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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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Vorrede.
Begriffe der Exponentialgrösse sogleich, dass
[Formel 1] sei *). Eben so wenn Sin a die Grösse vorstellt, welche die Strecke,
mit der sie multiplicirt ist, nach der Schwenkungsseite des Win-
kels a um 90° in ihrer Richtung ändert, und zugleich ihre absolute
Länge auf gleiche Weise ändert wie sin a, so ist
[Formel 2] und es ergiebt sich daraus die Gleichung
[Formel 3] alles Gleichungen, welche die auffallendste Analogie mit den be-
kannten imaginären Ausdrücken verrathen.

Soweit hatten sich diese Begriffe schon früher ergeben. Als
ich nun auch diese Begriffe zu verallgemeinern trachtete, so erwei-
terte sich zuerst der Begriff des inneren Produktes auf entspre-
chende Weise, wie ich dies für das äussere Produkt in Bezug auf
das Durchschneiden der Linien und Ebenen oben angedeutet habe;
sodann kam ich zunächst auf den Begriff des Quotienten verschie-
den gerichteter Strecken, und verstand unter wo a und b ver-
schieden gerichtete Strecken von gleicher Länge vorstellen, die
Grösse, welche jede in derselben Ebene liegende Strecke um den
Winkel ba (von b nach a gerechnet) ändert, so dass in der That,
wie es sein muss, b = a ist; und hieraus ergab sich dann der
Begriff für den Fall, dass a und b von ungleicher Länge sind, un-
mittelbar. Jener einfache Begriff wurde nun aber die Quelle für
eine Reihe der interessantesten Beziehungen. Zuerst ergab sich

*) In der That wenn AB (Figur 1) die ursprüngliche Strecke ist, und dieselbe
um den Winkel a in die Lage AC, um den Winkel -a aber in die Lage AD ge-
schwenkt wird, und man das Parallelogramm ACDE vollendet, so ist AE die Sum-
me der Strecken AC + AD, und die Hälfte AF dieser Summe der Cosinus des
Winkels a.

Vorrede.
Begriffe der Exponentialgrösse sogleich, dass
[Formel 1] sei *). Eben so wenn Sin α die Grösse vorstellt, welche die Strecke,
mit der sie multiplicirt ist, nach der Schwenkungsseite des Win-
kels α um 90° in ihrer Richtung ändert, und zugleich ihre absolute
Länge auf gleiche Weise ändert wie sin ᾱ, so ist
[Formel 2] und es ergiebt sich daraus die Gleichung
[Formel 3] alles Gleichungen, welche die auffallendste Analogie mit den be-
kannten imaginären Ausdrücken verrathen.

Soweit hatten sich diese Begriffe schon früher ergeben. Als
ich nun auch diese Begriffe zu verallgemeinern trachtete, so erwei-
terte sich zuerst der Begriff des inneren Produktes auf entspre-
chende Weise, wie ich dies für das äussere Produkt in Bezug auf
das Durchschneiden der Linien und Ebenen oben angedeutet habe;
sodann kam ich zunächst auf den Begriff des Quotienten verschie-
den gerichteter Strecken, und verstand unter wo a und b ver-
schieden gerichtete Strecken von gleicher Länge vorstellen, die
Grösse, welche jede in derselben Ebene liegende Strecke um den
Winkel ba (von b nach a gerechnet) ändert, so dass in der That,
wie es sein muss, b = a ist; und hieraus ergab sich dann der
Begriff für den Fall, dass a und b von ungleicher Länge sind, un-
mittelbar. Jener einfache Begriff wurde nun aber die Quelle für
eine Reihe der interessantesten Beziehungen. Zuerst ergab sich

*) In der That wenn AB (Figur 1) die ursprüngliche Strecke ist, und dieselbe
um den Winkel α in die Lage AC, um den Winkel -α aber in die Lage AD ge-
schwenkt wird, und man das Parallelogramm ACDE vollendet, so ist AE die Sum-
me der Strecken AC + AD, und die Hälfte AF dieser Summe der Cosinus des
Winkels α.
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[XII/0016] Vorrede. Begriffe der Exponentialgrösse sogleich, dass [FORMEL] sei *). Eben so wenn Sin α die Grösse vorstellt, welche die Strecke, mit der sie multiplicirt ist, nach der Schwenkungsseite des Win- kels α um 90° in ihrer Richtung ändert, und zugleich ihre absolute Länge auf gleiche Weise ändert wie sin ᾱ, so ist [FORMEL] und es ergiebt sich daraus die Gleichung [FORMEL] alles Gleichungen, welche die auffallendste Analogie mit den be- kannten imaginären Ausdrücken verrathen. Soweit hatten sich diese Begriffe schon früher ergeben. Als ich nun auch diese Begriffe zu verallgemeinern trachtete, so erwei- terte sich zuerst der Begriff des inneren Produktes auf entspre- chende Weise, wie ich dies für das äussere Produkt in Bezug auf das Durchschneiden der Linien und Ebenen oben angedeutet habe; sodann kam ich zunächst auf den Begriff des Quotienten verschie- den gerichteter Strecken, und verstand unter [FORMEL] wo a und b ver- schieden gerichtete Strecken von gleicher Länge vorstellen, die Grösse, welche jede in derselben Ebene liegende Strecke um den Winkel ba (von b nach a gerechnet) ändert, so dass in der That, wie es sein muss, [FORMEL] b = a ist; und hieraus ergab sich dann der Begriff für den Fall, dass a und b von ungleicher Länge sind, un- mittelbar. Jener einfache Begriff wurde nun aber die Quelle für eine Reihe der interessantesten Beziehungen. Zuerst ergab sich *) In der That wenn AB (Figur 1) die ursprüngliche Strecke ist, und dieselbe um den Winkel α in die Lage AC, um den Winkel -α aber in die Lage AD ge- schwenkt wird, und man das Parallelogramm ACDE vollendet, so ist AE die Sum- me der Strecken AC + AD, und die Hälfte AF dieser Summe der Cosinus des Winkels α.

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. XII. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/16>, abgerufen am 03.12.2024.