Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.
§ 115 Produkt von Punkten. Hierbei braucht man nicht hinzuzufügen, dass diese Grösse als anden Raum gebunden zu betrachten ist, weil alle räumlichen Grös- sen an ihn gebunden sind. Das Produkt von mehr als vier Punk- ten wird, da der Raum nur ein Elementarsystem vierter Stufe ist, stets null sein müssen. Sind die zu multiplicirenden Punkte noch mit Gewichten behaftet, so hat man nur das Produkt der einfachen Punkte noch mit dem Produkte der Gewichte zu multipliciren, wo- durch sich nur die Ausweichung ändert. Viel einfacher gestaltet sich alles, wenn wir die Ausdehnung betrachten. Nach der Defi- nition der inneren oder zwischen liegenden Elemente, deren Ge- sammtheit die Ausdehnung darstellt, ist die Ausdehnung des Pro- duktes a . b . g gleich dem Flächenraum des Dreiecks, welches a, b, g zu Ecken hat, und die des Produktes a . b . g . d gleich dem Körperraum der Pyramide, welche a, b, g, d zu Ecken hat; und zugleich liegt in dem Satze, dass die Ausdehnung einer reinen Elementargrösse gleich ihrer Ausweichung dividirt durch die zu der Stufenzahl dieser Ausweichung gehörige Gefolgszahl ist, dass das Dreieck die Hälfte des Parallelogramms, und die dreiseitige Pyramide der 6te Theil des Spathes ist, dessen Kanten mit dreien der Pyramide parallel sind. -- Hierdurch ist also der Begriff eines Produktes von mehreren Elementargrössen erster Stufe für den Raum bestimmt; und wir sind dabei nur zu zwei neuen Grössen, nämlich der Liniengrösse und der Plangrösse gelangt. Auch er- hellt, wie das Produkt einer Liniengrösse in einen Punkt (oder eine Elementargrösse erster Stufe) allemal eine Plangrösse, das Produkt zweier Liniengrössen und das eines Punktes in eine Plan- grösse allemal einen Körperraum liefert, dass diese Produkte aber null werden, wenn die Stufenzahlen der Faktoren zusammengenom- men grösser sind, als die des Elementarsystemes, in welchem sie liegen; also z. B. das Produkt zweier Liniengrössen null wird, wenn sie in derselben Ebene liegen. Also auch hierdurch gelangen wir zu keinen andern Grössen, als zu den beiden oben genannten. Hingegen gelangen wir durch die Addition der Liniengrössen zu einer eigenthümlichen Summengrösse, welche besonders für die Statik von entschiedener Wichtigkeit ist. Wir zeigten oben (Ka- pitel III. des ersten Abschnittes), dass die Summe zweier Produkte n-ter Stufe nur dann wieder als ein Produkt n-ter Stufe erscheint, § 115 Produkt von Punkten. Hierbei braucht man nicht hinzuzufügen, dass diese Grösse als anden Raum gebunden zu betrachten ist, weil alle räumlichen Grös- sen an ihn gebunden sind. Das Produkt von mehr als vier Punk- ten wird, da der Raum nur ein Elementarsystem vierter Stufe ist, stets null sein müssen. Sind die zu multiplicirenden Punkte noch mit Gewichten behaftet, so hat man nur das Produkt der einfachen Punkte noch mit dem Produkte der Gewichte zu multipliciren, wo- durch sich nur die Ausweichung ändert. Viel einfacher gestaltet sich alles, wenn wir die Ausdehnung betrachten. Nach der Defi- nition der inneren oder zwischen liegenden Elemente, deren Ge- sammtheit die Ausdehnung darstellt, ist die Ausdehnung des Pro- duktes α . β . γ gleich dem Flächenraum des Dreiecks, welches α, β, γ zu Ecken hat, und die des Produktes α . β . γ . δ gleich dem Körperraum der Pyramide, welche α, β, γ, δ zu Ecken hat; und zugleich liegt in dem Satze, dass die Ausdehnung einer reinen Elementargrösse gleich ihrer Ausweichung dividirt durch die zu der Stufenzahl dieser Ausweichung gehörige Gefolgszahl ist, dass das Dreieck die Hälfte des Parallelogramms, und die dreiseitige Pyramide der 6te Theil des Spathes ist, dessen Kanten mit dreien der Pyramide parallel sind. — Hierdurch ist also der Begriff eines Produktes von mehreren Elementargrössen erster Stufe für den Raum bestimmt; und wir sind dabei nur zu zwei neuen Grössen, nämlich der Liniengrösse und der Plangrösse gelangt. Auch er- hellt, wie das Produkt einer Liniengrösse in einen Punkt (oder eine Elementargrösse erster Stufe) allemal eine Plangrösse, das Produkt zweier Liniengrössen und das eines Punktes in eine Plan- grösse allemal einen Körperraum liefert, dass diese Produkte aber null werden, wenn die Stufenzahlen der Faktoren zusammengenom- men grösser sind, als die des Elementarsystemes, in welchem sie liegen; also z. B. das Produkt zweier Liniengrössen null wird, wenn sie in derselben Ebene liegen. Also auch hierdurch gelangen wir zu keinen andern Grössen, als zu den beiden oben genannten. Hingegen gelangen wir durch die Addition der Liniengrössen zu einer eigenthümlichen Summengrösse, welche besonders für die Statik von entschiedener Wichtigkeit ist. 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§ 115 Produkt von Punkten.
Hierbei braucht man nicht hinzuzufügen, dass diese Grösse als an
den Raum gebunden zu betrachten ist, weil alle räumlichen Grös-
sen an ihn gebunden sind. Das Produkt von mehr als vier Punk-
ten wird, da der Raum nur ein Elementarsystem vierter Stufe ist,
stets null sein müssen. Sind die zu multiplicirenden Punkte noch
mit Gewichten behaftet, so hat man nur das Produkt der einfachen
Punkte noch mit dem Produkte der Gewichte zu multipliciren, wo-
durch sich nur die Ausweichung ändert. Viel einfacher gestaltet
sich alles, wenn wir die Ausdehnung betrachten. Nach der Defi-
nition der inneren oder zwischen liegenden Elemente, deren Ge-
sammtheit die Ausdehnung darstellt, ist die Ausdehnung des Pro-
duktes α . β . γ gleich dem Flächenraum des Dreiecks, welches
α, β, γ zu Ecken hat, und die des Produktes α . β . γ . δ gleich dem
Körperraum der Pyramide, welche α, β, γ, δ zu Ecken hat; und
zugleich liegt in dem Satze, dass die Ausdehnung einer reinen
Elementargrösse gleich ihrer Ausweichung dividirt durch die zu
der Stufenzahl dieser Ausweichung gehörige Gefolgszahl ist, dass
das Dreieck die Hälfte des Parallelogramms, und die dreiseitige
Pyramide der 6te Theil des Spathes ist, dessen Kanten mit dreien
der Pyramide parallel sind. — Hierdurch ist also der Begriff eines
Produktes von mehreren Elementargrössen erster Stufe für den
Raum bestimmt; und wir sind dabei nur zu zwei neuen Grössen,
nämlich der Liniengrösse und der Plangrösse gelangt. Auch er-
hellt, wie das Produkt einer Liniengrösse in einen Punkt (oder
eine Elementargrösse erster Stufe) allemal eine Plangrösse, das
Produkt zweier Liniengrössen und das eines Punktes in eine Plan-
grösse allemal einen Körperraum liefert, dass diese Produkte aber
null werden, wenn die Stufenzahlen der Faktoren zusammengenom-
men grösser sind, als die des Elementarsystemes, in welchem sie
liegen; also z. B. das Produkt zweier Liniengrössen null wird, wenn
sie in derselben Ebene liegen. Also auch hierdurch gelangen wir
zu keinen andern Grössen, als zu den beiden oben genannten.
Hingegen gelangen wir durch die Addition der Liniengrössen zu
einer eigenthümlichen Summengrösse, welche besonders für die
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pitel III. des ersten Abschnittes), dass die Summe zweier Produkte
n-ter Stufe nur dann wieder als ein Produkt n-ter Stufe erscheint,
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| Zitationshilfe: | Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 165. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/201>, abgerufen am 20.05.2024. |
