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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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Multiplikation der Elementargrössen. § 118
obwohl am weitesten reichende Art der allgemeinen Richtsysteme,
welche aus vier beliebigen Elementargrössen erster Stufe bestehen.
Denn wir zeigten, dass sich beliebig viele derselben bis auf eine in
Strecken verwandeln können, und erhalten so ausser dem genann-
ten noch solche Richtsysteme, in welchen die Richtgebiete erster
Stufe, theils Richtelemente, theils Richtaxen (konstante Richtungen)
sind.

Unter diesen heben wir besonders diejenige Art der Richt-
systeme hervor, welche ein Element und drei Strecken zu Grund-
massen haben. Als Richtmasse zweiter Stufe treten hier auf eines-
theils drei Liniengrössen, deren Linien durch das Richtelement ge-
hen, und deren Ausweichungen die 3 andern Grundmasse sind;
anderntheils drei Flächenräume von konstanter Richtung, welche
durch die drei zwischen jenen 3 Strecken möglichen Spathecke
(Parallelogramme) dargestellt werden; als Richtmasse dritter Stufe
erscheinen einestheils drei Plangrössen, deren Ebenen durch das
Richtelement gehen und deren Ausweichungen die Flächenräume
jener 3 Spathecke sind, anderntheils ein als Ausdehnungsgrösse
aufgefasster Körperaum, welcher durch das aus jenen 3 Strecken
konstruirbare Spath dargestellt ist. Als Hauptmass endlich er-
scheint derselbe Körperraum aufgefasst als Elementargrösse vierter
Stufe. Die Systeme, welchen diese Richtmasse angehören, bilden
dann die zugehörigen Richtgebiete.

Die Richtstücke eines Punktes in Bezug auf ein solches Richt-
system sind nun einestheils das Richtelement, anderntheils drei
Strecken, welche den 3 Richtaxen parallel sind, und als Summe
von solchen vier Richtstücken wird jeder Punkt im Raume darge-
stellt werden können; die Abweichung eines Punktes im Raume
vom Richtelemente wird daher nach diesem Richtsysteme durch
Richtstücke von konstanter Richtung (durch Parallelkoordinaten)
bestimmt, also ganz auf dieselbe Weise wie eine Ausdehnung über-
haupt durch Richtsysteme, welche zur Bestimmung von Ausdehnun-
gen dienen, bestimmt wird.

§ 118. Indem wir nun alle diese Richtsysteme als besondere
Arten eines allgemeinen Richtsystems, dessen vier Grundmasse Ele-
mentargrössen sind, darstellen: so haben wir damit einestheils die
allgemeinste Koordinatenbestimmung gefunden, bei welcher die Ebene

Multiplikation der Elementargrössen. § 118
obwohl am weitesten reichende Art der allgemeinen Richtsysteme,
welche aus vier beliebigen Elementargrössen erster Stufe bestehen.
Denn wir zeigten, dass sich beliebig viele derselben bis auf eine in
Strecken verwandeln können, und erhalten so ausser dem genann-
ten noch solche Richtsysteme, in welchen die Richtgebiete erster
Stufe, theils Richtelemente, theils Richtaxen (konstante Richtungen)
sind.

Unter diesen heben wir besonders diejenige Art der Richt-
systeme hervor, welche ein Element und drei Strecken zu Grund-
massen haben. Als Richtmasse zweiter Stufe treten hier auf eines-
theils drei Liniengrössen, deren Linien durch das Richtelement ge-
hen, und deren Ausweichungen die 3 andern Grundmasse sind;
anderntheils drei Flächenräume von konstanter Richtung, welche
durch die drei zwischen jenen 3 Strecken möglichen Spathecke
(Parallelogramme) dargestellt werden; als Richtmasse dritter Stufe
erscheinen einestheils drei Plangrössen, deren Ebenen durch das
Richtelement gehen und deren Ausweichungen die Flächenräume
jener 3 Spathecke sind, anderntheils ein als Ausdehnungsgrösse
aufgefasster Körperaum, welcher durch das aus jenen 3 Strecken
konstruirbare Spath dargestellt ist. Als Hauptmass endlich er-
scheint derselbe Körperraum aufgefasst als Elementargrösse vierter
Stufe. Die Systeme, welchen diese Richtmasse angehören, bilden
dann die zugehörigen Richtgebiete.

Die Richtstücke eines Punktes in Bezug auf ein solches Richt-
system sind nun einestheils das Richtelement, anderntheils drei
Strecken, welche den 3 Richtaxen parallel sind, und als Summe
von solchen vier Richtstücken wird jeder Punkt im Raume darge-
stellt werden können; die Abweichung eines Punktes im Raume
vom Richtelemente wird daher nach diesem Richtsysteme durch
Richtstücke von konstanter Richtung (durch Parallelkoordinaten)
bestimmt, also ganz auf dieselbe Weise wie eine Ausdehnung über-
haupt durch Richtsysteme, welche zur Bestimmung von Ausdehnun-
gen dienen, bestimmt wird.

§ 118. Indem wir nun alle diese Richtsysteme als besondere
Arten eines allgemeinen Richtsystems, dessen vier Grundmasse Ele-
mentargrössen sind, darstellen: so haben wir damit einestheils die
allgemeinste Koordinatenbestimmung gefunden, bei welcher die Ebene

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[168/0204] Multiplikation der Elementargrössen. § 118 obwohl am weitesten reichende Art der allgemeinen Richtsysteme, welche aus vier beliebigen Elementargrössen erster Stufe bestehen. Denn wir zeigten, dass sich beliebig viele derselben bis auf eine in Strecken verwandeln können, und erhalten so ausser dem genann- ten noch solche Richtsysteme, in welchen die Richtgebiete erster Stufe, theils Richtelemente, theils Richtaxen (konstante Richtungen) sind. Unter diesen heben wir besonders diejenige Art der Richt- systeme hervor, welche ein Element und drei Strecken zu Grund- massen haben. Als Richtmasse zweiter Stufe treten hier auf eines- theils drei Liniengrössen, deren Linien durch das Richtelement ge- hen, und deren Ausweichungen die 3 andern Grundmasse sind; anderntheils drei Flächenräume von konstanter Richtung, welche durch die drei zwischen jenen 3 Strecken möglichen Spathecke (Parallelogramme) dargestellt werden; als Richtmasse dritter Stufe erscheinen einestheils drei Plangrössen, deren Ebenen durch das Richtelement gehen und deren Ausweichungen die Flächenräume jener 3 Spathecke sind, anderntheils ein als Ausdehnungsgrösse aufgefasster Körperaum, welcher durch das aus jenen 3 Strecken konstruirbare Spath dargestellt ist. Als Hauptmass endlich er- scheint derselbe Körperraum aufgefasst als Elementargrösse vierter Stufe. Die Systeme, welchen diese Richtmasse angehören, bilden dann die zugehörigen Richtgebiete. Die Richtstücke eines Punktes in Bezug auf ein solches Richt- system sind nun einestheils das Richtelement, anderntheils drei Strecken, welche den 3 Richtaxen parallel sind, und als Summe von solchen vier Richtstücken wird jeder Punkt im Raume darge- stellt werden können; die Abweichung eines Punktes im Raume vom Richtelemente wird daher nach diesem Richtsysteme durch Richtstücke von konstanter Richtung (durch Parallelkoordinaten) bestimmt, also ganz auf dieselbe Weise wie eine Ausdehnung über- haupt durch Richtsysteme, welche zur Bestimmung von Ausdehnun- gen dienen, bestimmt wird. § 118. Indem wir nun alle diese Richtsysteme als besondere Arten eines allgemeinen Richtsystems, dessen vier Grundmasse Ele- mentargrössen sind, darstellen: so haben wir damit einestheils die allgemeinste Koordinatenbestimmung gefunden, bei welcher die Ebene

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 168. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/204>, abgerufen am 20.05.2024.