Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.
Multiplikation der Elementargrössen. § 121 welche auf einen Punkt wirken, dann und nur dann im Gleichge-wichte sind, wenn ihre Summe null ist," oder, indem wir zwei Kräfte oder Kraftsysteme einander gleichwirkend nennen, wenn sie durch dieselben Kräfte aufgehoben werden können, "dass zwei Kräfte, die auf einen Punkt wirken, der auf denselben Punkt wir- kenden Summe beider Kräfte gleichwirkend sind," anderntheils, "dass zwei Kräfte, welche auf einen festen Körper wirken, dann und nur dann im Gleichgewichte sind, wenn sie in derselben gera- den Linie wirken und einander entgegengesetzt gleich sind." Hier- aus folgt sogleich, wenn wir den so eben aufgestellten Begriff des Gleichwirkens festhalten, "dass zwei Kräfte, welche auf einen festen Körper wirken, dann und nur dann einander gleichwirkend sind, wenn sie in derselben Linie wirken und einander gleich sind" oder einfacher ausgedrückt, "wenn sie als Liniengrössen einander gleich sind." Betrachten wir daher die Kräfte, welche auf feste Körper wirken, als Liniengrössen, so zeigt sich sogleich, wie zwei Kräfte, deren Wirkungslinien sich schneiden, ihrer Summe gleichwirkend seien; denn ist a dieser Durchschnittspunkt, so werden sich beide Kräfte als Liniengrössen darstellen lassen, deren erster Faktor a ist, sind dann a . p und a . q, wo p und q Strecken bedeuten, diese Kräfte, so sind sie nach der ersten Voraussetzung gleichwirkend mit a . (p + q) oder mit a . p + a . q, d. h. sie sind der Summe der Kräfte gleichwirkend, auch wenn die Kräfte als Liniengrössen auf- gefasst werden. Sind die Kräfte parallel, z. B. die eine gleich a . p, die andere gleich mb . p, wo p wiederum eine Strecke bedeutet, so können wir die beiden gleichwirkende Kraft nach demselben Prin- cip nicht unmittelbar finden; nehmen wir daher zwei sich einander aufhebende Kräfte zu Hülfe, nämlich a . mb und mb . a*), so sind jene beiden Kräfte gleichwirkend den vier Kräften a . p, a . mb, mb . a, mb . p, von denen die beiden ersten, da sie auf denselhen Punkt wirken, ihrer Summe gleichwirkend sein werden, und eben so die beiden letzten, und wir erhalten somit die beiden Kräfte a . (p + mb), mb . (a + p) als den gegebenen Kräften gleichwirkend. Diese beiden Produkte *) Beide heben einander auf, weil a . mb = -- mb . a ist.
Multiplikation der Elementargrössen. § 121 welche auf einen Punkt wirken, dann und nur dann im Gleichge-wichte sind, wenn ihre Summe null ist,“ oder, indem wir zwei Kräfte oder Kraftsysteme einander gleichwirkend nennen, wenn sie durch dieselben Kräfte aufgehoben werden können, „dass zwei Kräfte, die auf einen Punkt wirken, der auf denselben Punkt wir- kenden Summe beider Kräfte gleichwirkend sind,“ anderntheils, „dass zwei Kräfte, welche auf einen festen Körper wirken, dann und nur dann im Gleichgewichte sind, wenn sie in derselben gera- den Linie wirken und einander entgegengesetzt gleich sind.“ Hier- aus folgt sogleich, wenn wir den so eben aufgestellten Begriff des Gleichwirkens festhalten, „dass zwei Kräfte, welche auf einen festen Körper wirken, dann und nur dann einander gleichwirkend sind, wenn sie in derselben Linie wirken und einander gleich sind“ oder einfacher ausgedrückt, „wenn sie als Liniengrössen einander gleich sind.“ Betrachten wir daher die Kräfte, welche auf feste Körper wirken, als Liniengrössen, so zeigt sich sogleich, wie zwei Kräfte, deren Wirkungslinien sich schneiden, ihrer Summe gleichwirkend seien; denn ist α dieser Durchschnittspunkt, so werden sich beide Kräfte als Liniengrössen darstellen lassen, deren erster Faktor α ist, sind dann α . p und α . q, wo p und q Strecken bedeuten, diese Kräfte, so sind sie nach der ersten Voraussetzung gleichwirkend mit α . (p + q) oder mit α . p + α . q, d. h. sie sind der Summe der Kräfte gleichwirkend, auch wenn die Kräfte als Liniengrössen auf- gefasst werden. Sind die Kräfte parallel, z. B. die eine gleich α . p, die andere gleich mβ . p, wo p wiederum eine Strecke bedeutet, so können wir die beiden gleichwirkende Kraft nach demselben Prin- cip nicht unmittelbar finden; nehmen wir daher zwei sich einander aufhebende Kräfte zu Hülfe, nämlich α . mβ und mβ . α*), so sind jene beiden Kräfte gleichwirkend den vier Kräften α . p, α . mβ, mβ . α, mβ . p, von denen die beiden ersten, da sie auf denselhen Punkt wirken, ihrer Summe gleichwirkend sein werden, und eben so die beiden letzten, und wir erhalten somit die beiden Kräfte α . (p + mβ), mβ . (α + p) als den gegebenen Kräften gleichwirkend. Diese beiden Produkte *) Beide heben einander auf, weil α . mβ = — mβ . α ist.
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Multiplikation der Elementargrössen. § 121
welche auf einen Punkt wirken, dann und nur dann im Gleichge-
wichte sind, wenn ihre Summe null ist,“ oder, indem wir zwei
Kräfte oder Kraftsysteme einander gleichwirkend nennen, wenn sie
durch dieselben Kräfte aufgehoben werden können, „dass zwei
Kräfte, die auf einen Punkt wirken, der auf denselben Punkt wir-
kenden Summe beider Kräfte gleichwirkend sind,“ anderntheils,
„dass zwei Kräfte, welche auf einen festen Körper wirken, dann
und nur dann im Gleichgewichte sind, wenn sie in derselben gera-
den Linie wirken und einander entgegengesetzt gleich sind.“ Hier-
aus folgt sogleich, wenn wir den so eben aufgestellten Begriff des
Gleichwirkens festhalten, „dass zwei Kräfte, welche auf einen festen
Körper wirken, dann und nur dann einander gleichwirkend sind,
wenn sie in derselben Linie wirken und einander gleich sind“ oder
einfacher ausgedrückt, „wenn sie als Liniengrössen einander gleich
sind.“ Betrachten wir daher die Kräfte, welche auf feste Körper
wirken, als Liniengrössen, so zeigt sich sogleich, wie zwei Kräfte,
deren Wirkungslinien sich schneiden, ihrer Summe gleichwirkend
seien; denn ist α dieser Durchschnittspunkt, so werden sich beide
Kräfte als Liniengrössen darstellen lassen, deren erster Faktor α
ist, sind dann α . p und α . q, wo p und q Strecken bedeuten, diese
Kräfte, so sind sie nach der ersten Voraussetzung gleichwirkend mit
α . (p + q) oder mit α . p + α . q, d. h. sie sind der Summe der
Kräfte gleichwirkend, auch wenn die Kräfte als Liniengrössen auf-
gefasst werden. Sind die Kräfte parallel, z. B. die eine gleich α . p,
die andere gleich mβ . p, wo p wiederum eine Strecke bedeutet, so
können wir die beiden gleichwirkende Kraft nach demselben Prin-
cip nicht unmittelbar finden; nehmen wir daher zwei sich einander
aufhebende Kräfte zu Hülfe, nämlich α . mβ und mβ . α *), so sind
jene beiden Kräfte gleichwirkend den vier Kräften
α . p, α . mβ, mβ . α, mβ . p,
von denen die beiden ersten, da sie auf denselhen Punkt wirken,
ihrer Summe gleichwirkend sein werden, und eben so die beiden
letzten, und wir erhalten somit die beiden Kräfte
α . (p + mβ), mβ . (α + p)
als den gegebenen Kräften gleichwirkend. Diese beiden Produkte
*) Beide heben einander auf, weil α . mβ = — mβ . α ist.
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| Zitationshilfe: | Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 174. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/210>, abgerufen am 20.05.2024. |
