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Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 3: Beschreibung und Berechnung grösserer Maschinenanlagen. Wien, 1834.

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Gleichung für die Epicykloide.
tenen Durchschnittspunkte eine fortlaufende krumme Linie, so gibt diese die verlangte
Epicykloide.

Da es für unsern Zweck, wie wir bereits gezeigt haben, nicht nöthig ist, die ganze
Fig.
1.
Tab.
73.Epicykloide zu verzeichnen, so wollen wir für dieselbe abermals eine Gleichung suchen.
Es sey der Halbmesser des grössern Rades A C = C E = a, der Halbmesser des klei-
nern Rades A B = E D = b. Bewegt sich das Rad A O auf der Peripherie A E des
grössern Rades von A nach E wie eine Scheibe fort und rückt aus der Stellung A O in
jene E M, so werden die Bögen A E und E J einander gleich seyn. Der Winkel, den
das kleine Rad um seinen Mittelpunkt beschrieben hat, J D E sey = l und auf gleiche
Art sey der Winkel A C E = B C D, den nämlich der Mittelpunkt des kleinern Rades um
den Mittelpunkt des grössern zurückgelegt hat, = m, so ist die Länge des Bogens
A E = a . m und die Länge des Bogens J E = b . l. Weil aber die beiden Bögen A E und
J E einander gleich sind, so ist a . m = b . l und m = [Formel 1] . Wird aus D auf die Linie
C B die Winkelrechte D G gezogen, so ist D G = D C . Sin m = (a + b) Sin m und
C G = D C . Cos m = (a + b) Cos m. In dem Dreiecke K D C ist der äussere Winkel D K G
offenbar den beiden innern bei D und C gleich, folglich D K G = l + m; weil aber die
Linie F J zu G K parallel ist, so ist auch der Winkel F J D = G K D = l + m, demnach
D F = J D . Sin F J D = b . Sin (l + m) und F J = J D . Cos F J D = b . Cos (l + m). Setzt
man nun die Abscisse C H = x und H J = y, so ist x = G C -- F J =
(a + b) Cos m -- b . Cos (l + m) und y = H J = G D -- F D = (a + b) Sin m -- b . Sin (l + m).
Mittelst dieser beiden Gleichungen lassen sich nun die Coordinaten x und y für jeden
Winkel l des Epicykloidalbogens berechnen und die krumme Linie selbst verzeichnen.
Zur bequemern Verzeichnung haben wir noch die Grösse des Krümmungshalbmessers für
jeden Punkt J der krummen Linie in der unten beigefügten Note *) bestimmt.

*) Aus der ersten Gleichung folgt d x = -- (a + b) d m . Sin m + b (d l + d m) Sin (l + m), und aus
a . m = b . l ergibt sich, b . d l = a . d m. Wird dieser Werth in die erste Differenzialgleichung
substituirt, so ist d x = (a + b) d m [Formel 2] . Eben so erhalten wir
d y = (a + b) d m . Cos m -- b (d l + d m) Cos (l + m) = (a + b) d m [Formel 3] .
Nach den Grundsätzen der Trigonometrie haben wir für den Sinus der Summe und der
Differenz zweier Winkel die Gleichungen Sin (A + B) = Sin A . Cos B + Sin B . Cos A und
Sin (A -- B) = Sin A . Cos B -- Sin B . Cos A, woraus sich
Sin (A + B) -- Sin (A -- B) = 2 Sin B . Cos A ergibt. Setzen wir
A + B = l + m und A -- B = m, so ist A = [Formel 4] + m und B = [Formel 5] ; wir erhalten demnach
Sin (l + m) -- Sin m = 2 Sin 1/2 l . Cos (1/2 l + m). Auf gleiche Art haben wir für den Cosinus
der Summe und der Differenz zweier Winkel die Gleichungen
Cos (A + B) = Cos A . Cos B -- Sin A . Sin B und Cos (A -- B) = Cos A . Cos B + Sin A . Sin B.
Wird die erste Gleichung von der zweiten abgezogen, so ist
Cos (A -- B) -- Cos (A + B) = 2 Sin A . Sin B. Setzen wir abermals
A + B = l + m und A -- B = m, so ist A = [Formel 6] + m und B = [Formel 7] und wir erhalten
Cos m -- Cos (l + m) = 2 Sin (1/2 l + m) Sin 1/2 l. Werden diese Werthe in die obigen Glei-

Gleichung für die Epicykloide.
tenen Durchschnittspunkte eine fortlaufende krumme Linie, so gibt diese die verlangte
Epicykloide.

Da es für unsern Zweck, wie wir bereits gezeigt haben, nicht nöthig ist, die ganze
Fig.
1.
Tab.
73.Epicykloide zu verzeichnen, so wollen wir für dieselbe abermals eine Gleichung suchen.
Es sey der Halbmesser des grössern Rades A C = C E = a, der Halbmesser des klei-
nern Rades A B = E D = b. Bewegt sich das Rad A O auf der Peripherie A E des
grössern Rades von A nach E wie eine Scheibe fort und rückt aus der Stellung A O in
jene E M, so werden die Bögen A E und E J einander gleich seyn. Der Winkel, den
das kleine Rad um seinen Mittelpunkt beschrieben hat, J D E sey = λ und auf gleiche
Art sey der Winkel A C E = B C D, den nämlich der Mittelpunkt des kleinern Rades um
den Mittelpunkt des grössern zurückgelegt hat, = μ, so ist die Länge des Bogens
A E = a . μ und die Länge des Bogens J E = b . λ. Weil aber die beiden Bögen A E und
J E einander gleich sind, so ist a . μ = b . λ und μ = [Formel 1] . Wird aus D auf die Linie
C B die Winkelrechte D G gezogen, so ist D G = D C . Sin μ = (a + b) Sin μ und
C G = D C . Cos μ = (a + b) Cos μ. In dem Dreiecke K D C ist der äussere Winkel D K G
offenbar den beiden innern bei D und C gleich, folglich D K G = λ + μ; weil aber die
Linie F J zu G K parallel ist, so ist auch der Winkel F J D = G K D = λ + μ, demnach
D F = J D . Sin F J D = b . Sin (λ + μ) und F J = J D . Cos F J D = b . Cos (λ + μ). Setzt
man nun die Abscisse C H = x und H J = y, so ist x = G C — F J =
(a + b) Cos μ — b . Cos (λ + μ) und y = H J = G D — F D = (a + b) Sin μ — b . Sin (λ + μ).
Mittelst dieser beiden Gleichungen lassen sich nun die Coordinaten x und y für jeden
Winkel λ des Epicykloidalbogens berechnen und die krumme Linie selbst verzeichnen.
Zur bequemern Verzeichnung haben wir noch die Grösse des Krümmungshalbmessers für
jeden Punkt J der krummen Linie in der unten beigefügten Note *) bestimmt.

*) Aus der ersten Gleichung folgt d x = — (a + b) d μ . Sin μ + b (d λ + d μ) Sin (λ + μ), und aus
a . μ = b . λ ergibt sich, b . d λ = a . d μ. Wird dieser Werth in die erste Differenzialgleichung
substituirt, so ist d x = (a + b) d μ [Formel 2] . Eben so erhalten wir
d y = (a + b) d μ . Cos μ — b (d λ + d μ) Cos (λ + μ) = (a + b) d μ [Formel 3] .
Nach den Grundsätzen der Trigonometrie haben wir für den Sinus der Summe und der
Differenz zweier Winkel die Gleichungen Sin (A + B) = Sin A . Cos B + Sin B . Cos A und
Sin (A — B) = Sin A . Cos B — Sin B . Cos A, woraus sich
Sin (A + B) — Sin (A — B) = 2 Sin B . Cos A ergibt. Setzen wir
A + B = λ + μ und A — B = μ, so ist A = [Formel 4] + μ und B = [Formel 5] ; wir erhalten demnach
Sin (λ + μ) — Sin μ = 2 Sin ½ λ . Cos (½ λ + μ). Auf gleiche Art haben wir für den Cosinus
der Summe und der Differenz zweier Winkel die Gleichungen
Cos (A + B) = Cos A . Cos B — Sin A . Sin B und Cos (A — B) = Cos A . Cos B + Sin A . Sin B.
Wird die erste Gleichung von der zweiten abgezogen, so ist
Cos (A — B) — Cos (A + B) = 2 Sin A . Sin B. Setzen wir abermals
A + B = λ + μ und A — B = μ, so ist A = [Formel 6] + μ und B = [Formel 7] und wir erhalten
Cos μ — Cos (λ + μ) = 2 Sin (½ λ + μ) Sin ½ λ. Werden diese Werthe in die obigen Glei-
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[42/0078] Gleichung für die Epicykloide. tenen Durchschnittspunkte eine fortlaufende krumme Linie, so gibt diese die verlangte Epicykloide. Da es für unsern Zweck, wie wir bereits gezeigt haben, nicht nöthig ist, die ganze Epicykloide zu verzeichnen, so wollen wir für dieselbe abermals eine Gleichung suchen. Es sey der Halbmesser des grössern Rades A C = C E = a, der Halbmesser des klei- nern Rades A B = E D = b. Bewegt sich das Rad A O auf der Peripherie A E des grössern Rades von A nach E wie eine Scheibe fort und rückt aus der Stellung A O in jene E M, so werden die Bögen A E und E J einander gleich seyn. Der Winkel, den das kleine Rad um seinen Mittelpunkt beschrieben hat, J D E sey = λ und auf gleiche Art sey der Winkel A C E = B C D, den nämlich der Mittelpunkt des kleinern Rades um den Mittelpunkt des grössern zurückgelegt hat, = μ, so ist die Länge des Bogens A E = a . μ und die Länge des Bogens J E = b . λ. Weil aber die beiden Bögen A E und J E einander gleich sind, so ist a . μ = b . λ und μ = [FORMEL]. Wird aus D auf die Linie C B die Winkelrechte D G gezogen, so ist D G = D C . Sin μ = (a + b) Sin μ und C G = D C . Cos μ = (a + b) Cos μ. In dem Dreiecke K D C ist der äussere Winkel D K G offenbar den beiden innern bei D und C gleich, folglich D K G = λ + μ; weil aber die Linie F J zu G K parallel ist, so ist auch der Winkel F J D = G K D = λ + μ, demnach D F = J D . Sin F J D = b . Sin (λ + μ) und F J = J D . Cos F J D = b . Cos (λ + μ). Setzt man nun die Abscisse C H = x und H J = y, so ist x = G C — F J = (a + b) Cos μ — b . Cos (λ + μ) und y = H J = G D — F D = (a + b) Sin μ — b . Sin (λ + μ). Mittelst dieser beiden Gleichungen lassen sich nun die Coordinaten x und y für jeden Winkel λ des Epicykloidalbogens berechnen und die krumme Linie selbst verzeichnen. Zur bequemern Verzeichnung haben wir noch die Grösse des Krümmungshalbmessers für jeden Punkt J der krummen Linie in der unten beigefügten Note *) bestimmt. Fig. 1. Tab. 73. *) Aus der ersten Gleichung folgt d x = — (a + b) d μ . Sin μ + b (d λ + d μ) Sin (λ + μ), und aus a . μ = b . λ ergibt sich, b . d λ = a . d μ. Wird dieser Werth in die erste Differenzialgleichung substituirt, so ist d x = (a + b) d μ [FORMEL]. Eben so erhalten wir d y = (a + b) d μ . Cos μ — b (d λ + d μ) Cos (λ + μ) = (a + b) d μ [FORMEL]. Nach den Grundsätzen der Trigonometrie haben wir für den Sinus der Summe und der Differenz zweier Winkel die Gleichungen Sin (A + B) = Sin A . Cos B + Sin B . Cos A und Sin (A — B) = Sin A . Cos B — Sin B . Cos A, woraus sich Sin (A + B) — Sin (A — B) = 2 Sin B . Cos A ergibt. Setzen wir A + B = λ + μ und A — B = μ, so ist A = [FORMEL] + μ und B = [FORMEL]; wir erhalten demnach Sin (λ + μ) — Sin μ = 2 Sin ½ λ . Cos (½ λ + μ). Auf gleiche Art haben wir für den Cosinus der Summe und der Differenz zweier Winkel die Gleichungen Cos (A + B) = Cos A . Cos B — Sin A . Sin B und Cos (A — B) = Cos A . Cos B + Sin A . Sin B. Wird die erste Gleichung von der zweiten abgezogen, so ist Cos (A — B) — Cos (A + B) = 2 Sin A . Sin B. Setzen wir abermals A + B = λ + μ und A — B = μ, so ist A = [FORMEL] + μ und B = [FORMEL] und wir erhalten Cos μ — Cos (λ + μ) = 2 Sin (½ λ + μ) Sin ½ λ. Werden diese Werthe in die obigen Glei-

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Zitationshilfe: Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 3: Beschreibung und Berechnung grösserer Maschinenanlagen. Wien, 1834, S. 42. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gerstner_mechanik03_1834/78>, abgerufen am 24.11.2024.