Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

§ 115. Hieraus entwickelt sich nun leicht der Begriff eines
Produktes von mehreren Punkten. Betrachtet man zuerst das Pro-
dukt zweier Punkte a . b oder ab, so ist das System, an welches
es gebunden ist, die durch beide Punkte gezogene gerade Linie,
und da
a . b = a . (b--a)
ist, so ist die Ausweichung dieses Produktes die Abweichung des
zweiten Punktes von dem ersten, d. h. das Produkt zweier Punkte
ist eine Liniengrösse, deren Linie durch jene beiden Punkte geht,
und deren Ausweichung die von dem ersten an den zweiten ge-
führte Strecke ist. -- Das Produkt dreier Puncte a . b . g erscheint
als Plangrösse, deren Ebene durch jene 3 Punkte geht; und da
a . b . g = a . (b--a) . (g--a) = a . [ab] . [ag]
ist, so ist die Ausweichung derselben der Flächenraum eines Paral-
lelogramms, was die Abweichungen der beiden letzten Punkte von
dem ersten zu Seiten hat. Auch können wir, da
[ag] = [ab] + [bg] ist,
[ab] . [ag] = [ab] . [bg]
setzen; also ist die Ausweichung das Produkt der stetig auf einan-
der folgenden Strecken, welche die Punkte in der Reihenfolge, in
welcher sie in dem Produkte auftreten, verbinden. Das Produkt
von vier Punkten a . b . g . d erscheint als ein Körperraum, und
zwar ist die Ausweichung desselben, da
a . b . g . d = a . (b--a) . (g--a) . (d--a) = a . [ab] . [ag] . [ad]
ist, gleich dem Körperraum eines Spathes, welches die Abweichun-
gen der 3 letzten Punkte von dem ersten (in der gehörigen Rei-
henfolge genommen) zu Seiten hat; oder da
[ag] = [ab] + [bg]
[ad] = [ab] + [bg] + [gd]
ist, so ist auch, wenn man die den übrigen Faktoren gleichartigen
Stücke weglässt,
[ab] . [ag] . [ad] = [ab] . [bg] . [gd], d. h.
das Produkt von vier Punkten ist gleich dem Produkte der stetig
auf einander folgenden Strecken, welche jene Punkte in der Rei-
henfolge, in welcher sie in jenem Produkte vorkommen, verbinden.

§ 115. Hieraus entwickelt sich nun leicht der Begriff eines
Produktes von mehreren Punkten. Betrachtet man zuerst das Pro-
dukt zweier Punkte α . β oder αβ, so ist das System, an welches
es gebunden ist, die durch beide Punkte gezogene gerade Linie,
und da
α . β = α . (β—α)
ist, so ist die Ausweichung dieses Produktes die Abweichung des
zweiten Punktes von dem ersten, d. h. das Produkt zweier Punkte
ist eine Liniengrösse, deren Linie durch jene beiden Punkte geht,
und deren Ausweichung die von dem ersten an den zweiten ge-
führte Strecke ist. — Das Produkt dreier Puncte α . β . γ erscheint
als Plangrösse, deren Ebene durch jene 3 Punkte geht; und da
α . β . γ = α . (β—α) . (γ—α) = α . [αβ] . [αγ]
ist, so ist die Ausweichung derselben der Flächenraum eines Paral-
lelogramms, was die Abweichungen der beiden letzten Punkte von
dem ersten zu Seiten hat. Auch können wir, da
[αγ] = [αβ] + [βγ] ist,
[αβ] . [αγ] = [αβ] . [βγ]
setzen; also ist die Ausweichung das Produkt der stetig auf einan-
der folgenden Strecken, welche die Punkte in der Reihenfolge, in
welcher sie in dem Produkte auftreten, verbinden. Das Produkt
von vier Punkten α . β . γ . δ erscheint als ein Körperraum, und
zwar ist die Ausweichung desselben, da
α . β . γ . δ = α . (β—α) . (γ—α) . (δ—α) = α . [αβ] . [αγ] . [αδ]
ist, gleich dem Körperraum eines Spathes, welches die Abweichun-
gen der 3 letzten Punkte von dem ersten (in der gehörigen Rei-
henfolge genommen) zu Seiten hat; oder da
[αγ] = [αβ] + [βγ]
[αδ] = [αβ] + [βγ] + [γδ]
ist, so ist auch, wenn man die den übrigen Faktoren gleichartigen
Stücke weglässt,
[αβ] . [αγ] . [αδ] = [αβ] . [βγ] . [γδ], d. h.
das Produkt von vier Punkten ist gleich dem Produkte der stetig
auf einander folgenden Strecken, welche jene Punkte in der Rei-
henfolge, in welcher sie in jenem Produkte vorkommen, verbinden.