Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.
Multiplikation der Elementargrössen. § 111 wo a, b, c, .... positive Koefficienten sind; so hat die Summe allerauf aa folgenden Glieder zum Gewichte b + c + ..., also eine po- sitive Zahl, ist also, wenn man die Koefficienten b, c, ... mit b + c + ... dividirt, und dann jene Summe mit b + c + ... multiplicirt, als Produkt einer positiven Zahl in ein Element, was seinerseits wieder als Vielfachensumme von b, g, .... mit positiven Koefficien- ten erscheint, darstellbar, folglich liegt r zwischen a und einem Elemente, was als Vielfachensumme der folgenden Elemente mit positiven Koefficienten darstellbar ist, und da wir diesen Schluss fortsetzen können bis zu den beiden letzten Elementen hin, und das als Vielfachensumme dieser letzten mit positiven Koefficienten darstellbare Element ein zwischen liegendes ist, so folgt, dass r selbst zwischen a, b, g ... liege; also ist der vorher ausgespro- chene Satz erwiesen; auch ist klar, dass, wenn einer oder mehrere Koefficienten null werden, während die übrigen positiv bleiben, r als Gränzelement erscheint. § 111. Betrachte ich nun auf der andern Seite das Produkt Multiplikation der Elementargrössen. § 111 wo a, b, c, .... positive Koefficienten sind; so hat die Summe allerauf aα folgenden Glieder zum Gewichte b + c + ..., also eine po- sitive Zahl, ist also, wenn man die Koefficienten b, c, ... mit b + c + ... dividirt, und dann jene Summe mit b + c + ... multiplicirt, als Produkt einer positiven Zahl in ein Element, was seinerseits wieder als Vielfachensumme von β, γ, .... mit positiven Koefficien- ten erscheint, darstellbar, folglich liegt ρ zwischen α und einem Elemente, was als Vielfachensumme der folgenden Elemente mit positiven Koefficienten darstellbar ist, und da wir diesen Schluss fortsetzen können bis zu den beiden letzten Elementen hin, und das als Vielfachensumme dieser letzten mit positiven Koefficienten darstellbare Element ein zwischen liegendes ist, so folgt, dass ρ selbst zwischen α, β, γ ... liege; also ist der vorher ausgespro- chene Satz erwiesen; auch ist klar, dass, wenn einer oder mehrere Koefficienten null werden, während die übrigen positiv bleiben, ρ als Gränzelement erscheint. § 111. 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Multiplikation der Elementargrössen. § 111
wo a, b, c, .... positive Koefficienten sind; so hat die Summe aller
auf aα folgenden Glieder zum Gewichte b + c + ..., also eine po-
sitive Zahl, ist also, wenn man die Koefficienten b, c, ... mit b + c
+ ... dividirt, und dann jene Summe mit b + c + ... multiplicirt,
als Produkt einer positiven Zahl in ein Element, was seinerseits
wieder als Vielfachensumme von β, γ, .... mit positiven Koefficien-
ten erscheint, darstellbar, folglich liegt ρ zwischen α und einem
Elemente, was als Vielfachensumme der folgenden Elemente mit
positiven Koefficienten darstellbar ist, und da wir diesen Schluss
fortsetzen können bis zu den beiden letzten Elementen hin, und
das als Vielfachensumme dieser letzten mit positiven Koefficienten
darstellbare Element ein zwischen liegendes ist, so folgt, dass ρ
selbst zwischen α, β, γ ... liege; also ist der vorher ausgespro-
chene Satz erwiesen; auch ist klar, dass, wenn einer oder mehrere
Koefficienten null werden, während die übrigen positiv bleiben, ρ
als Gränzelement erscheint.
§ 111. Betrachte ich nun auf der andern Seite das Produkt
α . β . γ . δ ..., dessen Ausweichung nach § 109 gleich [αβ] . [βγ] .
[γδ] ... ist, und stelle das Ausdehnungsgebilde dar, was diesen
Werth hat, und dadurch entsteht, dass das Element α zuerst die
Strecke [αβ] beschreibt, dann jedes so erzeugte Element die Strecke
[βγ], dann jedes die Strecke [γδ] beschreibt u. s. w., so ist klar, dass
jedes solche Element (σ) aus α durch eine Aenderung von der Form
p [αβ] + q [βγ] + r [γδ] + ....,
wo p, q, r ... sämmtlich positiv und kleiner als eins sind, hervor-
geht, also der Gleichung
[ασ] = p [αβ] + q [βγ] + r [γδ] + ...
genügt, und ausserdem jenes Ausdehnungsgebilde keine Elemente
enthält, indem die Werthe null und eins für jene Koefficienten (p,
q, r, ...) Gränzelemente bedingen. Das Eckgebilde zwischen α, β,
γ, δ, ... enthielt die Gesammtheit der Elemente, welche der Glei-
chung
σ = aα + bβ + cγ + dδ + ...
mit positiven Werthen von a, b, c, d, ..., d. h. welche der Gleichung
[ασ] = b [αβ] + c [αγ] + d [αδ] + ....
genügen, wenn b, c, d, ... positiv, und ihre Summe kleiner als eins
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