 𝔋' = 𝔋 und H' = H gesetzt, dann Zähler und Nenner mit 𝔉. 𝔋 dividirt, so ist der Effekt =<lb/><formula/> Setzt man zur Vereinfachung dieses Ausdruckes <formula/>, dann <formula/>,<lb/> ferner <formula/>, endlich<lb/><formula/>, so ist der Effekt =<lb/><formula/>. Multiplizirt man Zähler und Nenner mit 𝔉. 𝔋. n . H, und setzt statt<lb/><formula/> die gleiche Grösse x, so folgt der Effekt = <formula/>. Da die Grössen,<lb/> welche in der Klammer erscheinen, als gegeben angenommen werden, so muss für den grössten Effekt<lb/> bloss <formula/> oder log x + ½ log (<hi rendition="#i">γ</hi> — <hi rendition="#i">λ</hi>. x) — ½ log (<hi rendition="#i">μ</hi> + <hi rendition="#i">ϱ</hi>. x) ein Maximum werden. Diess<lb/> findet Statt, wenn <formula/> ist. Durch weitere Entwickelung ergibt sich<lb/><hi rendition="#i">γ</hi> . <hi rendition="#i">μ</hi> + ½ <hi rendition="#i">γ</hi> . <hi rendition="#i">ϱ</hi>. x — 3/2 <hi rendition="#i">λ</hi> . <hi rendition="#i">μ</hi>. x — <hi rendition="#i">λ</hi> . <hi rendition="#i">ϱ</hi>. x<hi rendition="#sup">2</hi> = 0. Da nun die Grösse <hi rendition="#i">γ</hi> kleiner als <hi rendition="#i">λ</hi>, und <hi rendition="#i">ϱ</hi> kleiner als <hi rendition="#i">μ</hi><lb/> ist, so haben wir beinahe <hi rendition="#i">γ</hi>. <hi rendition="#i">μ</hi> = 3/2 <hi rendition="#i">λ</hi>. <hi rendition="#i">μ</hi>. x, woraus der Annäherungswerth <formula/> folgt. Diesen<lb/> Werth können wir nun abermals in unserer Gleichung statt einem x substituiren, um auf diese Art<lb/> eine Gleichung des ersten Grades zu erhalten; diese ist nämlich<lb/><formula/>, woraus <formula/> folgt.<lb/> Werden nun wieder die frühern Bezeichnungen angenommen, so erhalten wir die Gleichung<lb/><formula/> Aus dieser Gleichung lässt sich nunmehr der genaue Werth für den Durchmesser D der Kolbenröh-<lb/> ren der Sätze berechnen. Da aber in diesem Ausdrucke die Grösse D auf beiden Seiten erscheint,<lb/> und die direkte Auflösung der Gleichung eine sehr zusammengesetzte Formel geben würde, so kann<lb/> man vorerst den Werth von D aus der Annäherungsgleichung <formula/>, oder <formula/><lb/> welche ober dem Texte abgeleitet erscheint, bestimmen, und denselben in jenen Gliedern, welche</note> abgeleiteten genauern Formel<lb/> <fw place="bottom" type="sig">50*</fw><lb/></p> </div> </div> </div> </body> </text> </TEI> [395/0431]
Durchmesser der Kolbenröhren der Saugsätze.
Um zu zeigen, wie viel die elementare Berechnung von D von jenem Werthe ab-
weicht, welcher sich für den vortheilhaftesten Durchmesser der Kolben-
röhren der Saugsätze aus der unter dem Texte *) abgeleiteten genauern Formel
*) Wird in der für den Effekt gefundenen Gleichung in den Gliedern, worinn die Kolbenreibung vor-
kommt, ' = und H' = H gesetzt, dann Zähler und Nenner mit 𝔉. dividirt, so ist der Effekt =
[FORMEL] Setzt man zur Vereinfachung dieses Ausdruckes [FORMEL], dann [FORMEL],
ferner [FORMEL], endlich
[FORMEL], so ist der Effekt =
[FORMEL]. Multiplizirt man Zähler und Nenner mit 𝔉. . n . H, und setzt statt
[FORMEL] die gleiche Grösse x, so folgt der Effekt = [FORMEL]. Da die Grössen,
welche in der Klammer erscheinen, als gegeben angenommen werden, so muss für den grössten Effekt
bloss [FORMEL] oder log x + ½ log (γ — λ. x) — ½ log (μ + ϱ. x) ein Maximum werden. Diess
findet Statt, wenn [FORMEL] ist. Durch weitere Entwickelung ergibt sich
γ . μ + ½ γ . ϱ. x — 3/2 λ . μ. x — λ . ϱ. x2 = 0. Da nun die Grösse γ kleiner als λ, und ϱ kleiner als μ
ist, so haben wir beinahe γ. μ = 3/2 λ. μ. x, woraus der Annäherungswerth [FORMEL] folgt. Diesen
Werth können wir nun abermals in unserer Gleichung statt einem x substituiren, um auf diese Art
eine Gleichung des ersten Grades zu erhalten; diese ist nämlich
[FORMEL], woraus [FORMEL] folgt.
Werden nun wieder die frühern Bezeichnungen angenommen, so erhalten wir die Gleichung
[FORMEL] Aus dieser Gleichung lässt sich nunmehr der genaue Werth für den Durchmesser D der Kolbenröh-
ren der Sätze berechnen. Da aber in diesem Ausdrucke die Grösse D auf beiden Seiten erscheint,
und die direkte Auflösung der Gleichung eine sehr zusammengesetzte Formel geben würde, so kann
man vorerst den Werth von D aus der Annäherungsgleichung [FORMEL], oder [FORMEL]
welche ober dem Texte abgeleitet erscheint, bestimmen, und denselben in jenen Gliedern, welche
50*
Suche im WerkInformationen zum Werk
Download dieses Werks
XML (TEI P5) ·
HTML ·
Text Metadaten zum WerkTEI-Header · CMDI · Dublin Core Ansichten dieser Seite
Voyant Tools
|
URL zu diesem Werk: | https://www.deutschestextarchiv.de/gerstner_mechanik03_1834 |
URL zu dieser Seite: | https://www.deutschestextarchiv.de/gerstner_mechanik03_1834/431 |
Zitationshilfe: | Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 3: Beschreibung und Berechnung grösserer Maschinenanlagen. Wien, 1834, S. 395. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gerstner_mechanik03_1834/431>, abgerufen am 16.08.2024. |