Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.
Gleichungen. -- Projektion. § 86 A + B + ... = 0durch Multiplikation mit einer beliebigen Ausdehnung L eine neue Gleichung A . L + B . L + ... = 0 ableiten, aber aus dieser im Allgemeinen nicht wieder die ursprüng- liche herleiten könne; es kommt also jetzt darauf an, aus jener Gleichung einen Verein von Gleichungen dieser Art abzuleiten, wel- cher jene eine ersetze, d. h. aus welchem sich jene erste wieder- um ableiten lässt. Ins Besondere liess sich der Faktor L so aus- wählen, dass nach der Multiplikation der einzelnen Glieder mit die- sem Faktor eine Gleichung aus lauter gleichartigen Gliedern her- vorging, und da solche Gleichungen als die einfachsten erscheinen, so wird es besonders darauf ankommen, jene erste Gleichung durch Gleichungen dieser Art zu ersetzen.*) Die Entwickelung der fol- genden Paragraphen zeigte, wie die Gleichung A . L + B . L + ..... = 0 ersetzt werden konnte durch eine Gleichung zwischen den Abschat- tungen auf ein und dasselbe Grundsystem nach dem Leitsystem L, also, wenn A', B' ... solche Abschattungen von A, B ... darstellen, durch die Gleichung A' + B' + ... = 0; und die Aufgabe, die wir uns stellten, ist also identisch mit der, eine Gleichung zu ersetzen durch einen Verein von Gleichungen, welche durch Abschattungen der ersteren hervorgehen, und nament- lich eine Gleichung zwischen ungleichartigen Gliedern durch solche Abschattungsgleichungen, deren Glieder alle gleichartig sind. Es sei die ursprüngliche Gleichung von m-ter Stufe, und ihr Haupt- system d. h. das System, welchem alle ihre Glieder ins Gesammt angehören, von n-ter Stufe, und zwar sei dies letztere dargestellt als Produkt von n unabhängigen einfachen Faktoren a . b ..... Als- dann wird nach dem Begriffe des Systems n-ter Stufe sich jeder einfache Faktor eines jeden Gliedes der gegebenen Gleichung als Summe darstellen lassen, deren Stücke jenen Faktoren a, b, ... gleichartig sind, also in der Form a1 + b1 + ..... Denkt man sich *) Wir sagen überhaupt, dass sich zwei Vereine von Gleichungen gegensei-
tig ersetzen, wenn man aus jedem der beiden Vereine den andern ableiten kann. Gleichungen. — Projektion. § 86 A + B + ... = 0durch Multiplikation mit einer beliebigen Ausdehnung L eine neue Gleichung A . L + B . L + ... = 0 ableiten, aber aus dieser im Allgemeinen nicht wieder die ursprüng- liche herleiten könne; es kommt also jetzt darauf an, aus jener Gleichung einen Verein von Gleichungen dieser Art abzuleiten, wel- cher jene eine ersetze, d. h. aus welchem sich jene erste wieder- um ableiten lässt. Ins Besondere liess sich der Faktor L so aus- wählen, dass nach der Multiplikation der einzelnen Glieder mit die- sem Faktor eine Gleichung aus lauter gleichartigen Gliedern her- vorging, und da solche Gleichungen als die einfachsten erscheinen, so wird es besonders darauf ankommen, jene erste Gleichung durch Gleichungen dieser Art zu ersetzen.*) Die Entwickelung der fol- genden Paragraphen zeigte, wie die Gleichung A . L + B . L + ..... = 0 ersetzt werden konnte durch eine Gleichung zwischen den Abschat- tungen auf ein und dasselbe Grundsystem nach dem Leitsystem L, also, wenn A′, B′ ... solche Abschattungen von A, B ... darstellen, durch die Gleichung A′ + B′ + ... = 0; und die Aufgabe, die wir uns stellten, ist also identisch mit der, eine Gleichung zu ersetzen durch einen Verein von Gleichungen, welche durch Abschattungen der ersteren hervorgehen, und nament- lich eine Gleichung zwischen ungleichartigen Gliedern durch solche Abschattungsgleichungen, deren Glieder alle gleichartig sind. Es sei die ursprüngliche Gleichung von m-ter Stufe, und ihr Haupt- system d. h. das System, welchem alle ihre Glieder ins Gesammt angehören, von n-ter Stufe, und zwar sei dies letztere dargestellt als Produkt von n unabhängigen einfachen Faktoren a . b ..... Als- dann wird nach dem Begriffe des Systems n-ter Stufe sich jeder einfache Faktor eines jeden Gliedes der gegebenen Gleichung als Summe darstellen lassen, deren Stücke jenen Faktoren a, b, ... gleichartig sind, also in der Form a1 + b1 + ..... Denkt man sich *) Wir sagen überhaupt, dass sich zwei Vereine von Gleichungen gegensei-
tig ersetzen, wenn man aus jedem der beiden Vereine den andern ableiten kann. <TEI> <text> <body> <div n="1"> <div n="2"> <p><pb facs="#f0158" n="122"/><fw place="top" type="header">Gleichungen. — Projektion. § 86</fw><lb/><hi rendition="#c">A + B + ... = 0</hi><lb/> durch Multiplikation mit einer beliebigen Ausdehnung L eine neue<lb/> Gleichung<lb/><hi rendition="#c">A . L + B . L + ... = 0</hi><lb/> ableiten, aber aus dieser im Allgemeinen nicht wieder die ursprüng-<lb/> liche herleiten könne; es kommt also jetzt darauf an, aus jener<lb/> Gleichung einen Verein von Gleichungen dieser Art abzuleiten, wel-<lb/> cher jene eine ersetze, d. h. aus welchem sich jene erste wieder-<lb/> um ableiten lässt. Ins Besondere liess sich der Faktor L so aus-<lb/> wählen, dass nach der Multiplikation der einzelnen Glieder mit die-<lb/> sem Faktor eine Gleichung aus lauter gleichartigen Gliedern her-<lb/> vorging, und da solche Gleichungen als die einfachsten erscheinen,<lb/> so wird es besonders darauf ankommen, jene erste Gleichung durch<lb/> Gleichungen dieser Art zu ersetzen.<note place="foot" n="*)">Wir sagen überhaupt, dass sich zwei Vereine von Gleichungen gegensei-<lb/> tig ersetzen, wenn man aus jedem der beiden Vereine den andern ableiten kann.</note> Die Entwickelung der fol-<lb/> genden Paragraphen zeigte, wie die Gleichung<lb/><hi rendition="#c">A . L + B . L + ..... = 0</hi><lb/> ersetzt werden konnte durch eine Gleichung zwischen den Abschat-<lb/> tungen auf ein und dasselbe Grundsystem nach dem Leitsystem L,<lb/> also, wenn A′, B′ ... solche Abschattungen von A, B ... darstellen,<lb/> durch die Gleichung<lb/><hi rendition="#c">A′ + B′ + ... = 0;</hi><lb/> und die Aufgabe, die wir uns stellten, ist also identisch mit der,<lb/> eine Gleichung zu ersetzen durch einen Verein von Gleichungen,<lb/> welche durch Abschattungen der ersteren hervorgehen, und nament-<lb/> lich eine Gleichung zwischen ungleichartigen Gliedern durch solche<lb/> Abschattungsgleichungen, deren Glieder alle gleichartig sind. Es<lb/> sei die ursprüngliche Gleichung von m-ter Stufe, und ihr Haupt-<lb/> system d. h. das System, welchem alle ihre Glieder ins Gesammt<lb/> angehören, von n-ter Stufe, und zwar sei dies letztere dargestellt<lb/> als Produkt von n unabhängigen einfachen Faktoren a . b ..... Als-<lb/> dann wird nach dem Begriffe des Systems n-ter Stufe sich jeder<lb/> einfache Faktor eines jeden Gliedes der gegebenen Gleichung<lb/> als Summe darstellen lassen, deren Stücke jenen Faktoren a, b, ...<lb/> gleichartig sind, also in der Form a<hi rendition="#sub">1</hi> + b<hi rendition="#sub">1</hi> + ..... Denkt man sich<lb/></p> </div> </div> </body> </text> </TEI> [122/0158]
Gleichungen. — Projektion. § 86
A + B + ... = 0
durch Multiplikation mit einer beliebigen Ausdehnung L eine neue
Gleichung
A . L + B . L + ... = 0
ableiten, aber aus dieser im Allgemeinen nicht wieder die ursprüng-
liche herleiten könne; es kommt also jetzt darauf an, aus jener
Gleichung einen Verein von Gleichungen dieser Art abzuleiten, wel-
cher jene eine ersetze, d. h. aus welchem sich jene erste wieder-
um ableiten lässt. Ins Besondere liess sich der Faktor L so aus-
wählen, dass nach der Multiplikation der einzelnen Glieder mit die-
sem Faktor eine Gleichung aus lauter gleichartigen Gliedern her-
vorging, und da solche Gleichungen als die einfachsten erscheinen,
so wird es besonders darauf ankommen, jene erste Gleichung durch
Gleichungen dieser Art zu ersetzen. *) Die Entwickelung der fol-
genden Paragraphen zeigte, wie die Gleichung
A . L + B . L + ..... = 0
ersetzt werden konnte durch eine Gleichung zwischen den Abschat-
tungen auf ein und dasselbe Grundsystem nach dem Leitsystem L,
also, wenn A′, B′ ... solche Abschattungen von A, B ... darstellen,
durch die Gleichung
A′ + B′ + ... = 0;
und die Aufgabe, die wir uns stellten, ist also identisch mit der,
eine Gleichung zu ersetzen durch einen Verein von Gleichungen,
welche durch Abschattungen der ersteren hervorgehen, und nament-
lich eine Gleichung zwischen ungleichartigen Gliedern durch solche
Abschattungsgleichungen, deren Glieder alle gleichartig sind. Es
sei die ursprüngliche Gleichung von m-ter Stufe, und ihr Haupt-
system d. h. das System, welchem alle ihre Glieder ins Gesammt
angehören, von n-ter Stufe, und zwar sei dies letztere dargestellt
als Produkt von n unabhängigen einfachen Faktoren a . b ..... Als-
dann wird nach dem Begriffe des Systems n-ter Stufe sich jeder
einfache Faktor eines jeden Gliedes der gegebenen Gleichung
als Summe darstellen lassen, deren Stücke jenen Faktoren a, b, ...
gleichartig sind, also in der Form a1 + b1 + ..... Denkt man sich
*) Wir sagen überhaupt, dass sich zwei Vereine von Gleichungen gegensei-
tig ersetzen, wenn man aus jedem der beiden Vereine den andern ableiten kann.
Suche im WerkInformationen zum Werk
Download dieses Werks
XML (TEI P5) ·
HTML ·
Text Metadaten zum WerkTEI-Header · CMDI · Dublin Core Ansichten dieser Seite
Voyant Tools
|
| URL zu diesem Werk: | https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844 |
| URL zu dieser Seite: | https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/158 |
| Zitationshilfe: | Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 122. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/158>, abgerufen am 21.11.2024. |
