Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.
§ 118 Richtsysteme für Elementargrössen im Raume. noch als Punktgebilde erster Ordnung erscheint, andererseits sindwir dadurch in den Stand gesetzt, das Verfahren, durch welches wir von einer Koordinatenbestimmung zu einer andern derselben Art übergehen konnten, und welches wir in § 92 für Parallelkoordina- ten darstellten, nicht nur auf jede Art der Richtsysteme anzuwen- den, sondern auch es da eintreten zu lassen, wo aus einer Art der Koordinatenbestimmung zur andern übergegangen werden soll, so- bald beide nur jener von uns dargestellten allgemeineren Gattung angehören. Namentlich können wir danach unmittelbar die bary- centrischen Gleichungen in Gleichungen zwischen Parallelkoordina- ten umwandeln und umgekehrt, ohne dass wir noch irgend einer besonderen Vorschrift bedürften. -- Indem wir nun ferner den Be- griff der Richtstücke (Koordinaten) in einem allgemeineren Sinne auffassten, sofern wir auch Richtstücke höherer Ordnung annahmen, so reicht dieselbe allgemeine Art der Richtsysteme auch aus, um Elementargrössen höherer Stufen, namentlich um Liniengrössen und Ebenengrössen zu bestimmen. Ehe wir die Bedeutung dieser Bestimmungen durchgehen, haben wir auf einen Unterschied zwi- schen der von uns angegebenen Bestimmungsweise und der sonst üblichen aufmerksam zu machen und zu zeigen, wie dieser Unter- schied ausgeglichen werden könne. Nämlich wir sind überall zu der Bestimmung von Elementargrössen, d. h. von Punkten mit zu- gehörigen Gewichten, von Liniengrössen und Ebenengrössen ge- langt. Bei der Bestimmung durch Koordinaten kommt es aber nur auf die Bestimmung der Punkte, Linien und Ebenen ihrer Lage nach an, und dadurch erhalten wir bei unserer Betrachtungsweise stets ein Richtstück oder einen Zeiger mehr, als es bei jener Be- stimmung der Lage erforderlich ist. Dieser Unterschied lässt sich auf der Stelle ausgleichen, indem man bedenkt, dass wenn alle Richtstücke oder Zeiger einer Grösse mit derselben Zahlengrösse multiplicirt oder dividirt werden, dadurch die Lage (das Elementar- system) derselben nicht geändert wird. Man erhält also sogleich die Anzahl der Zeiger um eins vermindert, wenn man die Richt- stücke (oder die Zeiger) mit einem der Zeiger jedesmal dividirt, und dadurch einen der Zeiger jedesmal auf eins bringt. Die so ge- wonnenen Zeiger genügen dann jedesmal zur Bestimmung der Lage. Indem wir nun auf solche Weise z. B. die Lage einer Ebene durch § 118 Richtsysteme für Elementargrössen im Raume. noch als Punktgebilde erster Ordnung erscheint, andererseits sindwir dadurch in den Stand gesetzt, das Verfahren, durch welches wir von einer Koordinatenbestimmung zu einer andern derselben Art übergehen konnten, und welches wir in § 92 für Parallelkoordina- ten darstellten, nicht nur auf jede Art der Richtsysteme anzuwen- den, sondern auch es da eintreten zu lassen, wo aus einer Art der Koordinatenbestimmung zur andern übergegangen werden soll, so- bald beide nur jener von uns dargestellten allgemeineren Gattung angehören. Namentlich können wir danach unmittelbar die bary- centrischen Gleichungen in Gleichungen zwischen Parallelkoordina- ten umwandeln und umgekehrt, ohne dass wir noch irgend einer besonderen Vorschrift bedürften. — Indem wir nun ferner den Be- griff der Richtstücke (Koordinaten) in einem allgemeineren Sinne auffassten, sofern wir auch Richtstücke höherer Ordnung annahmen, so reicht dieselbe allgemeine Art der Richtsysteme auch aus, um Elementargrössen höherer Stufen, namentlich um Liniengrössen und Ebenengrössen zu bestimmen. Ehe wir die Bedeutung dieser Bestimmungen durchgehen, haben wir auf einen Unterschied zwi- schen der von uns angegebenen Bestimmungsweise und der sonst üblichen aufmerksam zu machen und zu zeigen, wie dieser Unter- schied ausgeglichen werden könne. Nämlich wir sind überall zu der Bestimmung von Elementargrössen, d. h. von Punkten mit zu- gehörigen Gewichten, von Liniengrössen und Ebenengrössen ge- langt. Bei der Bestimmung durch Koordinaten kommt es aber nur auf die Bestimmung der Punkte, Linien und Ebenen ihrer Lage nach an, und dadurch erhalten wir bei unserer Betrachtungsweise stets ein Richtstück oder einen Zeiger mehr, als es bei jener Be- stimmung der Lage erforderlich ist. Dieser Unterschied lässt sich auf der Stelle ausgleichen, indem man bedenkt, dass wenn alle Richtstücke oder Zeiger einer Grösse mit derselben Zahlengrösse multiplicirt oder dividirt werden, dadurch die Lage (das Elementar- system) derselben nicht geändert wird. Man erhält also sogleich die Anzahl der Zeiger um eins vermindert, wenn man die Richt- stücke (oder die Zeiger) mit einem der Zeiger jedesmal dividirt, und dadurch einen der Zeiger jedesmal auf eins bringt. Die so ge- wonnenen Zeiger genügen dann jedesmal zur Bestimmung der Lage. Indem wir nun auf solche Weise z. 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§ 118 Richtsysteme für Elementargrössen im Raume.
noch als Punktgebilde erster Ordnung erscheint, andererseits sind
wir dadurch in den Stand gesetzt, das Verfahren, durch welches wir
von einer Koordinatenbestimmung zu einer andern derselben Art
übergehen konnten, und welches wir in § 92 für Parallelkoordina-
ten darstellten, nicht nur auf jede Art der Richtsysteme anzuwen-
den, sondern auch es da eintreten zu lassen, wo aus einer Art der
Koordinatenbestimmung zur andern übergegangen werden soll, so-
bald beide nur jener von uns dargestellten allgemeineren Gattung
angehören. Namentlich können wir danach unmittelbar die bary-
centrischen Gleichungen in Gleichungen zwischen Parallelkoordina-
ten umwandeln und umgekehrt, ohne dass wir noch irgend einer
besonderen Vorschrift bedürften. — Indem wir nun ferner den Be-
griff der Richtstücke (Koordinaten) in einem allgemeineren Sinne
auffassten, sofern wir auch Richtstücke höherer Ordnung annahmen,
so reicht dieselbe allgemeine Art der Richtsysteme auch aus, um
Elementargrössen höherer Stufen, namentlich um Liniengrössen
und Ebenengrössen zu bestimmen. Ehe wir die Bedeutung dieser
Bestimmungen durchgehen, haben wir auf einen Unterschied zwi-
schen der von uns angegebenen Bestimmungsweise und der sonst
üblichen aufmerksam zu machen und zu zeigen, wie dieser Unter-
schied ausgeglichen werden könne. Nämlich wir sind überall zu
der Bestimmung von Elementargrössen, d. h. von Punkten mit zu-
gehörigen Gewichten, von Liniengrössen und Ebenengrössen ge-
langt. Bei der Bestimmung durch Koordinaten kommt es aber nur
auf die Bestimmung der Punkte, Linien und Ebenen ihrer Lage
nach an, und dadurch erhalten wir bei unserer Betrachtungsweise
stets ein Richtstück oder einen Zeiger mehr, als es bei jener Be-
stimmung der Lage erforderlich ist. Dieser Unterschied lässt sich
auf der Stelle ausgleichen, indem man bedenkt, dass wenn alle
Richtstücke oder Zeiger einer Grösse mit derselben Zahlengrösse
multiplicirt oder dividirt werden, dadurch die Lage (das Elementar-
system) derselben nicht geändert wird. Man erhält also sogleich
die Anzahl der Zeiger um eins vermindert, wenn man die Richt-
stücke (oder die Zeiger) mit einem der Zeiger jedesmal dividirt,
und dadurch einen der Zeiger jedesmal auf eins bringt. Die so ge-
wonnenen Zeiger genügen dann jedesmal zur Bestimmung der Lage.
Indem wir nun auf solche Weise z. B. die Lage einer Ebene durch
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| Zitationshilfe: | Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 169. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/205>, abgerufen am 19.05.2024. |
