Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.
§ 110 Zwischenelemente. oder, indem man die Gesetze der äusseren Multiplikation anwendet,wenn b . ab gleich bezeichnet ist mit aab, d. h. b gleich bezeichnet ist mit a; d. h., da ihre Summe eins, also positiv ist, wenn beide Koefficienten oder Gewichte positiv sind. Ist einer derselben null, so ist das Element ein Gränzelement. Durch Fortsetzung dessel- ben Verfahrens können wir nun beweisen, dass ein Element r dann und nur dann zwischen einer Reihe von Elementen a, b, g ..., welche von einander unabhängig sind, liege, wenn es sich in der Form r = aa + bb + cg + .... mit lauter positiven Koefficienten darstellen lasse. Wir sagten, dass ein Element r dann und nur dann zwischen einer Reihe von Ele- menten liege, wenn es zwischen dem ersten Elemente dieser Reihe und einem zwischen den folgenden befindlichen Elemente liege. Soll r daher zwischen a, b, g ..... liegen, so muss es zwischen a und einem zwischen b, g ... liegenden Elemente sich befinden, es muss also r sich als Vielfachensumme von a und einem zwischen b, g .... liegenden Elemente, deren Koefficienten beide positiv sind, darstellen lassen; also muss zuerst der Koefficient von a po- sitiv sein, demnächst aber auch der Koefficient des zwischen b, g .... liegenden Elementes, dies Element muss sich aber aus dem- selben Grunde als Vielfachensumme von b und einem zwischen den folgenden Elementen g ... befindlichen Elemente mit positiven Ko- efficienten darstellen lassen; in dem Ausdrucke für r war aber dies zwischen b, g ... liegende Element mit einem positiven Koefficien- ten multiplicirt; also werden wir, indem wir den für dies Element gefundenen Ausdruck in den Ausdruck für r einführen, und die Klammer auflösen, r als Vielfachensumme von den Elementen a, b und einem zwischen den folgenden Elementen g ... befindlichen Elemente mit positiven Koefficienten dargestellt haben, und da wir dies Verfahren bis zum letzten Elemente hin fortsetzen können, so folgt, dass jedes zwischen a, b, g ... liegende Element sich als Vielfachensumme von a, b, g ... mit positiven Koefficienten dar- stellen lasse. Es ist nun noch zu zeigen, dass auch jedes Element, was sich in dieser Form darstellen lasse, Zwischenelement sei. Ist ein Element r in der obigen Form dargestellt r = aa + bb + cg + ...., § 110 Zwischenelemente. oder, indem man die Gesetze der äusseren Multiplikation anwendet,wenn b . αβ gleich bezeichnet ist mit aαβ, d. h. b gleich bezeichnet ist mit a; d. h., da ihre Summe eins, also positiv ist, wenn beide Koefficienten oder Gewichte positiv sind. Ist einer derselben null, so ist das Element ein Gränzelement. Durch Fortsetzung dessel- ben Verfahrens können wir nun beweisen, dass ein Element ρ dann und nur dann zwischen einer Reihe von Elementen α, β, γ ..., welche von einander unabhängig sind, liege, wenn es sich in der Form ρ = aα + bβ + cγ + .... mit lauter positiven Koefficienten darstellen lasse. Wir sagten, dass ein Element ρ dann und nur dann zwischen einer Reihe von Ele- menten liege, wenn es zwischen dem ersten Elemente dieser Reihe und einem zwischen den folgenden befindlichen Elemente liege. Soll ρ daher zwischen α, β, γ ..... liegen, so muss es zwischen α und einem zwischen β, γ ... liegenden Elemente sich befinden, es muss also ρ sich als Vielfachensumme von α und einem zwischen β, γ .... liegenden Elemente, deren Koefficienten beide positiv sind, darstellen lassen; also muss zuerst der Koefficient von α po- sitiv sein, demnächst aber auch der Koefficient des zwischen β, γ .... liegenden Elementes, dies Element muss sich aber aus dem- selben Grunde als Vielfachensumme von β und einem zwischen den folgenden Elementen γ ... befindlichen Elemente mit positiven Ko- efficienten darstellen lassen; in dem Ausdrucke für ρ war aber dies zwischen β, γ ... liegende Element mit einem positiven Koefficien- ten multiplicirt; also werden wir, indem wir den für dies Element gefundenen Ausdruck in den Ausdruck für ρ einführen, und die Klammer auflösen, ρ als Vielfachensumme von den Elementen α, β und einem zwischen den folgenden Elementen γ ... befindlichen Elemente mit positiven Koefficienten dargestellt haben, und da wir dies Verfahren bis zum letzten Elemente hin fortsetzen können, so folgt, dass jedes zwischen α, β, γ ... liegende Element sich als Vielfachensumme von α, β, γ ... mit positiven Koefficienten dar- stellen lasse. 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§ 110 Zwischenelemente.
oder, indem man die Gesetze der äusseren Multiplikation anwendet,
wenn b . αβ gleich bezeichnet ist mit aαβ, d. h. b gleich bezeichnet
ist mit a; d. h., da ihre Summe eins, also positiv ist, wenn beide
Koefficienten oder Gewichte positiv sind. Ist einer derselben null,
so ist das Element ein Gränzelement. Durch Fortsetzung dessel-
ben Verfahrens können wir nun beweisen, dass ein Element ρ dann
und nur dann zwischen einer Reihe von Elementen α, β, γ ...,
welche von einander unabhängig sind, liege, wenn es sich in der
Form
ρ = aα + bβ + cγ + ....
mit lauter positiven Koefficienten darstellen lasse. Wir sagten, dass
ein Element ρ dann und nur dann zwischen einer Reihe von Ele-
menten liege, wenn es zwischen dem ersten Elemente dieser Reihe
und einem zwischen den folgenden befindlichen Elemente liege.
Soll ρ daher zwischen α, β, γ ..... liegen, so muss es zwischen α
und einem zwischen β, γ ... liegenden Elemente sich befinden, es
muss also ρ sich als Vielfachensumme von α und einem zwischen
β, γ .... liegenden Elemente, deren Koefficienten beide positiv
sind, darstellen lassen; also muss zuerst der Koefficient von α po-
sitiv sein, demnächst aber auch der Koefficient des zwischen β,
γ .... liegenden Elementes, dies Element muss sich aber aus dem-
selben Grunde als Vielfachensumme von β und einem zwischen den
folgenden Elementen γ ... befindlichen Elemente mit positiven Ko-
efficienten darstellen lassen; in dem Ausdrucke für ρ war aber dies
zwischen β, γ ... liegende Element mit einem positiven Koefficien-
ten multiplicirt; also werden wir, indem wir den für dies Element
gefundenen Ausdruck in den Ausdruck für ρ einführen, und die
Klammer auflösen, ρ als Vielfachensumme von den Elementen α, β
und einem zwischen den folgenden Elementen γ ... befindlichen
Elemente mit positiven Koefficienten dargestellt haben, und da wir
dies Verfahren bis zum letzten Elemente hin fortsetzen können, so
folgt, dass jedes zwischen α, β, γ ... liegende Element sich als
Vielfachensumme von α, β, γ ... mit positiven Koefficienten dar-
stellen lasse. Es ist nun noch zu zeigen, dass auch jedes Element,
was sich in dieser Form darstellen lasse, Zwischenelement sei. Ist
ein Element ρ in der obigen Form dargestellt
ρ = aα + bβ + cγ + ....,
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