Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.
§ 123 Allgemeiner Satz über die stat. Momente. ben, dass zwei Vereine von Kräften, welche gleiche Gesammtaus-weichung und in Bezug auf irgend einen Punkt gleiches Moment haben, einander gleichwirkend sind, und in Bezug auf jeden Punkt und jede Axe gleiches Moment haben, sind jetzt, nachdem wir ei- nen Verein von Kräften als ihrer Summe gleichwirkend dargestellt haben, nur andere Ausdrucksweisen der von uns in der abstrakten Wissenschaft aufgestellten Sätze. -- Wir halten uns daher mit der Ableitung jener statischen Gesetze nicht weiter auf, und wollen statt dessen einen allgemeinern Satz über die Theorie der Mo- mente aufstellen, welcher alle Sätze, die man bisher über diese Theorie aufgestellt hat, an Allgemeinheit weit übertrifft, und den- noch durch unsere Analyse sich auf's einfachste ergiebt. Um die- sen Satz sogleich in einer leicht fasslichen Form zu geben, will ich einen neuen Begriff einführen, welcher für die Betrachtung der Verwandtschaftsbeziehungen überhaupt von der grössten Wichtig- keit ist. Nämlich ich sage, dass ein Verein von Grössen in der- selben Zahlenrelation stehe, wie ein anderer Verein entsprechen- der Grössen, wenn jede Gleichheit, welche zwischen den Viel- fachensummen aus den Grössen des letzten Vereins statt findet, auch bestehen bleibt, wenn man statt dieser Grössen die entspre- chenden des ersten Vereins setzt. Der Satz, den wir hier bewei- sen wollen, lässt sich nun in der Form darstellen: "Die Gesammtmomente eines Kräftevereines in Bezug auf ver- Denn ist S die Summe des Kräftevereins, so ist das Gesammtmo- 12*
§ 123 Allgemeiner Satz über die stat. Momente. ben, dass zwei Vereine von Kräften, welche gleiche Gesammtaus-weichung und in Bezug auf irgend einen Punkt gleiches Moment haben, einander gleichwirkend sind, und in Bezug auf jeden Punkt und jede Axe gleiches Moment haben, sind jetzt, nachdem wir ei- nen Verein von Kräften als ihrer Summe gleichwirkend dargestellt haben, nur andere Ausdrucksweisen der von uns in der abstrakten Wissenschaft aufgestellten Sätze. — Wir halten uns daher mit der Ableitung jener statischen Gesetze nicht weiter auf, und wollen statt dessen einen allgemeinern Satz über die Theorie der Mo- mente aufstellen, welcher alle Sätze, die man bisher über diese Theorie aufgestellt hat, an Allgemeinheit weit übertrifft, und den- noch durch unsere Analyse sich auf’s einfachste ergiebt. Um die- sen Satz sogleich in einer leicht fasslichen Form zu geben, will ich einen neuen Begriff einführen, welcher für die Betrachtung der Verwandtschaftsbeziehungen überhaupt von der grössten Wichtig- keit ist. Nämlich ich sage, dass ein Verein von Grössen in der- selben Zahlenrelation stehe, wie ein anderer Verein entsprechen- der Grössen, wenn jede Gleichheit, welche zwischen den Viel- fachensummen aus den Grössen des letzten Vereins statt findet, auch bestehen bleibt, wenn man statt dieser Grössen die entspre- chenden des ersten Vereins setzt. Der Satz, den wir hier bewei- sen wollen, lässt sich nun in der Form darstellen: „Die Gesammtmomente eines Kräftevereines in Bezug auf ver- Denn ist S die Summe des Kräftevereins, so ist das Gesammtmo- 12*
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§ 123 Allgemeiner Satz über die stat. Momente.
ben, dass zwei Vereine von Kräften, welche gleiche Gesammtaus-
weichung und in Bezug auf irgend einen Punkt gleiches Moment
haben, einander gleichwirkend sind, und in Bezug auf jeden Punkt
und jede Axe gleiches Moment haben, sind jetzt, nachdem wir ei-
nen Verein von Kräften als ihrer Summe gleichwirkend dargestellt
haben, nur andere Ausdrucksweisen der von uns in der abstrakten
Wissenschaft aufgestellten Sätze. — Wir halten uns daher mit der
Ableitung jener statischen Gesetze nicht weiter auf, und wollen
statt dessen einen allgemeinern Satz über die Theorie der Mo-
mente aufstellen, welcher alle Sätze, die man bisher über diese
Theorie aufgestellt hat, an Allgemeinheit weit übertrifft, und den-
noch durch unsere Analyse sich auf’s einfachste ergiebt. Um die-
sen Satz sogleich in einer leicht fasslichen Form zu geben, will
ich einen neuen Begriff einführen, welcher für die Betrachtung der
Verwandtschaftsbeziehungen überhaupt von der grössten Wichtig-
keit ist. Nämlich ich sage, dass ein Verein von Grössen in der-
selben Zahlenrelation stehe, wie ein anderer Verein entsprechen-
der Grössen, wenn jede Gleichheit, welche zwischen den Viel-
fachensummen aus den Grössen des letzten Vereins statt findet,
auch bestehen bleibt, wenn man statt dieser Grössen die entspre-
chenden des ersten Vereins setzt. Der Satz, den wir hier bewei-
sen wollen, lässt sich nun in der Form darstellen:
„Die Gesammtmomente eines Kräftevereines in Bezug auf ver-
schiedene Punkte oder Axen stehen in derselben Zahlenrela-
tion, wie diese Punkte oder Axen“.
Denn ist S die Summe des Kräftevereins, so ist das Gesammtmo-
ment desselben in Bezug auf irgend eine Grösse A (sei dieselbe
nun ein Punkt oder eine Axe) gleich der Ausweichung des Produk-
tes A S; sind nun verschiedene Beziehungsgrössen A, B, .... gege-
ben, und es herrscht zwischen denselben eine Zahlenrelation, wel-
che sich in der Form
[FORMEL],
wo a, b ... Zahlengrössen sind, darstellen lässt, so wird auch, wenn
man mit S multiplicirt,
[FORMEL] sein; diese Gleichung bleibt nun auch nach § 112 bestehen, wenn
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