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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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§ 112 Gleiche Ausweichungen gleicher Elementargrössen.
welche den andern Faktoren gleichartig sind, und da (a--r) eine
Strecke, also (a--r) . A eine Ausdehnung ist, so kann man nun den
gemeinschaftlichen Faktor r weglassen, und erhält auf diese Weise
die Abweichungsgleichung, welche somit aus der gegebenen da-
durch hervorgeht, dass man von den Elementen der starren Ele-
mentargrössen überall r subtrahirt, und die Glieder, welche Aus-
dehnungen darstellen, unverändert lässt. Subtrahirt man nun diese
Gleichung von der gegebenen, so fallen die Ausdehnungsglieder
weg, das Glied aA verwandelt sich in aA -- (a -- r) . A, d. h. in
r . A; d. h. statt der verschiedenen Elemente, welche mit den Aus-
weichungen multiplicirt waren, tritt überall das Element r ein;
dies kann man nun weglassen nach dem vorigen §, und erhält so-
mit eine Gleichung, welche aus der gegebenen dadurch hervorgeht,
dass man die Ausdehnungsglieder weglässt, statt der übrigen aber
ihre Ausweichungen setzt. Da nun die Ausweichung einer Summe
von Elementargrössen als die Summe ihrer Ausweichungen defi-
nirt ist, worin zugleich liegt, dass die Ausweichung einer Ausdeh-
nungsgrösse null ist, so können wir einfacher sagen:

"Gleiche Elementargrössen haben gleiche Ausweichungen" oder
"Eine Gleichung bleibt richtig, wenn man statt aller Glieder
gleichzeitig ihre Ausweichungen setzt."

Aus diesem Satze geht, wenn man die Ableitungsweise, durch
welche er sich ergab, umkehrt, der umgekehrte Satz hervor:

"Zwei Elementargrössen, welche gleiche Ausweichungen ha-
ben, und von irgend einem Elemente r um gleiche Grössen
abweichen, sind einander gleich (und weichen auch von jedem
andern Elemente um eine gleiche Grösse ab)."

Nämlich sind
a1 A1 + a2 A2 + . .... .+ P und
b1 B1 + b2 B2 + ...... + Q,
wo die griechischen Buchstaben Elemente, die lateinischen Aus-
dehnungsgrössen vorstellen, die beiden Elementargrössen, von de-
nen wir voraussetzen, dass ihre Ausweichungen gleich sind, d. h.
A1 + A2 + .... = B1 + B2 + .....
ist, und dass ihre Abweichungen von irgend einem Elemente r
gleich sind, d. h.
(a1--r) . A1 + (a2--r) . A2 + ...... + P

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§ 112 Gleiche Ausweichungen gleicher Elementargrössen.
welche den andern Faktoren gleichartig sind, und da (α—ρ) eine
Strecke, also (α—ρ) . A eine Ausdehnung ist, so kann man nun den
gemeinschaftlichen Faktor ρ weglassen, und erhält auf diese Weise
die Abweichungsgleichung, welche somit aus der gegebenen da-
durch hervorgeht, dass man von den Elementen der starren Ele-
mentargrössen überall ρ subtrahirt, und die Glieder, welche Aus-
dehnungen darstellen, unverändert lässt. Subtrahirt man nun diese
Gleichung von der gegebenen, so fallen die Ausdehnungsglieder
weg, das Glied αA verwandelt sich in αA — (α — ρ) . A, d. h. in
ρ . A; d. h. statt der verschiedenen Elemente, welche mit den Aus-
weichungen multiplicirt waren, tritt überall das Element ρ ein;
dies kann man nun weglassen nach dem vorigen §, und erhält so-
mit eine Gleichung, welche aus der gegebenen dadurch hervorgeht,
dass man die Ausdehnungsglieder weglässt, statt der übrigen aber
ihre Ausweichungen setzt. Da nun die Ausweichung einer Summe
von Elementargrössen als die Summe ihrer Ausweichungen defi-
nirt ist, worin zugleich liegt, dass die Ausweichung einer Ausdeh-
nungsgrösse null ist, so können wir einfacher sagen:

„Gleiche Elementargrössen haben gleiche Ausweichungen“ oder
„Eine Gleichung bleibt richtig, wenn man statt aller Glieder
gleichzeitig ihre Ausweichungen setzt.“

Aus diesem Satze geht, wenn man die Ableitungsweise, durch
welche er sich ergab, umkehrt, der umgekehrte Satz hervor:

„Zwei Elementargrössen, welche gleiche Ausweichungen ha-
ben, und von irgend einem Elemente ρ um gleiche Grössen
abweichen, sind einander gleich (und weichen auch von jedem
andern Elemente um eine gleiche Grösse ab).“

Nämlich sind
α1 A1 + α2 A2 + . .... .+ P und
β1 B1 + β2 B2 + ...... + Q,
wo die griechischen Buchstaben Elemente, die lateinischen Aus-
dehnungsgrössen vorstellen, die beiden Elementargrössen, von de-
nen wir voraussetzen, dass ihre Ausweichungen gleich sind, d. h.
A1 + A2 + .... = B1 + B2 + .....
ist, und dass ihre Abweichungen von irgend einem Elemente ρ
gleich sind, d. h.
(α1—ρ) . A1 + (α2—ρ) . A2 + ...... + P

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[161/0197] § 112 Gleiche Ausweichungen gleicher Elementargrössen. welche den andern Faktoren gleichartig sind, und da (α—ρ) eine Strecke, also (α—ρ) . A eine Ausdehnung ist, so kann man nun den gemeinschaftlichen Faktor ρ weglassen, und erhält auf diese Weise die Abweichungsgleichung, welche somit aus der gegebenen da- durch hervorgeht, dass man von den Elementen der starren Ele- mentargrössen überall ρ subtrahirt, und die Glieder, welche Aus- dehnungen darstellen, unverändert lässt. Subtrahirt man nun diese Gleichung von der gegebenen, so fallen die Ausdehnungsglieder weg, das Glied αA verwandelt sich in αA — (α — ρ) . A, d. h. in ρ . A; d. h. statt der verschiedenen Elemente, welche mit den Aus- weichungen multiplicirt waren, tritt überall das Element ρ ein; dies kann man nun weglassen nach dem vorigen §, und erhält so- mit eine Gleichung, welche aus der gegebenen dadurch hervorgeht, dass man die Ausdehnungsglieder weglässt, statt der übrigen aber ihre Ausweichungen setzt. Da nun die Ausweichung einer Summe von Elementargrössen als die Summe ihrer Ausweichungen defi- nirt ist, worin zugleich liegt, dass die Ausweichung einer Ausdeh- nungsgrösse null ist, so können wir einfacher sagen: „Gleiche Elementargrössen haben gleiche Ausweichungen“ oder „Eine Gleichung bleibt richtig, wenn man statt aller Glieder gleichzeitig ihre Ausweichungen setzt.“ Aus diesem Satze geht, wenn man die Ableitungsweise, durch welche er sich ergab, umkehrt, der umgekehrte Satz hervor: „Zwei Elementargrössen, welche gleiche Ausweichungen ha- ben, und von irgend einem Elemente ρ um gleiche Grössen abweichen, sind einander gleich (und weichen auch von jedem andern Elemente um eine gleiche Grösse ab).“ Nämlich sind α1 A1 + α2 A2 + . .... .+ P und β1 B1 + β2 B2 + ...... + Q, wo die griechischen Buchstaben Elemente, die lateinischen Aus- dehnungsgrössen vorstellen, die beiden Elementargrössen, von de- nen wir voraussetzen, dass ihre Ausweichungen gleich sind, d. h. A1 + A2 + .... = B1 + B2 + ..... ist, und dass ihre Abweichungen von irgend einem Elemente ρ gleich sind, d. h. (α1—ρ) . A1 + (α2—ρ) . A2 + ...... + P 11

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 161. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/197>, abgerufen am 16.02.2025.