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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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§ 117 Richtsysteme für Elementargrössen im Raume.
übrigen aber Strecken darstellen, ein Richtsystem, was seiner Ein-
fachheit wegen besondere Auszeichnung verdient.

§ 117. Wenden wir dies nun auf die Geometrie an, so er-
scheinen für den Raum als ein Elementarsystem vierter Stufe vier
von einander unabhängige Elementargrössen erster Stufe als Grund-
masse, welche zur Bestimmung hinreichen. Die Bedingung, dass
sie von einander unabhängig sein sollen, sagt nur aus, dass sie
nicht in Einer Ebene liegen dürfen, und wenigstens eins von ihnen
eine starre Elementargrösse sein muss (während von den übrigen
beliebige auch Strecken sein dürfen). Nehmen wir vier starre
Elementargrössen (d. h. vielfache Elemente) als Grundmasse an,
so haben wir die von Möbius in seinem barycentrischen Kalkül zu
Grunde gelegte Art der Koordinatenbestimmung, welche mit der
von Plücker in seinem System der analytischen Geometrie darge-
stellten ihrem Wesen nach zusammenfällt. Als Richtgebiete zwei-
ter Stufe erscheinen hier 6 gerade Linien, welche je zwei der
Richtelemente verbinden, und als Kanten einer Pyramide erschei-
nen, welche jene Richtelemente zu Ecken hat, als Richtgebiete drit-
ter Stufe vier Ebenen, welche durch je 3 der Richtelemente gelegt
sind und als Seitenflächen jener Pyramide erscheinen; und die
Richtmasse zweiter und dritter Stufe stellen Theile jener Linien
und Ebenen dar; das Richtmass vierter Stufe, welches hier das
Hauptmass ist, stellt einen Körperraum dar. Jede Elementargrösse
erster Stufe, mag sie nun eine starre Elementargrösse oder eine
Strecke sein, kann im Raume als Vielfachensumme der vier Grund-
masse dargestellt werden, jede Elementargrösse zweiter Stufe, mag
sie nun eine Liniengrösse oder ein Flächenraum von konstanter
Richtung, oder eine Summengrösse sein, kann als Summe von 6
Liniengrössen dargestellt werden, welche den oben erwähnten 6
Linien angehören, kurz jede Grösse kann als Vielfachensumme der
Richtmasse gleicher Stufe, oder als Summe von Stücken, welche
den Richtgebieten gleicher Stufe angehören, dargestellt werden.
Diese Richtsysteme, deren Grundmasse starre Elementargrössen,
d. h. vielfache Punkte sind, nennen wir mit Möbius barycentrische.
Die einfachste Art der barycentrischen Richtsysteme ist die, bei
welcher die Grundmasse blosse Punkte darstellen. Aber die bary-
centrischen Richtsysteme selbst erscheinen nur als eine besondere

§ 117 Richtsysteme für Elementargrössen im Raume.
übrigen aber Strecken darstellen, ein Richtsystem, was seiner Ein-
fachheit wegen besondere Auszeichnung verdient.

§ 117. Wenden wir dies nun auf die Geometrie an, so er-
scheinen für den Raum als ein Elementarsystem vierter Stufe vier
von einander unabhängige Elementargrössen erster Stufe als Grund-
masse, welche zur Bestimmung hinreichen. Die Bedingung, dass
sie von einander unabhängig sein sollen, sagt nur aus, dass sie
nicht in Einer Ebene liegen dürfen, und wenigstens eins von ihnen
eine starre Elementargrösse sein muss (während von den übrigen
beliebige auch Strecken sein dürfen). Nehmen wir vier starre
Elementargrössen (d. h. vielfache Elemente) als Grundmasse an,
so haben wir die von Möbius in seinem barycentrischen Kalkül zu
Grunde gelegte Art der Koordinatenbestimmung, welche mit der
von Plücker in seinem System der analytischen Geometrie darge-
stellten ihrem Wesen nach zusammenfällt. Als Richtgebiete zwei-
ter Stufe erscheinen hier 6 gerade Linien, welche je zwei der
Richtelemente verbinden, und als Kanten einer Pyramide erschei-
nen, welche jene Richtelemente zu Ecken hat, als Richtgebiete drit-
ter Stufe vier Ebenen, welche durch je 3 der Richtelemente gelegt
sind und als Seitenflächen jener Pyramide erscheinen; und die
Richtmasse zweiter und dritter Stufe stellen Theile jener Linien
und Ebenen dar; das Richtmass vierter Stufe, welches hier das
Hauptmass ist, stellt einen Körperraum dar. Jede Elementargrösse
erster Stufe, mag sie nun eine starre Elementargrösse oder eine
Strecke sein, kann im Raume als Vielfachensumme der vier Grund-
masse dargestellt werden, jede Elementargrösse zweiter Stufe, mag
sie nun eine Liniengrösse oder ein Flächenraum von konstanter
Richtung, oder eine Summengrösse sein, kann als Summe von 6
Liniengrössen dargestellt werden, welche den oben erwähnten 6
Linien angehören, kurz jede Grösse kann als Vielfachensumme der
Richtmasse gleicher Stufe, oder als Summe von Stücken, welche
den Richtgebieten gleicher Stufe angehören, dargestellt werden.
Diese Richtsysteme, deren Grundmasse starre Elementargrössen,
d. h. vielfache Punkte sind, nennen wir mit Möbius barycentrische.
Die einfachste Art der barycentrischen Richtsysteme ist die, bei
welcher die Grundmasse blosse Punkte darstellen. Aber die bary-
centrischen Richtsysteme selbst erscheinen nur als eine besondere

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[167/0203] § 117 Richtsysteme für Elementargrössen im Raume. übrigen aber Strecken darstellen, ein Richtsystem, was seiner Ein- fachheit wegen besondere Auszeichnung verdient. § 117. Wenden wir dies nun auf die Geometrie an, so er- scheinen für den Raum als ein Elementarsystem vierter Stufe vier von einander unabhängige Elementargrössen erster Stufe als Grund- masse, welche zur Bestimmung hinreichen. Die Bedingung, dass sie von einander unabhängig sein sollen, sagt nur aus, dass sie nicht in Einer Ebene liegen dürfen, und wenigstens eins von ihnen eine starre Elementargrösse sein muss (während von den übrigen beliebige auch Strecken sein dürfen). Nehmen wir vier starre Elementargrössen (d. h. vielfache Elemente) als Grundmasse an, so haben wir die von Möbius in seinem barycentrischen Kalkül zu Grunde gelegte Art der Koordinatenbestimmung, welche mit der von Plücker in seinem System der analytischen Geometrie darge- stellten ihrem Wesen nach zusammenfällt. Als Richtgebiete zwei- ter Stufe erscheinen hier 6 gerade Linien, welche je zwei der Richtelemente verbinden, und als Kanten einer Pyramide erschei- nen, welche jene Richtelemente zu Ecken hat, als Richtgebiete drit- ter Stufe vier Ebenen, welche durch je 3 der Richtelemente gelegt sind und als Seitenflächen jener Pyramide erscheinen; und die Richtmasse zweiter und dritter Stufe stellen Theile jener Linien und Ebenen dar; das Richtmass vierter Stufe, welches hier das Hauptmass ist, stellt einen Körperraum dar. Jede Elementargrösse erster Stufe, mag sie nun eine starre Elementargrösse oder eine Strecke sein, kann im Raume als Vielfachensumme der vier Grund- masse dargestellt werden, jede Elementargrösse zweiter Stufe, mag sie nun eine Liniengrösse oder ein Flächenraum von konstanter Richtung, oder eine Summengrösse sein, kann als Summe von 6 Liniengrössen dargestellt werden, welche den oben erwähnten 6 Linien angehören, kurz jede Grösse kann als Vielfachensumme der Richtmasse gleicher Stufe, oder als Summe von Stücken, welche den Richtgebieten gleicher Stufe angehören, dargestellt werden. Diese Richtsysteme, deren Grundmasse starre Elementargrössen, d. h. vielfache Punkte sind, nennen wir mit Möbius barycentrische. Die einfachste Art der barycentrischen Richtsysteme ist die, bei welcher die Grundmasse blosse Punkte darstellen. Aber die bary- centrischen Richtsysteme selbst erscheinen nur als eine besondere

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 167. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/203>, abgerufen am 20.05.2024.