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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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Multiplikation der Elementargrössen. § 116
wenn jene beiden Produkte demselben Systeme (n+1)ter Stufe
angehören, hingegen eine formelle Summe, die wir Summengrösse
nannten, liefert, wenn sie nur durch ein noch höheres System um-
fasst werden konnten. Der letztere Fall kann für den Raum, wel-
cher als Elementarsystem vierter Stufe erscheint, nur eintreten,
wenn Elementargrössen zweiter Stufe, d. h. Liniengrössen addirt
werden sollen, und diese nicht in Einer Ebene liegen. Die nähere
Erörterung dieses Falles behalte ich der Anwendung auf die Statik
vor, in welcher diese Summengrösse eine selbstständige Bedeutung
gewinnt.

§ 116. Unter den zahlreichen Anwendungen, welche die Me-
thode unserer Analyse auf die Geometrie verstattet, hebe ich hier
nur diejenigen hervor, welche mir am geeignetsten erscheinen, um
das Wesen jener Methode in ein helleres Licht zu setzen. Um die
Beziehung zu der sonst üblichen Koordinatenbestimmung hervor-
treten zu lassen, will ich zuerst den Begriff der Richtsysteme auf
die Auffassung des Raumes als eines Elementarsystemes übertra-
gen. Wir hatten im fünften Kapitel des ersten Abschnittes den
Begriff eines Richtsystemes für Ausdehnungsgrössen aufgestellt, und
demnächst für Elementargrössen festgesetzt, dass alle Definitionen,
welche wir für Ausdehnungsgrössen aufgestellt hatten, auch auf
jene übertragen werden sollen. Während dort als Grundmasse
Ausdehnungsgrössen erster Stufe auftraten, so werden hier Ele-
mentargrössen erster Stufe als Grundmasse auftreten, und dadurch
ist dann die Bedeutung aller dort in § 87 und 88 aufgestellten Be-
griffe auch für Elementargrössen bestimmt, namentlich sind die
Definitionen von Richtmassen, Richtgebieten, Richtstücken, Zeigern
hier genau dieselben wie dort; nur die Richtgebiete erster Stufe,
welche wir dort Richtaxen nannten, werden wir hier Richtelemente
nennen müssen. Dabei will ich dann nur noch bemerken, dass, da
auch die Strecken als Elementargrössen erster Stufe aufgefasst
werden können, unter den Grundmassen beliebig viele als Strecken
auftreten können, und nur wenn alle Grundmasse Strecken wer-
den, erhalten wir das Richtsystem für Ausdehnungsgrössen. Das-
jenige Richtsystem, was diesem am nächsten steht, und dennoch
zur Darstellung und Bestimmung der Elementargrössen hinreicht,
ist dasjenige, in welchem Ein Grundmass ein Element ist, alle

Multiplikation der Elementargrössen. § 116
wenn jene beiden Produkte demselben Systeme (n+1)ter Stufe
angehören, hingegen eine formelle Summe, die wir Summengrösse
nannten, liefert, wenn sie nur durch ein noch höheres System um-
fasst werden konnten. Der letztere Fall kann für den Raum, wel-
cher als Elementarsystem vierter Stufe erscheint, nur eintreten,
wenn Elementargrössen zweiter Stufe, d. h. Liniengrössen addirt
werden sollen, und diese nicht in Einer Ebene liegen. Die nähere
Erörterung dieses Falles behalte ich der Anwendung auf die Statik
vor, in welcher diese Summengrösse eine selbstständige Bedeutung
gewinnt.

§ 116. Unter den zahlreichen Anwendungen, welche die Me-
thode unserer Analyse auf die Geometrie verstattet, hebe ich hier
nur diejenigen hervor, welche mir am geeignetsten erscheinen, um
das Wesen jener Methode in ein helleres Licht zu setzen. Um die
Beziehung zu der sonst üblichen Koordinatenbestimmung hervor-
treten zu lassen, will ich zuerst den Begriff der Richtsysteme auf
die Auffassung des Raumes als eines Elementarsystemes übertra-
gen. Wir hatten im fünften Kapitel des ersten Abschnittes den
Begriff eines Richtsystemes für Ausdehnungsgrössen aufgestellt, und
demnächst für Elementargrössen festgesetzt, dass alle Definitionen,
welche wir für Ausdehnungsgrössen aufgestellt hatten, auch auf
jene übertragen werden sollen. Während dort als Grundmasse
Ausdehnungsgrössen erster Stufe auftraten, so werden hier Ele-
mentargrössen erster Stufe als Grundmasse auftreten, und dadurch
ist dann die Bedeutung aller dort in § 87 und 88 aufgestellten Be-
griffe auch für Elementargrössen bestimmt, namentlich sind die
Definitionen von Richtmassen, Richtgebieten, Richtstücken, Zeigern
hier genau dieselben wie dort; nur die Richtgebiete erster Stufe,
welche wir dort Richtaxen nannten, werden wir hier Richtelemente
nennen müssen. Dabei will ich dann nur noch bemerken, dass, da
auch die Strecken als Elementargrössen erster Stufe aufgefasst
werden können, unter den Grundmassen beliebig viele als Strecken
auftreten können, und nur wenn alle Grundmasse Strecken wer-
den, erhalten wir das Richtsystem für Ausdehnungsgrössen. Das-
jenige Richtsystem, was diesem am nächsten steht, und dennoch
zur Darstellung und Bestimmung der Elementargrössen hinreicht,
ist dasjenige, in welchem Ein Grundmass ein Element ist, alle

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[166/0202] Multiplikation der Elementargrössen. § 116 wenn jene beiden Produkte demselben Systeme (n+1)ter Stufe angehören, hingegen eine formelle Summe, die wir Summengrösse nannten, liefert, wenn sie nur durch ein noch höheres System um- fasst werden konnten. Der letztere Fall kann für den Raum, wel- cher als Elementarsystem vierter Stufe erscheint, nur eintreten, wenn Elementargrössen zweiter Stufe, d. h. Liniengrössen addirt werden sollen, und diese nicht in Einer Ebene liegen. Die nähere Erörterung dieses Falles behalte ich der Anwendung auf die Statik vor, in welcher diese Summengrösse eine selbstständige Bedeutung gewinnt. § 116. Unter den zahlreichen Anwendungen, welche die Me- thode unserer Analyse auf die Geometrie verstattet, hebe ich hier nur diejenigen hervor, welche mir am geeignetsten erscheinen, um das Wesen jener Methode in ein helleres Licht zu setzen. Um die Beziehung zu der sonst üblichen Koordinatenbestimmung hervor- treten zu lassen, will ich zuerst den Begriff der Richtsysteme auf die Auffassung des Raumes als eines Elementarsystemes übertra- gen. Wir hatten im fünften Kapitel des ersten Abschnittes den Begriff eines Richtsystemes für Ausdehnungsgrössen aufgestellt, und demnächst für Elementargrössen festgesetzt, dass alle Definitionen, welche wir für Ausdehnungsgrössen aufgestellt hatten, auch auf jene übertragen werden sollen. Während dort als Grundmasse Ausdehnungsgrössen erster Stufe auftraten, so werden hier Ele- mentargrössen erster Stufe als Grundmasse auftreten, und dadurch ist dann die Bedeutung aller dort in § 87 und 88 aufgestellten Be- griffe auch für Elementargrössen bestimmt, namentlich sind die Definitionen von Richtmassen, Richtgebieten, Richtstücken, Zeigern hier genau dieselben wie dort; nur die Richtgebiete erster Stufe, welche wir dort Richtaxen nannten, werden wir hier Richtelemente nennen müssen. Dabei will ich dann nur noch bemerken, dass, da auch die Strecken als Elementargrössen erster Stufe aufgefasst werden können, unter den Grundmassen beliebig viele als Strecken auftreten können, und nur wenn alle Grundmasse Strecken wer- den, erhalten wir das Richtsystem für Ausdehnungsgrössen. Das- jenige Richtsystem, was diesem am nächsten steht, und dennoch zur Darstellung und Bestimmung der Elementargrössen hinreicht, ist dasjenige, in welchem Ein Grundmass ein Element ist, alle

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 166. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/202>, abgerufen am 19.05.2024.