Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.
§ 86 Ersetzender Verein von Gleichungen. jeden emfachen Faktor jedes Gliedes der gegebenen Gleichung aufdiese Weise dargestellt, und führt die Multiplikation aus, so dass die Klammern verschwinden, so erhält man eine Summe von Glie- dern, deren jedes mit einem der Produkte zu m Faktoren aus a, b, ... gleichartig ist. Multiplicirt man nun die Gleichung mit (n-m) von den Faktoren a, b ...., so bleiben nur diejenigen Glie- der von geltendem Werthe, welche mit dem Produkte der m übri- gen Faktoren jener Reihe a, b, ... gleichartig sind, indem alle an- dern wenigstens Einen einfachen Faktor enthalten, der mit den neu hinzutretenden Faktoren gleichartig ist, also bei dieser Multiplika- tion verschwinden. Nun kann man aber wiederum nach § 81 die hinzugetretenen Faktoren hinweglassen, indem das System, dem die übrigen angehören, von dem System der hinzutretenden unabhängig ist. Man erhält auf diese Weise einen Verein richtiger Gleichun- gen, wenn man, nachdem die ursprüngliche Gleichung auf die an- gegebene Weise umgestaltet ist, jedesmal die gleichartigen Glieder zu einer Gleichung vereinigt. Und da die sämmtlichen so gewon- nenen Gleichungen bei ihrer Addition die ursprüngliche wieder- geben, so haben wir einen Verein von Gleichungen gewonnen, wel- cher die ursprüngliche genau ersetzt, und die Aufgabe ist gelöst. Somit haben wir den Satz: "Wenn man in einer Gleichung m-ter Stufe, deren Glieder ei- Oder, da jede dieser Gleichungen ersetzt wird durch eine Gleichung, welche aus der ursprünglichen durch Multiplikation mit (n-m) von den Faktoren a, b .... hervorgeht, "wenn man eine Gleichung m-ter Stufe, deren Glieder einem § 86 Ersetzender Verein von Gleichungen. jeden emfachen Faktor jedes Gliedes der gegebenen Gleichung aufdiese Weise dargestellt, und führt die Multiplikation aus, so dass die Klammern verschwinden, so erhält man eine Summe von Glie- dern, deren jedes mit einem der Produkte zu m Faktoren aus a, b, ... gleichartig ist. Multiplicirt man nun die Gleichung mit (n-m) von den Faktoren a, b ...., so bleiben nur diejenigen Glie- der von geltendem Werthe, welche mit dem Produkte der m übri- gen Faktoren jener Reihe a, b, ... gleichartig sind, indem alle an- dern wenigstens Einen einfachen Faktor enthalten, der mit den neu hinzutretenden Faktoren gleichartig ist, also bei dieser Multiplika- tion verschwinden. Nun kann man aber wiederum nach § 81 die hinzugetretenen Faktoren hinweglassen, indem das System, dem die übrigen angehören, von dem System der hinzutretenden unabhängig ist. Man erhält auf diese Weise einen Verein richtiger Gleichun- gen, wenn man, nachdem die ursprüngliche Gleichung auf die an- gegebene Weise umgestaltet ist, jedesmal die gleichartigen Glieder zu einer Gleichung vereinigt. Und da die sämmtlichen so gewon- nenen Gleichungen bei ihrer Addition die ursprüngliche wieder- geben, so haben wir einen Verein von Gleichungen gewonnen, wel- cher die ursprüngliche genau ersetzt, und die Aufgabe ist gelöst. Somit haben wir den Satz: „Wenn man in einer Gleichung m-ter Stufe, deren Glieder ei- Oder, da jede dieser Gleichungen ersetzt wird durch eine Gleichung, welche aus der ursprünglichen durch Multiplikation mit (n-m) von den Faktoren a, b .... hervorgeht, „wenn man eine Gleichung m-ter Stufe, deren Glieder einem <TEI> <text> <body> <div n="1"> <div n="2"> <p><pb facs="#f0159" n="123"/><fw place="top" type="header">§ 86 Ersetzender Verein von Gleichungen.</fw><lb/> jeden emfachen Faktor jedes Gliedes der gegebenen Gleichung auf<lb/> diese Weise dargestellt, und führt die Multiplikation aus, so dass<lb/> die Klammern verschwinden, so erhält man eine Summe von Glie-<lb/> dern, deren jedes mit einem der Produkte zu m Faktoren aus<lb/> a, b, ... gleichartig ist. 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§ 86 Ersetzender Verein von Gleichungen.
jeden emfachen Faktor jedes Gliedes der gegebenen Gleichung auf
diese Weise dargestellt, und führt die Multiplikation aus, so dass
die Klammern verschwinden, so erhält man eine Summe von Glie-
dern, deren jedes mit einem der Produkte zu m Faktoren aus
a, b, ... gleichartig ist. Multiplicirt man nun die Gleichung mit
(n-m) von den Faktoren a, b ...., so bleiben nur diejenigen Glie-
der von geltendem Werthe, welche mit dem Produkte der m übri-
gen Faktoren jener Reihe a, b, ... gleichartig sind, indem alle an-
dern wenigstens Einen einfachen Faktor enthalten, der mit den neu
hinzutretenden Faktoren gleichartig ist, also bei dieser Multiplika-
tion verschwinden. Nun kann man aber wiederum nach § 81 die
hinzugetretenen Faktoren hinweglassen, indem das System, dem die
übrigen angehören, von dem System der hinzutretenden unabhängig
ist. Man erhält auf diese Weise einen Verein richtiger Gleichun-
gen, wenn man, nachdem die ursprüngliche Gleichung auf die an-
gegebene Weise umgestaltet ist, jedesmal die gleichartigen Glieder
zu einer Gleichung vereinigt. Und da die sämmtlichen so gewon-
nenen Gleichungen bei ihrer Addition die ursprüngliche wieder-
geben, so haben wir einen Verein von Gleichungen gewonnen, wel-
cher die ursprüngliche genau ersetzt, und die Aufgabe ist gelöst.
Somit haben wir den Satz:
„Wenn man in einer Gleichung m-ter Stufe, deren Glieder ei-
nem Systeme n-ter Stufe angehören, jeden einfachen Faktor
eines jeden Gliedes als Summe darstellt, deren Stücke n von
einander unabhängigen Strecken gleichartig sind, und durch-
multiplicirt, so kann man jede Reihe von gleichartigen Glie-
dern, welche daraus hervorgehen, zu Einer Gleichung zusam-
menfassen und erhält dadurch einen Verein von Gleichungen,
welcher die ursprüngliche ersetzt.“
Oder, da jede dieser Gleichungen ersetzt wird durch eine Gleichung,
welche aus der ursprünglichen durch Multiplikation mit (n-m) von
den Faktoren a, b .... hervorgeht,
„wenn man eine Gleichung m-ter Stufe, deren Glieder einem
Systeme n-ter Stufe angehören, nach und nach mit jedem
Produkt zu (n-m) Faktoren, welches sich aus n von einander
unabhängigen Strecken jenes Systems bilden lässt, multipli-
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