Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.
§ 121 Neue Begründung der Statik. können wir, indem wir zu dem zweiten Faktor den ersten hinzu-addiren, wodurch nach den Gesetzen der äusseren Multiplikation der Werth des Produktes nicht geändert wird, auf einen gemein- schaftlichen Faktor bringen; nämlich es werden dann jene Kräfte gleich [Formel 1] Wenn nun m nicht gleich --1 ist, so stellt der zweite Faktor einen vielfachen Punkt dar (mit dem Gewichte 1 + m), beide Kräfte wir- ken dann auf einen Punkt, und sind somit ihrer Summe gleichwir- kend; diese Summe ist [Formel 2] d. h. sie ist gleich [Formel 3] Und es sind also die beiden Kräfte a. p und mb. p, wenn nicht m gleich --1, d. h. wenn nicht die Summe ihrer Ausweichungen null ist, Einer Kraft (a + mb). p. d. h. ihrer Summe gleichwirkend. Da nun die Wirkungslinien zweier Kräfte, die in Einer Ebene liegen, sich entweder schneiden oder parallel laufen, so folgt überhaupt, dass zwei Kräfte, welche in Einer Ebene liegen, jedesmal, wenn ihre Ausweichungen nicht zur Summe null geben, Einer Kraft gleichwirkend sind, welche die Summe jener Kräfte ist. Betrach- ten wir nun noch den Fall, den wir bisher ausschlossen, dass näm- lich die Ausweichungen beider Kräfte zusammen null, d. h. beide Kräfte als Strecken betrachtet, entgegengesetzt gleich sind, so leuch- tet ein, dass beide dann aber auch nur dann im Gleichgewicht sind, wenn sie in derselben Richtungslinie liegen, d. h. die Summe der Kräfte selbst null ist. In diesem besonderen Falle können wir also auch noch sagen, dass beide Kräfte ihrer Summe gleichwirkend sind. Es bleibt daher nur der Fall noch zu untersuchen, wo beide Kräfte als Strecken null sind, als Liniengrössen aber nicht. In diesem Falle nun ist nach der zweiten Voraussetzung nicht Gleich- gewicht vorhanden; aber wir können auch leicht zeigen, dass es dann keine geltende Kraft gebe, welche jenen beiden Kräften das Gleichgewicht halte. Denn aus den beiden Voraussetzungen, die wir zu Anfang dieses § aufstellten, geht hervor, dass die Auswei- chung der Gesammtkraft stets die Summe ist aus den Ausweichun- gen der einzelnen Kräfte. Also müsste hier die Ausweichung der § 121 Neue Begründung der Statik. können wir, indem wir zu dem zweiten Faktor den ersten hinzu-addiren, wodurch nach den Gesetzen der äusseren Multiplikation der Werth des Produktes nicht geändert wird, auf einen gemein- schaftlichen Faktor bringen; nämlich es werden dann jene Kräfte gleich [Formel 1] Wenn nun m nicht gleich —1 ist, so stellt der zweite Faktor einen vielfachen Punkt dar (mit dem Gewichte 1 + m), beide Kräfte wir- ken dann auf einen Punkt, und sind somit ihrer Summe gleichwir- kend; diese Summe ist [Formel 2] d. h. sie ist gleich [Formel 3] Und es sind also die beiden Kräfte α. p und mβ. p, wenn nicht m gleich —1, d. h. wenn nicht die Summe ihrer Ausweichungen null ist, Einer Kraft (α + mβ). p. d. h. ihrer Summe gleichwirkend. Da nun die Wirkungslinien zweier Kräfte, die in Einer Ebene liegen, sich entweder schneiden oder parallel laufen, so folgt überhaupt, dass zwei Kräfte, welche in Einer Ebene liegen, jedesmal, wenn ihre Ausweichungen nicht zur Summe null geben, Einer Kraft gleichwirkend sind, welche die Summe jener Kräfte ist. Betrach- ten wir nun noch den Fall, den wir bisher ausschlossen, dass näm- lich die Ausweichungen beider Kräfte zusammen null, d. h. beide Kräfte als Strecken betrachtet, entgegengesetzt gleich sind, so leuch- tet ein, dass beide dann aber auch nur dann im Gleichgewicht sind, wenn sie in derselben Richtungslinie liegen, d. h. die Summe der Kräfte selbst null ist. In diesem besonderen Falle können wir also auch noch sagen, dass beide Kräfte ihrer Summe gleichwirkend sind. Es bleibt daher nur der Fall noch zu untersuchen, wo beide Kräfte als Strecken null sind, als Liniengrössen aber nicht. In diesem Falle nun ist nach der zweiten Voraussetzung nicht Gleich- gewicht vorhanden; aber wir können auch leicht zeigen, dass es dann keine geltende Kraft gebe, welche jenen beiden Kräften das Gleichgewicht halte. Denn aus den beiden Voraussetzungen, die wir zu Anfang dieses § aufstellten, geht hervor, dass die Auswei- chung der Gesammtkraft stets die Summe ist aus den Ausweichun- gen der einzelnen Kräfte. 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§ 121 Neue Begründung der Statik.
können wir, indem wir zu dem zweiten Faktor den ersten hinzu-
addiren, wodurch nach den Gesetzen der äusseren Multiplikation
der Werth des Produktes nicht geändert wird, auf einen gemein-
schaftlichen Faktor bringen; nämlich es werden dann jene Kräfte
gleich
[FORMEL] Wenn nun m nicht gleich —1 ist, so stellt der zweite Faktor einen
vielfachen Punkt dar (mit dem Gewichte 1 + m), beide Kräfte wir-
ken dann auf einen Punkt, und sind somit ihrer Summe gleichwir-
kend; diese Summe ist
[FORMEL] d. h. sie ist gleich
[FORMEL] Und es sind also die beiden Kräfte α. p und mβ. p, wenn nicht m
gleich —1, d. h. wenn nicht die Summe ihrer Ausweichungen null
ist, Einer Kraft (α + mβ). p. d. h. ihrer Summe gleichwirkend. Da
nun die Wirkungslinien zweier Kräfte, die in Einer Ebene liegen,
sich entweder schneiden oder parallel laufen, so folgt überhaupt,
dass zwei Kräfte, welche in Einer Ebene liegen, jedesmal, wenn
ihre Ausweichungen nicht zur Summe null geben, Einer Kraft
gleichwirkend sind, welche die Summe jener Kräfte ist. Betrach-
ten wir nun noch den Fall, den wir bisher ausschlossen, dass näm-
lich die Ausweichungen beider Kräfte zusammen null, d. h. beide
Kräfte als Strecken betrachtet, entgegengesetzt gleich sind, so leuch-
tet ein, dass beide dann aber auch nur dann im Gleichgewicht sind,
wenn sie in derselben Richtungslinie liegen, d. h. die Summe der
Kräfte selbst null ist. In diesem besonderen Falle können wir also
auch noch sagen, dass beide Kräfte ihrer Summe gleichwirkend
sind. Es bleibt daher nur der Fall noch zu untersuchen, wo beide
Kräfte als Strecken null sind, als Liniengrössen aber nicht. In
diesem Falle nun ist nach der zweiten Voraussetzung nicht Gleich-
gewicht vorhanden; aber wir können auch leicht zeigen, dass es
dann keine geltende Kraft gebe, welche jenen beiden Kräften das
Gleichgewicht halte. Denn aus den beiden Voraussetzungen, die
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gen der einzelnen Kräfte. Also müsste hier die Ausweichung der
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