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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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§ 119 Gleichung der Ebene.
Will man z. B. die Gleichung in Parallelkoordinaten darstel-
len, so hat man sich nur des am Schlusse des § 117 erwähnten
Richtsystems zu bedienen. Bei diesem Richtsysteme wird jeder
Punkt als Summe des Richtelementes r und einer Strecke darge-
stellt. Es sei
a = r + p1, b = r + p2, g = r + p3, s = r + p,
so hat man durch Substitution dieser Ausdrücke in die Gleichung
der Ebene
(r + p1) . (r + p2) . (r + p3) . (r + p) = 0,
oder, indem man die Klammern auflöst, und die Produkte, welche
null werden*), weglässt,
r . p2 . p3 . p + p1 . r . p3 . p + p1 . p2 . r . p + p1 . p2 . p3 . r = 0,
oder, indem man mit gehöriger Beobachtung des Vorzeichens r über-
all auf die erste Stelle bringt, und es dann nach § 112 weglässt,
(p2 . p3 + p3 . p1 + p1 . p2) . p = p1 . p2 . p3.
Um nun diese Gleichung in die Koordinaten-Gleichung zu verwan-
deln, hat man nach § 89 nur statt jeder Strecke die Summe ihrer
Richtstücke zu setzen, es sei
p = x + y + z
p1 = x1 + y1 + z1
u. s. w.,
wo x, y, z etc. die Richtstücke darstellen, so hat man nun
(x2 + y2 + z2) . (x3 + y3 + z3) . (x + y + z)
+ (x3 + y3 + z3) . (x1 + y1 + z1) . (x + y + z)
+ (x1 + y1 + z1) . (x2 + y2 + z2) . (x + y + z) =
(x1 + y1 + z1) . (x2 + y2 + z2) . (x3 + y3 + z3).

Nun hat man nur die Klammern aufzulösen, indem man be-
achtet, dass die mit gleichen Buchstaben bezeichneten Richtstücke
parallel sind, und somit aus jedem Gliede nur sechs geltende Pro-
dukte zu je drei Faktoren hervorgehen, und hat dann die Faktoren
der so entstehenden 24 Produkte mit Beobachtung der Zeichen so
zu ordnen, dass die Buchstaben in jedem Produkte auf dieselbe
Weise auf einander folgen, und erhält dann eine Gleichung, in wel-
cher man statt der Richtstücke die Zeiger setzen und sie dadurch
zu einer arithmetischen Gleichung machen kann, in welcher wie-

*) Das sind nämlich alle die, welche r öfter als einmal als Faktor enthalten.

§ 119 Gleichung der Ebene.
Will man z. B. die Gleichung in Parallelkoordinaten darstel-
len, so hat man sich nur des am Schlusse des § 117 erwähnten
Richtsystems zu bedienen. Bei diesem Richtsysteme wird jeder
Punkt als Summe des Richtelementes ρ und einer Strecke darge-
stellt. Es sei
α = ρ + p1, β = ρ + p2, γ = ρ + p3, σ = ρ + p,
so hat man durch Substitution dieser Ausdrücke in die Gleichung
der Ebene
(ρ + p1) . (ρ + p2) . (ρ + p3) . (ρ + p) = 0,
oder, indem man die Klammern auflöst, und die Produkte, welche
null werden*), weglässt,
ρ . p2 . p3 . p + p1 . ρ . p3 . p + p1 . p2 . ρ . p + p1 . p2 . p3 . ρ = 0,
oder, indem man mit gehöriger Beobachtung des Vorzeichens ρ über-
all auf die erste Stelle bringt, und es dann nach § 112 weglässt,
(p2 . p3 + p3 . p1 + p1 . p2) . p = p1 . p2 . p3.
Um nun diese Gleichung in die Koordinaten-Gleichung zu verwan-
deln, hat man nach § 89 nur statt jeder Strecke die Summe ihrer
Richtstücke zu setzen, es sei
p = x + y + z
p1 = x1 + y1 + z1
u. s. w.,
wo x, y, z etc. die Richtstücke darstellen, so hat man nun
(x2 + y2 + z2) . (x3 + y3 + z3) . (x + y + z)
+ (x3 + y3 + z3) . (x1 + y1 + z1) . (x + y + z)
+ (x1 + y1 + z1) . (x2 + y2 + z2) . (x + y + z) =
(x1 + y1 + z1) . (x2 + y2 + z2) . (x3 + y3 + z3).

Nun hat man nur die Klammern aufzulösen, indem man be-
achtet, dass die mit gleichen Buchstaben bezeichneten Richtstücke
parallel sind, und somit aus jedem Gliede nur sechs geltende Pro-
dukte zu je drei Faktoren hervorgehen, und hat dann die Faktoren
der so entstehenden 24 Produkte mit Beobachtung der Zeichen so
zu ordnen, dass die Buchstaben in jedem Produkte auf dieselbe
Weise auf einander folgen, und erhält dann eine Gleichung, in wel-
cher man statt der Richtstücke die Zeiger setzen und sie dadurch
zu einer arithmetischen Gleichung machen kann, in welcher wie-

*) Das sind nämlich alle die, welche ρ öfter als einmal als Faktor enthalten.
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[171/0207] § 119 Gleichung der Ebene. Will man z. B. die Gleichung in Parallelkoordinaten darstel- len, so hat man sich nur des am Schlusse des § 117 erwähnten Richtsystems zu bedienen. Bei diesem Richtsysteme wird jeder Punkt als Summe des Richtelementes ρ und einer Strecke darge- stellt. Es sei α = ρ + p1, β = ρ + p2, γ = ρ + p3, σ = ρ + p, so hat man durch Substitution dieser Ausdrücke in die Gleichung der Ebene (ρ + p1) . (ρ + p2) . (ρ + p3) . (ρ + p) = 0, oder, indem man die Klammern auflöst, und die Produkte, welche null werden *), weglässt, ρ . p2 . p3 . p + p1 . ρ . p3 . p + p1 . p2 . ρ . p + p1 . p2 . p3 . ρ = 0, oder, indem man mit gehöriger Beobachtung des Vorzeichens ρ über- all auf die erste Stelle bringt, und es dann nach § 112 weglässt, (p2 . p3 + p3 . p1 + p1 . p2) . p = p1 . p2 . p3. Um nun diese Gleichung in die Koordinaten-Gleichung zu verwan- deln, hat man nach § 89 nur statt jeder Strecke die Summe ihrer Richtstücke zu setzen, es sei p = x + y + z p1 = x1 + y1 + z1 u. s. w., wo x, y, z etc. die Richtstücke darstellen, so hat man nun (x2 + y2 + z2) . (x3 + y3 + z3) . (x + y + z) + (x3 + y3 + z3) . (x1 + y1 + z1) . (x + y + z) + (x1 + y1 + z1) . (x2 + y2 + z2) . (x + y + z) = (x1 + y1 + z1) . (x2 + y2 + z2) . (x3 + y3 + z3). Nun hat man nur die Klammern aufzulösen, indem man be- achtet, dass die mit gleichen Buchstaben bezeichneten Richtstücke parallel sind, und somit aus jedem Gliede nur sechs geltende Pro- dukte zu je drei Faktoren hervorgehen, und hat dann die Faktoren der so entstehenden 24 Produkte mit Beobachtung der Zeichen so zu ordnen, dass die Buchstaben in jedem Produkte auf dieselbe Weise auf einander folgen, und erhält dann eine Gleichung, in wel- cher man statt der Richtstücke die Zeiger setzen und sie dadurch zu einer arithmetischen Gleichung machen kann, in welcher wie- *) Das sind nämlich alle die, welche ρ öfter als einmal als Faktor enthalten.

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 171. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/207>, abgerufen am 19.05.2024.