Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.
Vorrede. hieraus sogleich eine neue Art der Multiplikation, welche dieser Divisionentsprach, und sich von allen früheren dadurch unterschied, dass das Produkt dieser neuen Art nur 0 werden konnte, wenn einer der Faktoren 0 wurde, während die Faktoren vertauschbar blieben, kurz eine Multiplikation, welche in allen ihren Gesetzen der gewöhnli- chen arithmetischen analog blieb; und der Begriff derselben ging leicht hervor, wenn ich eine Strecke fortschreitend mit verschiedenen solchen Quotienten multiplicirte, und dann den einen Quotienten auffasste, welcher statt dieser fortschreitenden Faktoren gesetzt werden konnte. Da nun nach der Definition, wenn ab den Winkel beider Strecken, welche von gleicher Länge sind, bedeutet [Formel 1] ist, so hat man auch [Formel 2] Ferner, wenn der Winkel ab der mte Theil von ac ist, so hat man [Formel 3] weil nämlich, wenn eine Strecke m mal fortschreitend die Schwen- kung endet. Also auch, wenn der Winkel ab halb so gross ist als ac, so ist [Formel 6] Ist namentlich um 2 Rechte gleich, so ist, da c = -a, also d. h. der Ausdruck sqrt -1 mit einer Strecke multiplcirt ändert ihre Rich- tung um 90° nach irgend einer, dann aber allemal nach derselben Seite hin. Diese schöne Bedeutung der imaginären Grösse ver- vollständigte sich noch dadurch, dass sich ergab, dass [Formel 11] denselben Werth bezeichnen, wenn a den Winkel, (a) aber den da- zu gehörigen Bogen dividirt durch den Halbmesser bedeutet; in Vorrede. hieraus sogleich eine neue Art der Multiplikation, welche dieser Divisionentsprach, und sich von allen früheren dadurch unterschied, dass das Produkt dieser neuen Art nur 0 werden konnte, wenn einer der Faktoren 0 wurde, während die Faktoren vertauschbar blieben, kurz eine Multiplikation, welche in allen ihren Gesetzen der gewöhnli- chen arithmetischen analog blieb; und der Begriff derselben ging leicht hervor, wenn ich eine Strecke fortschreitend mit verschiedenen solchen Quotienten multiplicirte, und dann den einen Quotienten auffasste, welcher statt dieser fortschreitenden Faktoren gesetzt werden konnte. Da nun nach der Definition, wenn ab den Winkel beider Strecken, welche von gleicher Länge sind, bedeutet [Formel 1] ist, so hat man auch [Formel 2] Ferner, wenn der Winkel ab der mte Theil von ac ist, so hat man [Formel 3] weil nämlich, wenn eine Strecke m mal fortschreitend die Schwen- kung endet. Also auch, wenn der Winkel ab halb so gross ist als ac, so ist [Formel 6] Ist namentlich um 2 Rechte gleich, so ist, da c = -a, also d. h. der Ausdruck √ -1 mit einer Strecke multiplcirt ändert ihre Rich- tung um 90° nach irgend einer, dann aber allemal nach derselben Seite hin. 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Vorrede.
hieraus sogleich eine neue Art der Multiplikation, welche dieser Division
entsprach, und sich von allen früheren dadurch unterschied, dass das
Produkt dieser neuen Art nur 0 werden konnte, wenn einer der
Faktoren 0 wurde, während die Faktoren vertauschbar blieben, kurz
eine Multiplikation, welche in allen ihren Gesetzen der gewöhnli-
chen arithmetischen analog blieb; und der Begriff derselben ging
leicht hervor, wenn ich eine Strecke fortschreitend mit verschiedenen
solchen Quotienten multiplicirte, und dann den einen Quotienten
auffasste, welcher statt dieser fortschreitenden Faktoren gesetzt
werden konnte. Da nun nach der Definition, wenn ab den Winkel
beider Strecken, welche von gleicher Länge sind, bedeutet
[FORMEL] ist, so hat man auch
[FORMEL] Ferner, wenn der Winkel ab der mte Theil von ac ist, so hat man
[FORMEL] weil nämlich, wenn eine Strecke m mal fortschreitend die Schwen-
kung [FORMEL] erleidet, sie dann im Ganzen die Schwenkung [FORMEL] voll-
endet. Also auch, wenn der Winkel ab halb so gross ist als ac, so ist
[FORMEL] Ist namentlich [FORMEL] der Schwenkung um einen Rechten, also [FORMEL] der
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d. h. der Ausdruck √ -1 mit einer Strecke multiplcirt ändert ihre Rich-
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Seite hin. Diese schöne Bedeutung der imaginären Grösse ver-
vollständigte sich noch dadurch, dass sich ergab, dass
[FORMEL] denselben Werth bezeichnen, wenn α den Winkel, (α) aber den da-
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