Anmelden (DTAQ) DWDS     dlexDB     CLARIN-D

Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 3: Beschreibung und Berechnung grösserer Maschinenanlagen. Wien, 1834.

Bild:
<< vorherige Seite
nächste Seite >>

Krümmungshalbmesser für die Abrundung der Zähne,
welcher dieselbe Cykloide rückwärts beschreibt, so wird von der andern Seite desFig.
6.
Tab.
72.
Zahnes für die ungehinderte Bewegung des Triebstockes derselbe freie Raum erfordert.
Daraus sieht man von selbst, dass die Gestalt des Zahnes durch den zu
beiden Seiten von den Cykloiden übrig gelassenen Raum a i i' e be-
stimmt wird.

Da die Umfangslinie des Zahnes offenbar zu den Cykloidalbögen A J und E J'
parallel seyn muss, so wollen wir zur leichtern Verzeichnung den Theil dieser
krummen Linien, in welchem der Triebstock mit dem Zahne in Be-
rührung bleibt, als einen Kreisbogen betrachten und hierzu den Mittel-
punkt zu bestimmen suchen. Obwohl durch diese Annahme die Bedingniss, dass die
Krümmungshalbmesser des Cykloidalbogens von A aus immer zunehmen sollen, nicht
erfüllt wird, so sieht man doch von selbst, dass die Abweichung von so kleinen Bögen
nicht gross seyn, und dass man über den Unterschied unbedenklich hinausgehen kann,
wenn nur der erste Eingriff des Zahnes bei a und der letzte bei i
genau mit der Cykloide übereinstimmt.

Wenn nun a i ein Kreisbogen seyn soll, so müssen wir den Punkt a, demnach die
Höhe i n und die Abscisse a n suchen. Die Entfernung a E ist offenbar = A E -- A a.
Setzen wir den Halbmesser des Triebstockes und die halbe Dicke des Zahnes ein-
ander gleich und bezeichnen sie mit r, so ist die Entfernung der Mittelpunkte der
zwei Triebstöcke A E = 4 r; wird hiervon der Halbmesser des Triebstockes A a = r
abgezogen, so bleibt a E = 3 r. Die Sehne J E ist, wie wir früher gezeigt haben,
= 2 b . Sin 1/2 l und wenn wir den Bogen 1/2 l kleiner als 1 annehmen, so ist wie be-
kannt Sin 1/2 l = 1/2 l -- [Formel 1] · · · ·, folglich ist J E = b . l [Formel 2] . Weil aber der Bogen
J E = b . l = dem Raume A E = 4 r ist, so haben wir auch b . l = 4 r und
J E = 4 r [Formel 3] . Wird hiervon die Stärke des Triebstockes J i = r abgezogen, so
bleibt i E = 3 r -- [Formel 4] .

Da nun der Winkel i E n, welchen die Sehne i E mit der Tangente des Kreises
macht, die Hälfte des abgeschnittenen Bogens zu seinem Maasse hat, folglich
i E n = 1/2 l ist, so haben wir i n = i E · Sin 1/2 l = 3 r [Formel 5] Sin 1/2 l = 3/2 l · r, wenn
nämlich die höhern Potenzen von 1/2 l vernachlässigt werden.

Auf gleiche Art ist auch n E = i E . Cos 1/2 l = 3 r [Formel 6] .
Wird nun n E von a E abgezogen, so ist
[Formel 7]

Aus diesen Werthen von a n und n i ergibt sich der Halbmesser des Kreisbogens
a i nach der Proporzion a n : n i = n i : n u, folglich, wenn wir den Durchmesser a u = 2 RFig.
7.
setzen; so haben wir, weil a n gegen den Durchmesser 2 R vernachlässigt werden kann
[Formel 8] r . l : 2 R, woraus R = [Formel 9] = 2 1/13 r folgt. Da diese Bestimmung
des Halbmessers R von l, folglich auch von der Anzahl der Triebstöcke nicht ab-

Krümmungshalbmesser für die Abrundung der Zähne,
welcher dieselbe Cykloide rückwärts beschreibt, so wird von der andern Seite desFig.
6.
Tab.
72.
Zahnes für die ungehinderte Bewegung des Triebstockes derselbe freie Raum erfordert.
Daraus sieht man von selbst, dass die Gestalt des Zahnes durch den zu
beiden Seiten von den Cykloiden übrig gelassenen Raum a i i' e be-
stimmt wird.

Da die Umfangslinie des Zahnes offenbar zu den Cykloidalbögen A J und E J'
parallel seyn muss, so wollen wir zur leichtern Verzeichnung den Theil dieser
krummen Linien, in welchem der Triebstock mit dem Zahne in Be-
rührung bleibt, als einen Kreisbogen betrachten und hierzu den Mittel-
punkt zu bestimmen suchen. Obwohl durch diese Annahme die Bedingniss, dass die
Krümmungshalbmesser des Cykloidalbogens von A aus immer zunehmen sollen, nicht
erfüllt wird, so sieht man doch von selbst, dass die Abweichung von so kleinen Bögen
nicht gross seyn, und dass man über den Unterschied unbedenklich hinausgehen kann,
wenn nur der erste Eingriff des Zahnes bei a und der letzte bei i
genau mit der Cykloide übereinstimmt.

Wenn nun a i ein Kreisbogen seyn soll, so müssen wir den Punkt a, demnach die
Höhe i n und die Abscisse a n suchen. Die Entfernung a E ist offenbar = A E — A a.
Setzen wir den Halbmesser des Triebstockes und die halbe Dicke des Zahnes ein-
ander gleich und bezeichnen sie mit r, so ist die Entfernung der Mittelpunkte der
zwei Triebstöcke A E = 4 r; wird hiervon der Halbmesser des Triebstockes A a = r
abgezogen, so bleibt a E = 3 r. Die Sehne J E ist, wie wir früher gezeigt haben,
= 2 b . Sin ½ λ und wenn wir den Bogen ½ λ kleiner als 1 annehmen, so ist wie be-
kannt Sin ½ λ = ½ λ — [Formel 1] · · · ·, folglich ist J E = b . λ [Formel 2] . Weil aber der Bogen
J E = b . λ = dem Raume A E = 4 r ist, so haben wir auch b . λ = 4 r und
J E = 4 r [Formel 3] . Wird hiervon die Stärke des Triebstockes J i = r abgezogen, so
bleibt i E = 3 r — [Formel 4] .

Da nun der Winkel i E n, welchen die Sehne i E mit der Tangente des Kreises
macht, die Hälfte des abgeschnittenen Bogens zu seinem Maasse hat, folglich
i E n = ½ λ ist, so haben wir i n = i E · Sin ½ λ = 3 r [Formel 5] Sin ½ λ = 3/2 λ · r, wenn
nämlich die höhern Potenzen von ½ λ vernachlässigt werden.

Auf gleiche Art ist auch n E = i E . Cos ½ λ = 3 r [Formel 6] .
Wird nun n E von a E abgezogen, so ist
[Formel 7]

Aus diesen Werthen von a n und n i ergibt sich der Halbmesser des Kreisbogens
a i nach der Proporzion a n : n i = n i : n u, folglich, wenn wir den Durchmesser a u = 2 RFig.
7.
setzen; so haben wir, weil a n gegen den Durchmesser 2 R vernachlässigt werden kann
[Formel 8] r . λ : 2 R, woraus R = [Formel 9] = 2 1/13 r folgt. Da diese Bestimmung
des Halbmessers R von λ, folglich auch von der Anzahl der Triebstöcke nicht ab-

<TEI>
  <text>
    <body>
      <div n="1">
        <div n="2">
          <div n="3">
            <p><pb facs="#f0073" n="37"/><fw place="top" type="header"><hi rendition="#i">Krümmungshalbmesser für die Abrundung der Zähne</hi>,</fw><lb/>
welcher dieselbe Cykloide rückwärts beschreibt, so wird von der andern Seite des<note place="right">Fig.<lb/>
6.<lb/>
Tab.<lb/>
72.</note><lb/>
Zahnes für die ungehinderte Bewegung des Triebstockes derselbe freie Raum erfordert.<lb/>
Daraus sieht man von selbst, <hi rendition="#g">dass die Gestalt des Zahnes durch den zu<lb/>
beiden Seiten von den Cykloiden übrig gelassenen Raum a i i' e be-<lb/>
stimmt wird</hi>.</p><lb/>
            <p>Da die Umfangslinie des Zahnes offenbar zu den Cykloidalbögen A J und E J'<lb/>
parallel seyn muss, so wollen wir zur leichtern Verzeichnung <hi rendition="#g">den Theil dieser<lb/>
krummen Linien, in welchem der Triebstock mit dem Zahne in Be-<lb/>
rührung bleibt, als einen Kreisbogen betrachten</hi> und hierzu den Mittel-<lb/>
punkt zu bestimmen suchen. Obwohl durch diese Annahme die Bedingniss, dass die<lb/>
Krümmungshalbmesser des Cykloidalbogens von A aus immer zunehmen sollen, nicht<lb/>
erfüllt wird, so sieht man doch von selbst, dass die Abweichung von so kleinen Bögen<lb/>
nicht gross seyn, und dass man über den Unterschied unbedenklich hinausgehen kann,<lb/><hi rendition="#g">wenn nur der erste Eingriff des Zahnes bei a und der letzte bei i<lb/>
genau mit der Cykloide übereinstimmt</hi>.</p><lb/>
            <p>Wenn nun a i ein Kreisbogen seyn soll, so müssen wir den Punkt a, demnach die<lb/>
Höhe i n und die Abscisse a n suchen. Die Entfernung a E ist offenbar = A E &#x2014; A a.<lb/>
Setzen wir den Halbmesser des Triebstockes und die halbe Dicke des Zahnes ein-<lb/>
ander gleich und bezeichnen sie mit r, so ist die Entfernung der Mittelpunkte der<lb/>
zwei Triebstöcke A E = 4 r; wird hiervon der Halbmesser des Triebstockes A a = r<lb/>
abgezogen, so bleibt a E = 3 r. Die Sehne J E ist, wie wir früher gezeigt haben,<lb/>
= 2 b . Sin ½ <hi rendition="#i">&#x03BB;</hi> und wenn wir den Bogen ½ <hi rendition="#i">&#x03BB;</hi> kleiner als 1 annehmen, so ist wie be-<lb/>
kannt Sin ½ <hi rendition="#i">&#x03BB;</hi> = ½ <hi rendition="#i">&#x03BB;</hi> &#x2014; <formula/> · · · ·, folglich ist J E = b . <hi rendition="#i">&#x03BB;</hi> <formula/>. Weil aber der Bogen<lb/>
J E = b . <hi rendition="#i">&#x03BB;</hi> = dem Raume A E = 4 r ist, so haben wir auch b . <hi rendition="#i">&#x03BB;</hi> = 4 r und<lb/>
J E = 4 r <formula/>. Wird hiervon die Stärke des Triebstockes J i = r abgezogen, so<lb/>
bleibt i E = 3 r &#x2014; <formula/>.</p><lb/>
            <p>Da nun der Winkel i E n, welchen die Sehne i E mit der Tangente des Kreises<lb/>
macht, die Hälfte des abgeschnittenen Bogens zu seinem Maasse hat, folglich<lb/>
i E n = ½ <hi rendition="#i">&#x03BB;</hi> ist, so haben wir i n = i E · Sin ½ <hi rendition="#i">&#x03BB;</hi> = 3 r <formula/> Sin ½ <hi rendition="#i">&#x03BB;</hi> = 3/2 <hi rendition="#i">&#x03BB;</hi> · r, wenn<lb/>
nämlich die höhern Potenzen von ½ <hi rendition="#i">&#x03BB;</hi> vernachlässigt werden.</p><lb/>
            <p>Auf gleiche Art ist auch n E = i E . Cos ½ <hi rendition="#i">&#x03BB;</hi> = 3 r <formula/>.<lb/>
Wird nun n E von a E abgezogen, so ist<lb/><formula/></p>
            <p>Aus diesen Werthen von a n und n i ergibt sich der Halbmesser des Kreisbogens<lb/>
a i nach der Proporzion a n : n i = n i : n u, folglich, wenn wir den Durchmesser a u = 2 R<note place="right">Fig.<lb/>
7.</note><lb/>
setzen; so haben wir, weil a n gegen den Durchmesser 2 R vernachlässigt werden kann<lb/><formula/> r . <hi rendition="#i">&#x03BB;</hi> : 2 R, woraus R = <formula/> = 2 1/13 r folgt. Da diese Bestimmung<lb/>
des Halbmessers R von <hi rendition="#i">&#x03BB;</hi>, folglich auch von der Anzahl der Triebstöcke nicht ab-<lb/></p>
          </div>
        </div>
      </div>
    </body>
  </text>
</TEI>
[37/0073] Krümmungshalbmesser für die Abrundung der Zähne, welcher dieselbe Cykloide rückwärts beschreibt, so wird von der andern Seite des Zahnes für die ungehinderte Bewegung des Triebstockes derselbe freie Raum erfordert. Daraus sieht man von selbst, dass die Gestalt des Zahnes durch den zu beiden Seiten von den Cykloiden übrig gelassenen Raum a i i' e be- stimmt wird. Fig. 6. Tab. 72. Da die Umfangslinie des Zahnes offenbar zu den Cykloidalbögen A J und E J' parallel seyn muss, so wollen wir zur leichtern Verzeichnung den Theil dieser krummen Linien, in welchem der Triebstock mit dem Zahne in Be- rührung bleibt, als einen Kreisbogen betrachten und hierzu den Mittel- punkt zu bestimmen suchen. Obwohl durch diese Annahme die Bedingniss, dass die Krümmungshalbmesser des Cykloidalbogens von A aus immer zunehmen sollen, nicht erfüllt wird, so sieht man doch von selbst, dass die Abweichung von so kleinen Bögen nicht gross seyn, und dass man über den Unterschied unbedenklich hinausgehen kann, wenn nur der erste Eingriff des Zahnes bei a und der letzte bei i genau mit der Cykloide übereinstimmt. Wenn nun a i ein Kreisbogen seyn soll, so müssen wir den Punkt a, demnach die Höhe i n und die Abscisse a n suchen. Die Entfernung a E ist offenbar = A E — A a. Setzen wir den Halbmesser des Triebstockes und die halbe Dicke des Zahnes ein- ander gleich und bezeichnen sie mit r, so ist die Entfernung der Mittelpunkte der zwei Triebstöcke A E = 4 r; wird hiervon der Halbmesser des Triebstockes A a = r abgezogen, so bleibt a E = 3 r. Die Sehne J E ist, wie wir früher gezeigt haben, = 2 b . Sin ½ λ und wenn wir den Bogen ½ λ kleiner als 1 annehmen, so ist wie be- kannt Sin ½ λ = ½ λ — [FORMEL] · · · ·, folglich ist J E = b . λ [FORMEL]. Weil aber der Bogen J E = b . λ = dem Raume A E = 4 r ist, so haben wir auch b . λ = 4 r und J E = 4 r [FORMEL]. Wird hiervon die Stärke des Triebstockes J i = r abgezogen, so bleibt i E = 3 r — [FORMEL]. Da nun der Winkel i E n, welchen die Sehne i E mit der Tangente des Kreises macht, die Hälfte des abgeschnittenen Bogens zu seinem Maasse hat, folglich i E n = ½ λ ist, so haben wir i n = i E · Sin ½ λ = 3 r [FORMEL] Sin ½ λ = 3/2 λ · r, wenn nämlich die höhern Potenzen von ½ λ vernachlässigt werden. Auf gleiche Art ist auch n E = i E . Cos ½ λ = 3 r [FORMEL]. Wird nun n E von a E abgezogen, so ist [FORMEL] Aus diesen Werthen von a n und n i ergibt sich der Halbmesser des Kreisbogens a i nach der Proporzion a n : n i = n i : n u, folglich, wenn wir den Durchmesser a u = 2 R setzen; so haben wir, weil a n gegen den Durchmesser 2 R vernachlässigt werden kann [FORMEL] r . λ : 2 R, woraus R = [FORMEL] = 2 1/13 r folgt. Da diese Bestimmung des Halbmessers R von λ, folglich auch von der Anzahl der Triebstöcke nicht ab- Fig. 7.

Suche im Werk

Hilfe

Informationen zum Werk

Download dieses Werks

XML (TEI P5) · HTML · Text
TCF (text annotation layer)
XML (TEI P5 inkl. att.linguistic)

Metadaten zum Werk

TEI-Header · CMDI · Dublin Core

Ansichten dieser Seite

Voyant Tools ?

Language Resource Switchboard?

Feedback

Sie haben einen Fehler gefunden? Dann können Sie diesen über unsere Qualitätssicherungsplattform DTAQ melden.

Kommentar zur DTA-Ausgabe

Dieses Werk wurde gemäß den DTA-Transkriptionsrichtlinien im Double-Keying-Verfahren von Nicht-Muttersprachlern erfasst und in XML/TEI P5 nach DTA-Basisformat kodiert.




Ansicht auf Standard zurückstellen

URL zu diesem Werk: https://www.deutschestextarchiv.de/gerstner_mechanik03_1834
URL zu dieser Seite: https://www.deutschestextarchiv.de/gerstner_mechanik03_1834/73
Zitationshilfe: Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 3: Beschreibung und Berechnung grösserer Maschinenanlagen. Wien, 1834, S. 37. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gerstner_mechanik03_1834/73>, abgerufen am 24.11.2024.