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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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Multiplikation der Elementargrössen. § 124
man statt der Produkte A S etc. ihre Ausweichungen, d. h. die Mo-
mente von S in Bezug auf jene Grössen setzt; also stehen diese
Momente in derselben Zahlenrelation, wie die Beziehungsgrössen.

Vermittelst dieses Satzes können wir also aus den Momenten
in Bezug auf zwei Punkte das Moment in Bezug auf jeden andern
Punkt derselben geraden Linie finden, und ebenso aus den Mo-
menten in Bezug auf drei Punkte, die nicht in Einer geraden Linie
liegen, das jedem andern Punkte derselben Ebene zugehörige, aus
den Momenten in Bezug auf vier Punkte, die nicht in Einer Ebene
liegen, das jedem andern Punkte des Raumes zugehörige, ferner
aus den Momenten in Bezug auf zwei Axen, die sich schneiden,
das Moment in Bezug auf jede andere durch denselben Punkt ge-
hende und in derselben Ebene liegende Axe, aus den Momenten
in Bezug auf drei Axen derselben Ebene, welche nicht durch Einen
Punkt gehen, das jeder andern Axe derselben Ebene, und über-
haupt aus den Momenten in Bezug auf eine Reihe von Axen, wel-
che in keiner Zahlenrelation zu einander stehen, das Moment in
Bezug auf jede Axe, welche zu ihnen in bestimmter Zahlenrelation
steht.

§ 124. Ich schliesse diese Anwendung mit der Lösung der
Aufgabe, die Bedingungsgleichung zu finden, welche bestehen muss,
wenn ein System von Kräften einer einzelnen Kraft oder einem
Moment gleichwirkend sein soll.

In beiden Fällen wird die Summe der Kräfte S als Produkt
zweier Elementargrössen erster Stufe dargestellt werden können,
und daraus folgt für diesen Fall sogleich die Gleichung
[Formel 1] eine Gleichung, welcher nie genügt wird, wenn S eine formelle
Summe darstellt; denn dann lässt sich S als Summe zweier Kräfte
darstellen, welche nicht in derselben Ebene liegen; es seien dies
A und B, also
[Formel 2] so ist
[Formel 3] weil nämlich A . A und B . B null sind, A . B aber gleich B . A

Multiplikation der Elementargrössen. § 124
man statt der Produkte A S etc. ihre Ausweichungen, d. h. die Mo-
mente von S in Bezug auf jene Grössen setzt; also stehen diese
Momente in derselben Zahlenrelation, wie die Beziehungsgrössen.

Vermittelst dieses Satzes können wir also aus den Momenten
in Bezug auf zwei Punkte das Moment in Bezug auf jeden andern
Punkt derselben geraden Linie finden, und ebenso aus den Mo-
menten in Bezug auf drei Punkte, die nicht in Einer geraden Linie
liegen, das jedem andern Punkte derselben Ebene zugehörige, aus
den Momenten in Bezug auf vier Punkte, die nicht in Einer Ebene
liegen, das jedem andern Punkte des Raumes zugehörige, ferner
aus den Momenten in Bezug auf zwei Axen, die sich schneiden,
das Moment in Bezug auf jede andere durch denselben Punkt ge-
hende und in derselben Ebene liegende Axe, aus den Momenten
in Bezug auf drei Axen derselben Ebene, welche nicht durch Einen
Punkt gehen, das jeder andern Axe derselben Ebene, und über-
haupt aus den Momenten in Bezug auf eine Reihe von Axen, wel-
che in keiner Zahlenrelation zu einander stehen, das Moment in
Bezug auf jede Axe, welche zu ihnen in bestimmter Zahlenrelation
steht.

§ 124. Ich schliesse diese Anwendung mit der Lösung der
Aufgabe, die Bedingungsgleichung zu finden, welche bestehen muss,
wenn ein System von Kräften einer einzelnen Kraft oder einem
Moment gleichwirkend sein soll.

In beiden Fällen wird die Summe der Kräfte S als Produkt
zweier Elementargrössen erster Stufe dargestellt werden können,
und daraus folgt für diesen Fall sogleich die Gleichung
[Formel 1] eine Gleichung, welcher nie genügt wird, wenn S eine formelle
Summe darstellt; denn dann lässt sich S als Summe zweier Kräfte
darstellen, welche nicht in derselben Ebene liegen; es seien dies
A und B, also
[Formel 2] so ist
[Formel 3] weil nämlich A . A und B . B null sind, A . B aber gleich B . A

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[180/0216] Multiplikation der Elementargrössen. § 124 man statt der Produkte A S etc. ihre Ausweichungen, d. h. die Mo- mente von S in Bezug auf jene Grössen setzt; also stehen diese Momente in derselben Zahlenrelation, wie die Beziehungsgrössen. Vermittelst dieses Satzes können wir also aus den Momenten in Bezug auf zwei Punkte das Moment in Bezug auf jeden andern Punkt derselben geraden Linie finden, und ebenso aus den Mo- menten in Bezug auf drei Punkte, die nicht in Einer geraden Linie liegen, das jedem andern Punkte derselben Ebene zugehörige, aus den Momenten in Bezug auf vier Punkte, die nicht in Einer Ebene liegen, das jedem andern Punkte des Raumes zugehörige, ferner aus den Momenten in Bezug auf zwei Axen, die sich schneiden, das Moment in Bezug auf jede andere durch denselben Punkt ge- hende und in derselben Ebene liegende Axe, aus den Momenten in Bezug auf drei Axen derselben Ebene, welche nicht durch Einen Punkt gehen, das jeder andern Axe derselben Ebene, und über- haupt aus den Momenten in Bezug auf eine Reihe von Axen, wel- che in keiner Zahlenrelation zu einander stehen, das Moment in Bezug auf jede Axe, welche zu ihnen in bestimmter Zahlenrelation steht. § 124. Ich schliesse diese Anwendung mit der Lösung der Aufgabe, die Bedingungsgleichung zu finden, welche bestehen muss, wenn ein System von Kräften einer einzelnen Kraft oder einem Moment gleichwirkend sein soll. In beiden Fällen wird die Summe der Kräfte S als Produkt zweier Elementargrössen erster Stufe dargestellt werden können, und daraus folgt für diesen Fall sogleich die Gleichung [FORMEL] eine Gleichung, welcher nie genügt wird, wenn S eine formelle Summe darstellt; denn dann lässt sich S als Summe zweier Kräfte darstellen, welche nicht in derselben Ebene liegen; es seien dies A und B, also [FORMEL] so ist [FORMEL] weil nämlich A . A und B . B null sind, A . B aber gleich B . A

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 180. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/216>, abgerufen am 19.05.2024.