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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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Multiplikation der Elementargrössen. § 119
ihre Zeiger bestimmen, und zwischen den als veränderlich genom-
menen Zeigern eine Gleichung m-ten Grades aufstellen; so wird
dadurch eine unendliche Menge von Ebenen bedingt, deren Zeiger
jener Gleichung genügen; und von allen diesen Ebenen wird eine
Oberfläche umhüllt werden, von welcher ich späterhin zeigen werde,
dass sie dieselbe sei, welche man als Oberfläche m-ter Klasse be-
zeichnet hat. Eben so führt die Bestimmung der geraden Linie
durch ihre Zeiger zu eigenthümlichen bisher nicht beachteten Ge-
bilden, welche ich zuerst gelegentlich in einer Abhandlung im
Crelleschen Journal der Betrachtung unterworfen habe.*) Da die
weitere Erörterung dieses Gegenstandes die Schranken dieses Wer-
kes überschreiten würde, so will ich mich damit begnügen, hier
noch die Gleichung für die gerade Linie und die Ebene, wie sie
sich durch unsere Wissenschaft ergiebt, aufzustellen, und mit den
sonst bekannten Gleichungen für dieselben in Beziehung zu setzen.

§ 119. Die allgemeinste Aufgabe, die man sich hier stellen
kann, ist die, die Gleichung einer Ebene, welche durch drei be-
liebige gegebene Punkte geht, oder die Gleichung einer Linie, wel-
che durch zwei beliebige gegebene Punkte geht, aufzustellen. Es
seien die gegebenen Punkte im ersten Falle a, b, g, im zweiten
Falle a, b, der veränderliche Punkt, welcher als Punkt jener Ebene
oder dieser Linie durch eine Gleichung zwischen ihm und den ge-
gebenen Punkten bestimmt werden soll, sei s, so hat man sogleich
aus dem Begriffe eines Elementarsystems zweiter und dritter Stufe
für den ersten Fall die Gleichung
a . b . g . s = 0,
für den zweiten
a . b . s = 0,
und durch diese Formeln, welche den grössten Grad der Einfach-
heit besitzen, ist die Aufgabe im allgemeinsten Sinne gelöst. Will
man dann aus Vorliebe für die gewöhnliche Koordinatenbehandlung
oder aus einem andern Grunde die entsprechenden Koordinaten-
gleichungen aufstellen, so kann man, wenn man nur die Mühe
des Niederschreibens dieser langgestreckten Formeln nicht scheut,
dieselben unmittelbar aus jener einfachen Gleichung ableiten.

*) Crelle, Journal für die reine und angewandte Mathematik B. XXIV.

Multiplikation der Elementargrössen. § 119
ihre Zeiger bestimmen, und zwischen den als veränderlich genom-
menen Zeigern eine Gleichung m-ten Grades aufstellen; so wird
dadurch eine unendliche Menge von Ebenen bedingt, deren Zeiger
jener Gleichung genügen; und von allen diesen Ebenen wird eine
Oberfläche umhüllt werden, von welcher ich späterhin zeigen werde,
dass sie dieselbe sei, welche man als Oberfläche m-ter Klasse be-
zeichnet hat. Eben so führt die Bestimmung der geraden Linie
durch ihre Zeiger zu eigenthümlichen bisher nicht beachteten Ge-
bilden, welche ich zuerst gelegentlich in einer Abhandlung im
Crelleschen Journal der Betrachtung unterworfen habe.*) Da die
weitere Erörterung dieses Gegenstandes die Schranken dieses Wer-
kes überschreiten würde, so will ich mich damit begnügen, hier
noch die Gleichung für die gerade Linie und die Ebene, wie sie
sich durch unsere Wissenschaft ergiebt, aufzustellen, und mit den
sonst bekannten Gleichungen für dieselben in Beziehung zu setzen.

§ 119. Die allgemeinste Aufgabe, die man sich hier stellen
kann, ist die, die Gleichung einer Ebene, welche durch drei be-
liebige gegebene Punkte geht, oder die Gleichung einer Linie, wel-
che durch zwei beliebige gegebene Punkte geht, aufzustellen. Es
seien die gegebenen Punkte im ersten Falle α, β, γ, im zweiten
Falle α, β, der veränderliche Punkt, welcher als Punkt jener Ebene
oder dieser Linie durch eine Gleichung zwischen ihm und den ge-
gebenen Punkten bestimmt werden soll, sei σ, so hat man sogleich
aus dem Begriffe eines Elementarsystems zweiter und dritter Stufe
für den ersten Fall die Gleichung
α . β . γ . σ = 0,
für den zweiten
α . β . σ = 0,
und durch diese Formeln, welche den grössten Grad der Einfach-
heit besitzen, ist die Aufgabe im allgemeinsten Sinne gelöst. Will
man dann aus Vorliebe für die gewöhnliche Koordinatenbehandlung
oder aus einem andern Grunde die entsprechenden Koordinaten-
gleichungen aufstellen, so kann man, wenn man nur die Mühe
des Niederschreibens dieser langgestreckten Formeln nicht scheut,
dieselben unmittelbar aus jener einfachen Gleichung ableiten.

*) Crelle, Journal für die reine und angewandte Mathematik B. XXIV.
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[170/0206] Multiplikation der Elementargrössen. § 119 ihre Zeiger bestimmen, und zwischen den als veränderlich genom- menen Zeigern eine Gleichung m-ten Grades aufstellen; so wird dadurch eine unendliche Menge von Ebenen bedingt, deren Zeiger jener Gleichung genügen; und von allen diesen Ebenen wird eine Oberfläche umhüllt werden, von welcher ich späterhin zeigen werde, dass sie dieselbe sei, welche man als Oberfläche m-ter Klasse be- zeichnet hat. Eben so führt die Bestimmung der geraden Linie durch ihre Zeiger zu eigenthümlichen bisher nicht beachteten Ge- bilden, welche ich zuerst gelegentlich in einer Abhandlung im Crelleschen Journal der Betrachtung unterworfen habe. *) Da die weitere Erörterung dieses Gegenstandes die Schranken dieses Wer- kes überschreiten würde, so will ich mich damit begnügen, hier noch die Gleichung für die gerade Linie und die Ebene, wie sie sich durch unsere Wissenschaft ergiebt, aufzustellen, und mit den sonst bekannten Gleichungen für dieselben in Beziehung zu setzen. § 119. Die allgemeinste Aufgabe, die man sich hier stellen kann, ist die, die Gleichung einer Ebene, welche durch drei be- liebige gegebene Punkte geht, oder die Gleichung einer Linie, wel- che durch zwei beliebige gegebene Punkte geht, aufzustellen. Es seien die gegebenen Punkte im ersten Falle α, β, γ, im zweiten Falle α, β, der veränderliche Punkt, welcher als Punkt jener Ebene oder dieser Linie durch eine Gleichung zwischen ihm und den ge- gebenen Punkten bestimmt werden soll, sei σ, so hat man sogleich aus dem Begriffe eines Elementarsystems zweiter und dritter Stufe für den ersten Fall die Gleichung α . β . γ . σ = 0, für den zweiten α . β . σ = 0, und durch diese Formeln, welche den grössten Grad der Einfach- heit besitzen, ist die Aufgabe im allgemeinsten Sinne gelöst. Will man dann aus Vorliebe für die gewöhnliche Koordinatenbehandlung oder aus einem andern Grunde die entsprechenden Koordinaten- gleichungen aufstellen, so kann man, wenn man nur die Mühe des Niederschreibens dieser langgestreckten Formeln nicht scheut, dieselben unmittelbar aus jener einfachen Gleichung ableiten. *) Crelle, Journal für die reine und angewandte Mathematik B. XXIV.

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 170. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/206>, abgerufen am 20.05.2024.