Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.
Multiplikation der Elementargrössen. § 112 und die übrigen in Ein Glied mit dem Faktor a zusammenfasst,und also die Gleichung in der Form darstellt aA = a (B + C + ...); da nämlich nun die linke Seite eine starre Elementargrösse darstellt, die rechte also gleichfalls, so müssen die Ausweichungen auf bei- den Seiten gleich, also A = B + C + .... sein. Stellt man dann die Glieder dieser Gleichung wieder in der ursprünglichen Ordnung her, so hat man die Gleichung, deren Richtigkeit zu erweisen war. Wir können die Summe der Aus- weichungen mehrerer Glieder, welche alle dasselbe Element r als Faktor haben, auch dann, wenn diese Summe eine formelle Aus- dehnungsgrösse darstellt, die Ausweichung ihrer Summe nennen, und dann den so eben erwiesenen Satz auch so ausdrücken: "In einer Gleichung, deren Glieder dasselbe Element r als gemein- schaftlichen Faktor haben, kann man statt aller Glieder gleichzei- tig ihre Ausweichungen setzen, ohne die Richtigkeit der Gleichung aufzuheben." Vermittelst dieses Satzes ergiebt sich nun, dass, wenn man die Glieder irgend einer Gleichung alle mit demselben Elemente r multiplicirt, und statt jedes so gewonnenen Gliedes seine Ausweichung setzt, die Gleichung eine richtige bleibt. Wir verstehen nun dem vorigen Kapitel gemäss unter der Abweichung einer Grösse B von einer andern A die Ausweichung des Produk- tes AB, und haben somit den Satz gewonnen, dass man in einer Gleichung statt aller Glieder gleichzeitig ihre Abweichungen von demselben Elemente r setzen darf, oder einfacher ausgedrückt, dass gleiche Elementargrössen auch von demselben Elemente um Gleiches abweichen. Hierbei ist zu bemerken, wie aus der Defi- nition sogleich hervorgeht, dass die Abweichung einer Ausdehnung von einem Elemente stets dieser selbst gleich, also von dem Ele- mente gänzlich unabhängig ist. Stellen wir uns nun eine Glei- chung vor, deren Glieder theils starre Elementargrössen theils Aus- dehnungen sind, und in welcher jede der ersteren als Produkt eines Elementes in eine Ausdehnung, also in der Form a . A dar- gestellt ist: so verwandelt sich durch Multiplikation aller Glieder mit r jenes Glied in r . a . A oder in r . (a -- r) . A, weil man in jedem Faktor eines äusseren Produktes Stücke hinzufügen kann, Multiplikation der Elementargrössen. § 112 und die übrigen in Ein Glied mit dem Faktor α zusammenfasst,und also die Gleichung in der Form darstellt αA = α (B + C + ...); da nämlich nun die linke Seite eine starre Elementargrösse darstellt, die rechte also gleichfalls, so müssen die Ausweichungen auf bei- den Seiten gleich, also A = B + C + .... sein. Stellt man dann die Glieder dieser Gleichung wieder in der ursprünglichen Ordnung her, so hat man die Gleichung, deren Richtigkeit zu erweisen war. Wir können die Summe der Aus- weichungen mehrerer Glieder, welche alle dasselbe Element ρ als Faktor haben, auch dann, wenn diese Summe eine formelle Aus- dehnungsgrösse darstellt, die Ausweichung ihrer Summe nennen, und dann den so eben erwiesenen Satz auch so ausdrücken: „In einer Gleichung, deren Glieder dasselbe Element ρ als gemein- schaftlichen Faktor haben, kann man statt aller Glieder gleichzei- tig ihre Ausweichungen setzen, ohne die Richtigkeit der Gleichung aufzuheben.“ Vermittelst dieses Satzes ergiebt sich nun, dass, wenn man die Glieder irgend einer Gleichung alle mit demselben Elemente ρ multiplicirt, und statt jedes so gewonnenen Gliedes seine Ausweichung setzt, die Gleichung eine richtige bleibt. Wir verstehen nun dem vorigen Kapitel gemäss unter der Abweichung einer Grösse B von einer andern A die Ausweichung des Produk- tes AB, und haben somit den Satz gewonnen, dass man in einer Gleichung statt aller Glieder gleichzeitig ihre Abweichungen von demselben Elemente ρ setzen darf, oder einfacher ausgedrückt, dass gleiche Elementargrössen auch von demselben Elemente um Gleiches abweichen. Hierbei ist zu bemerken, wie aus der Defi- nition sogleich hervorgeht, dass die Abweichung einer Ausdehnung von einem Elemente stets dieser selbst gleich, also von dem Ele- mente gänzlich unabhängig ist. Stellen wir uns nun eine Glei- chung vor, deren Glieder theils starre Elementargrössen theils Aus- dehnungen sind, und in welcher jede der ersteren als Produkt eines Elementes in eine Ausdehnung, also in der Form α . A dar- gestellt ist: so verwandelt sich durch Multiplikation aller Glieder mit ρ jenes Glied in ρ . α . A oder in ρ . (α — ρ) . 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Multiplikation der Elementargrössen. § 112
und die übrigen in Ein Glied mit dem Faktor α zusammenfasst,
und also die Gleichung in der Form darstellt
αA = α (B + C + ...);
da nämlich nun die linke Seite eine starre Elementargrösse darstellt,
die rechte also gleichfalls, so müssen die Ausweichungen auf bei-
den Seiten gleich, also
A = B + C + ....
sein. Stellt man dann die Glieder dieser Gleichung wieder in der
ursprünglichen Ordnung her, so hat man die Gleichung, deren
Richtigkeit zu erweisen war. Wir können die Summe der Aus-
weichungen mehrerer Glieder, welche alle dasselbe Element ρ als
Faktor haben, auch dann, wenn diese Summe eine formelle Aus-
dehnungsgrösse darstellt, die Ausweichung ihrer Summe nennen,
und dann den so eben erwiesenen Satz auch so ausdrücken: „In
einer Gleichung, deren Glieder dasselbe Element ρ als gemein-
schaftlichen Faktor haben, kann man statt aller Glieder gleichzei-
tig ihre Ausweichungen setzen, ohne die Richtigkeit der Gleichung
aufzuheben.“ Vermittelst dieses Satzes ergiebt sich nun, dass,
wenn man die Glieder irgend einer Gleichung alle mit demselben
Elemente ρ multiplicirt, und statt jedes so gewonnenen Gliedes
seine Ausweichung setzt, die Gleichung eine richtige bleibt. Wir
verstehen nun dem vorigen Kapitel gemäss unter der Abweichung
einer Grösse B von einer andern A die Ausweichung des Produk-
tes AB, und haben somit den Satz gewonnen, dass man in einer
Gleichung statt aller Glieder gleichzeitig ihre Abweichungen von
demselben Elemente ρ setzen darf, oder einfacher ausgedrückt,
dass gleiche Elementargrössen auch von demselben Elemente um
Gleiches abweichen. Hierbei ist zu bemerken, wie aus der Defi-
nition sogleich hervorgeht, dass die Abweichung einer Ausdehnung
von einem Elemente stets dieser selbst gleich, also von dem Ele-
mente gänzlich unabhängig ist. Stellen wir uns nun eine Glei-
chung vor, deren Glieder theils starre Elementargrössen theils Aus-
dehnungen sind, und in welcher jede der ersteren als Produkt
eines Elementes in eine Ausdehnung, also in der Form α . A dar-
gestellt ist: so verwandelt sich durch Multiplikation aller Glieder
mit ρ jenes Glied in ρ . α . A oder in ρ . (α — ρ) . A, weil man in
jedem Faktor eines äusseren Produktes Stücke hinzufügen kann,
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