Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 3: Beschreibung und Berechnung grösserer Maschinenanlagen. Wien, 1834.
Durchmesser der Kolbenröhren der Saugsätze. Um zu zeigen, wie viel die elementare Berechnung von D von jenem Werthe ab- *) Wird in der für den Effekt gefundenen Gleichung in den Gliedern, worinn die Kolbenreibung vor- kommt, ' = und H' = H gesetzt, dann Zähler und Nenner mit . dividirt, so ist der Effekt = [Formel 1] Setzt man zur Vereinfachung dieses Ausdruckes [Formel 2] , dann [Formel 3] , ferner [Formel 4] , endlich [Formel 5] , so ist der Effekt = [Formel 6] . Multiplizirt man Zähler und Nenner mit . . n . H, und setzt statt [Formel 7] die gleiche Grösse x, so folgt der Effekt = [Formel 8] . Da die Grössen, welche in der Klammer erscheinen, als gegeben angenommen werden, so muss für den grössten Effekt bloss [Formel 9] oder log x + 1/2 log (g -- l. x) -- 1/2 log (m + r. x) ein Maximum werden. Diess findet Statt, wenn [Formel 10] ist. Durch weitere Entwickelung ergibt sich g . m + 1/2 g . r. x -- 3/2 l . m. x -- l . r. x2 = 0. Da nun die Grösse g kleiner als l, und r kleiner als m ist, so haben wir beinahe g. m = 3/2 l. m. x, woraus der Annäherungswerth [Formel 11] folgt. Diesen Werth können wir nun abermals in unserer Gleichung statt einem x substituiren, um auf diese Art eine Gleichung des ersten Grades zu erhalten; diese ist nämlich [Formel 12] , woraus [Formel 13] folgt. Werden nun wieder die frühern Bezeichnungen angenommen, so erhalten wir die Gleichung [Formel 14] Aus dieser Gleichung lässt sich nunmehr der genaue Werth für den Durchmesser D der Kolbenröh- ren der Sätze berechnen. Da aber in diesem Ausdrucke die Grösse D auf beiden Seiten erscheint, und die direkte Auflösung der Gleichung eine sehr zusammengesetzte Formel geben würde, so kann man vorerst den Werth von D aus der Annäherungsgleichung [Formel 15] , oder [Formel 16] welche ober dem Texte abgeleitet erscheint, bestimmen, und denselben in jenen Gliedern, welche 50*
Durchmesser der Kolbenröhren der Saugsätze. Um zu zeigen, wie viel die elementare Berechnung von D von jenem Werthe ab- *) Wird in der für den Effekt gefundenen Gleichung in den Gliedern, worinn die Kolbenreibung vor- kommt, ' = und H' = H gesetzt, dann Zähler und Nenner mit 𝔉. dividirt, so ist der Effekt = [Formel 1] Setzt man zur Vereinfachung dieses Ausdruckes [Formel 2] , dann [Formel 3] , ferner [Formel 4] , endlich [Formel 5] , so ist der Effekt = [Formel 6] . Multiplizirt man Zähler und Nenner mit 𝔉. . n . H, und setzt statt [Formel 7] die gleiche Grösse x, so folgt der Effekt = [Formel 8] . Da die Grössen, welche in der Klammer erscheinen, als gegeben angenommen werden, so muss für den grössten Effekt bloss [Formel 9] oder log x + ½ log (γ — λ. x) — ½ log (μ + ϱ. x) ein Maximum werden. Diess findet Statt, wenn [Formel 10] ist. Durch weitere Entwickelung ergibt sich γ . μ + ½ γ . ϱ. x — 3/2 λ . μ. x — λ . ϱ. x2 = 0. Da nun die Grösse γ kleiner als λ, und ϱ kleiner als μ ist, so haben wir beinahe γ. μ = 3/2 λ. μ. x, woraus der Annäherungswerth [Formel 11] folgt. Diesen Werth können wir nun abermals in unserer Gleichung statt einem x substituiren, um auf diese Art eine Gleichung des ersten Grades zu erhalten; diese ist nämlich [Formel 12] , woraus [Formel 13] folgt. Werden nun wieder die frühern Bezeichnungen angenommen, so erhalten wir die Gleichung [Formel 14] Aus dieser Gleichung lässt sich nunmehr der genaue Werth für den Durchmesser D der Kolbenröh- ren der Sätze berechnen. Da aber in diesem Ausdrucke die Grösse D auf beiden Seiten erscheint, und die direkte Auflösung der Gleichung eine sehr zusammengesetzte Formel geben würde, so kann man vorerst den Werth von D aus der Annäherungsgleichung [Formel 15] , oder [Formel 16] welche ober dem Texte abgeleitet erscheint, bestimmen, und denselben in jenen Gliedern, welche 50*
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Durchmesser der Kolbenröhren der Saugsätze.
Um zu zeigen, wie viel die elementare Berechnung von D von jenem Werthe ab-
weicht, welcher sich für den vortheilhaftesten Durchmesser der Kolben-
röhren der Saugsätze aus der unter dem Texte *) abgeleiteten genauern Formel
*) Wird in der für den Effekt gefundenen Gleichung in den Gliedern, worinn die Kolbenreibung vor-
kommt, ' = und H' = H gesetzt, dann Zähler und Nenner mit 𝔉. dividirt, so ist der Effekt =
[FORMEL] Setzt man zur Vereinfachung dieses Ausdruckes [FORMEL], dann [FORMEL],
ferner [FORMEL], endlich
[FORMEL], so ist der Effekt =
[FORMEL]. Multiplizirt man Zähler und Nenner mit 𝔉. . n . H, und setzt statt
[FORMEL] die gleiche Grösse x, so folgt der Effekt = [FORMEL]. Da die Grössen,
welche in der Klammer erscheinen, als gegeben angenommen werden, so muss für den grössten Effekt
bloss [FORMEL] oder log x + ½ log (γ — λ. x) — ½ log (μ + ϱ. x) ein Maximum werden. Diess
findet Statt, wenn [FORMEL] ist. Durch weitere Entwickelung ergibt sich
γ . μ + ½ γ . ϱ. x — 3/2 λ . μ. x — λ . ϱ. x2 = 0. Da nun die Grösse γ kleiner als λ, und ϱ kleiner als μ
ist, so haben wir beinahe γ. μ = 3/2 λ. μ. x, woraus der Annäherungswerth [FORMEL] folgt. Diesen
Werth können wir nun abermals in unserer Gleichung statt einem x substituiren, um auf diese Art
eine Gleichung des ersten Grades zu erhalten; diese ist nämlich
[FORMEL], woraus [FORMEL] folgt.
Werden nun wieder die frühern Bezeichnungen angenommen, so erhalten wir die Gleichung
[FORMEL] Aus dieser Gleichung lässt sich nunmehr der genaue Werth für den Durchmesser D der Kolbenröh-
ren der Sätze berechnen. Da aber in diesem Ausdrucke die Grösse D auf beiden Seiten erscheint,
und die direkte Auflösung der Gleichung eine sehr zusammengesetzte Formel geben würde, so kann
man vorerst den Werth von D aus der Annäherungsgleichung [FORMEL], oder [FORMEL]
welche ober dem Texte abgeleitet erscheint, bestimmen, und denselben in jenen Gliedern, welche
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| Zitationshilfe: | Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 3: Beschreibung und Berechnung grösserer Maschinenanlagen. Wien, 1834, S. 395. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gerstner_mechanik03_1834/431>, abgerufen am 24.11.2024. |
