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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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§ 102 Geometrische Sätze über die Mitte.
hier in derselben Bedeutung bei, so erhalten wir auch dieselben
Sätze, von denen wir jedoch die interessantesten in anschauliche-
rer Form darlegen wollen. Stellt man sich zunächst n Punkte
a1 ... an vor, so lässt sich stets ein Punkt s finden, dessen Ab-
weichung von jedem beliebigen Punkte r der n-te Theil ist von
der Gesammt-Abweichung jener n Punkte von demselben Punkte r,
und dieser Punkt ist durch eine solche Gleichung
[Formel 1] vollkommen bestimmt. Dieser Punkt ist es, welchen man den
Punkt der mittleren Entfernung zwischen jenen n Punkten zu nen-
nen pflegt, den ich aber kürzer als deren Mitte bezeichnet habe
(vergl. § 24). Drücken wir nun den obigen Satz geometrischer
aus, so können wir sagen:

"Zieht man von einem veränderlichen Punkte r die Strecken
nach n festen Punkten, so geht die von r aus mit der Summe die-
ser Strecken gezogene Parallele durch einen festen Punkt s, wel-
cher die Mitte zwischen jenen n Punkten heisst, und dessen Ent-
fernung von r der n-te Theil jener Summe ist." Oder wenn wir
auch den Begriff der Summe vermeiden wollen "Zieht man von
einem veränderlichen Punkte r die Strecken nach n festen Punk-
ten, und legt diese Strecken, ohne ihre Richtung und Länge zu än-
dern, stetig, d. h. so an einander, dass der Endpunkt einer jeden
Strecke jedesmal der Anfangspunkt der nächstfolgenden wird, und
macht r zum Anfangspunkt der ersten, so geht die Linie, welche
die so gebildete Figur schliesst, durch einen festen Punkt s, wel-
cher die Mitte der n Punkte ist, und von der schliessenden Seite
nach dem Punkte r zu den n-ten Theil abschneidet." Hieraus er-
giebt sich eine höchst einfache Konstruktion der Mitte, und zu-
gleich das Gesetz, dass die Strecken, welche von der Mitte nach
den n Punkten gezogen werden, stetig an einander gelegt eine ge-
schlossene Figur geben, oder dass sie den Seiten einer geschlos-
senen Figur gleich und parallel sind.

§ 102. Es ist klar, wie die im vorigen § aufgestellten Gesetze
auch noch gelten, wenn sich mehrere der festen Punkte vereini-
gen, wenn man dann nur die Anzahl derselben festhält, und auch
dann noch, wenn man diese Punkte mit beliebigen positiven oder

§ 102 Geometrische Sätze über die Mitte.
hier in derselben Bedeutung bei, so erhalten wir auch dieselben
Sätze, von denen wir jedoch die interessantesten in anschauliche-
rer Form darlegen wollen. Stellt man sich zunächst n Punkte
α1 ... αn vor, so lässt sich stets ein Punkt σ finden, dessen Ab-
weichung von jedem beliebigen Punkte ρ der n-te Theil ist von
der Gesammt-Abweichung jener n Punkte von demselben Punkte ρ,
und dieser Punkt ist durch eine solche Gleichung
[Formel 1] vollkommen bestimmt. Dieser Punkt ist es, welchen man den
Punkt der mittleren Entfernung zwischen jenen n Punkten zu nen-
nen pflegt, den ich aber kürzer als deren Mitte bezeichnet habe
(vergl. § 24). Drücken wir nun den obigen Satz geometrischer
aus, so können wir sagen:

„Zieht man von einem veränderlichen Punkte ρ die Strecken
nach n festen Punkten, so geht die von ρ aus mit der Summe die-
ser Strecken gezogene Parallele durch einen festen Punkt σ, wel-
cher die Mitte zwischen jenen n Punkten heisst, und dessen Ent-
fernung von ρ der n-te Theil jener Summe ist.“ Oder wenn wir
auch den Begriff der Summe vermeiden wollen „Zieht man von
einem veränderlichen Punkte ρ die Strecken nach n festen Punk-
ten, und legt diese Strecken, ohne ihre Richtung und Länge zu än-
dern, stetig, d. h. so an einander, dass der Endpunkt einer jeden
Strecke jedesmal der Anfangspunkt der nächstfolgenden wird, und
macht ρ zum Anfangspunkt der ersten, so geht die Linie, welche
die so gebildete Figur schliesst, durch einen festen Punkt σ, wel-
cher die Mitte der n Punkte ist, und von der schliessenden Seite
nach dem Punkte ρ zu den n-ten Theil abschneidet.“ Hieraus er-
giebt sich eine höchst einfache Konstruktion der Mitte, und zu-
gleich das Gesetz, dass die Strecken, welche von der Mitte nach
den n Punkten gezogen werden, stetig an einander gelegt eine ge-
schlossene Figur geben, oder dass sie den Seiten einer geschlos-
senen Figur gleich und parallel sind.

§ 102. Es ist klar, wie die im vorigen § aufgestellten Gesetze
auch noch gelten, wenn sich mehrere der festen Punkte vereini-
gen, wenn man dann nur die Anzahl derselben festhält, und auch
dann noch, wenn man diese Punkte mit beliebigen positiven oder

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[141/0177] § 102 Geometrische Sätze über die Mitte. hier in derselben Bedeutung bei, so erhalten wir auch dieselben Sätze, von denen wir jedoch die interessantesten in anschauliche- rer Form darlegen wollen. Stellt man sich zunächst n Punkte α1 ... αn vor, so lässt sich stets ein Punkt σ finden, dessen Ab- weichung von jedem beliebigen Punkte ρ der n-te Theil ist von der Gesammt-Abweichung jener n Punkte von demselben Punkte ρ, und dieser Punkt ist durch eine solche Gleichung [FORMEL] vollkommen bestimmt. Dieser Punkt ist es, welchen man den Punkt der mittleren Entfernung zwischen jenen n Punkten zu nen- nen pflegt, den ich aber kürzer als deren Mitte bezeichnet habe (vergl. § 24). Drücken wir nun den obigen Satz geometrischer aus, so können wir sagen: „Zieht man von einem veränderlichen Punkte ρ die Strecken nach n festen Punkten, so geht die von ρ aus mit der Summe die- ser Strecken gezogene Parallele durch einen festen Punkt σ, wel- cher die Mitte zwischen jenen n Punkten heisst, und dessen Ent- fernung von ρ der n-te Theil jener Summe ist.“ Oder wenn wir auch den Begriff der Summe vermeiden wollen „Zieht man von einem veränderlichen Punkte ρ die Strecken nach n festen Punk- ten, und legt diese Strecken, ohne ihre Richtung und Länge zu än- dern, stetig, d. h. so an einander, dass der Endpunkt einer jeden Strecke jedesmal der Anfangspunkt der nächstfolgenden wird, und macht ρ zum Anfangspunkt der ersten, so geht die Linie, welche die so gebildete Figur schliesst, durch einen festen Punkt σ, wel- cher die Mitte der n Punkte ist, und von der schliessenden Seite nach dem Punkte ρ zu den n-ten Theil abschneidet.“ Hieraus er- giebt sich eine höchst einfache Konstruktion der Mitte, und zu- gleich das Gesetz, dass die Strecken, welche von der Mitte nach den n Punkten gezogen werden, stetig an einander gelegt eine ge- schlossene Figur geben, oder dass sie den Seiten einer geschlos- senen Figur gleich und parallel sind. § 102. Es ist klar, wie die im vorigen § aufgestellten Gesetze auch noch gelten, wenn sich mehrere der festen Punkte vereini- gen, wenn man dann nur die Anzahl derselben festhält, und auch dann noch, wenn man diese Punkte mit beliebigen positiven oder

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 141. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/177>, abgerufen am 24.11.2024.