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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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Gleichungen. -- Projektion. § 92
einem Punkte der Kurve oder Oberfläche gezogen ist, eine Glei-
chung aufgestellt wird. Es sei p = xa + yb + zc diese Strecke, und
f (x, y, z) = 0
die Gleichung, welche eine Oberfläche bestimmt; sucht man nun
die Gleichung derselben Oberfläche zunächst für denselben An-
fangspunkt der Koordinaten, aber in Bezug auf neue Richtaxen und
auf die ihnen zugehörigen Richtmasse, e1, e2, e3, so hat man, wenn
p = u1e1 + u2e2 + u3e3 ist, die Gleichung
[Formel 1] eine Gleichung, welche, wenn man statt p seinen Werth substituirt,
als Gleichung zwischen den neuen Variabeln u1, u2, u3 erscheint.
Will man auch den Anfangspunkt der Koordinaten etwa um die
Strecke e verlegen, so hat man nun, wenn q die Strecke ist, von
dem neuen Anfangspunkt nach demselben Punkte der Oberfläche,
nach welchem der entsprechende Werth von p gerichtet, und
q = v1e1 + v2e2 + v3e3
ist, nur in der obigen Gleichung statt p seinen Werth q + e einzu-
führen, um die verlangte Gleichung zu erhalten, oder ist e =
aa + bb + gc, so hat man, wie sich sogleich ergiebt,
[Formel 2] als die verlangte Gleichung zwischen den neuen Variabeln v1, v2,
v3. Will man diese Gleichung als blosse Zahlengleichung darstel-
len, so hat man nur die neuen Grundmasse auf bestimmte Weise
als Vielfachensummen der ursprünglichen darzustellen und in die
Gleichung einzuführen. Es sei
e1 = a1a + b1b + g1c
e2 = a2a + b2b + g2c
e3 = a3a + b3b + g3c,
so zeigt sich unmittelbar, wie sich die verlangte Gleichung dar-
stellt in der Form
f (a + a1v1 + a2v2 + a3v3, b + b1v1 + b2v2 + b3v3,
g + g1v1 + g2v2 + g3v3) = 0,
eine Gleichung, welche an Einfachheit nichts zu wünschen übrig

Gleichungen. — Projektion. § 92
einem Punkte der Kurve oder Oberfläche gezogen ist, eine Glei-
chung aufgestellt wird. Es sei p = xa + yb + zc diese Strecke, und
f (x, y, z) = 0
die Gleichung, welche eine Oberfläche bestimmt; sucht man nun
die Gleichung derselben Oberfläche zunächst für denselben An-
fangspunkt der Koordinaten, aber in Bezug auf neue Richtaxen und
auf die ihnen zugehörigen Richtmasse, e1, e2, e3, so hat man, wenn
p = u1e1 + u2e2 + u3e3 ist, die Gleichung
[Formel 1] eine Gleichung, welche, wenn man statt p seinen Werth substituirt,
als Gleichung zwischen den neuen Variabeln u1, u2, u3 erscheint.
Will man auch den Anfangspunkt der Koordinaten etwa um die
Strecke e verlegen, so hat man nun, wenn q die Strecke ist, von
dem neuen Anfangspunkt nach demselben Punkte der Oberfläche,
nach welchem der entsprechende Werth von p gerichtet, und
q = v1e1 + v2e2 + v3e3
ist, nur in der obigen Gleichung statt p seinen Werth q + e einzu-
führen, um die verlangte Gleichung zu erhalten, oder ist e =
αa + βb + γc, so hat man, wie sich sogleich ergiebt,
[Formel 2] als die verlangte Gleichung zwischen den neuen Variabeln v1, v2,
v3. Will man diese Gleichung als blosse Zahlengleichung darstel-
len, so hat man nur die neuen Grundmasse auf bestimmte Weise
als Vielfachensummen der ursprünglichen darzustellen und in die
Gleichung einzuführen. Es sei
e1 = α1a + β1b + γ1c
e2 = α2a + β2b + γ2c
e3 = α3a + β3b + γ3c,
so zeigt sich unmittelbar, wie sich die verlangte Gleichung dar-
stellt in der Form
f (α + α1v1 + α2v2 + α3v3, β + β1v1 + β2v2 + β3v3,
γ + γ1v1 + γ2v2 + γ3v3) = 0,
eine Gleichung, welche an Einfachheit nichts zu wünschen übrig

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[128/0164] Gleichungen. — Projektion. § 92 einem Punkte der Kurve oder Oberfläche gezogen ist, eine Glei- chung aufgestellt wird. Es sei p = xa + yb + zc diese Strecke, und f (x, y, z) = 0 die Gleichung, welche eine Oberfläche bestimmt; sucht man nun die Gleichung derselben Oberfläche zunächst für denselben An- fangspunkt der Koordinaten, aber in Bezug auf neue Richtaxen und auf die ihnen zugehörigen Richtmasse, e1, e2, e3, so hat man, wenn p = u1e1 + u2e2 + u3e3 ist, die Gleichung [FORMEL] eine Gleichung, welche, wenn man statt p seinen Werth substituirt, als Gleichung zwischen den neuen Variabeln u1, u2, u3 erscheint. Will man auch den Anfangspunkt der Koordinaten etwa um die Strecke e verlegen, so hat man nun, wenn q die Strecke ist, von dem neuen Anfangspunkt nach demselben Punkte der Oberfläche, nach welchem der entsprechende Werth von p gerichtet, und q = v1e1 + v2e2 + v3e3 ist, nur in der obigen Gleichung statt p seinen Werth q + e einzu- führen, um die verlangte Gleichung zu erhalten, oder ist e = αa + βb + γc, so hat man, wie sich sogleich ergiebt, [FORMEL] als die verlangte Gleichung zwischen den neuen Variabeln v1, v2, v3. Will man diese Gleichung als blosse Zahlengleichung darstel- len, so hat man nur die neuen Grundmasse auf bestimmte Weise als Vielfachensummen der ursprünglichen darzustellen und in die Gleichung einzuführen. Es sei e1 = α1a + β1b + γ1c e2 = α2a + β2b + γ2c e3 = α3a + β3b + γ3c, so zeigt sich unmittelbar, wie sich die verlangte Gleichung dar- stellt in der Form f (α + α1v1 + α2v2 + α3v3, β + β1v1 + β2v2 + β3v3, γ + γ1v1 + γ2v2 + γ3v3) = 0, eine Gleichung, welche an Einfachheit nichts zu wünschen übrig

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 128. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/164>, abgerufen am 16.02.2025.