Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.
§ 126 Das eingewandte Produkt von bestimmtem Grade. der abhängig, wenn die durch sie bestimmten Systeme es sind,oder wenn sie sich auf einen gemeinschaftlichen Faktor m-ter Stufe bringen lassen (und auf keinen höheren). Dies letztere nämlich folgt aus dem Vorhergehenden, da nach § 47 jede Grösse, welche dem durch eine andere Grösse bestimmten Systeme angehört, auch als Faktor der letzteren angesehen werden kann *). Jedem Grade der Abhängigkeit nun entspricht eine Art der Multiplikation, wir fassen alle diese Arten der Multiplikation unter dem Namen der eingewandten Multiplikation zusammen, und verstehen ins Be- sondere unter dem eingewandten Produkt m-ter Stufe dasjenige, in welchem ohne Werthänderung desselben in jedem Faktor nur ein solches Stück weggelassen werden kann, welches von dem andern Faktor in einem höheren, als dem m-ten Grade abhängig ist; und zwar nennen wir das eingewandte Produkt m-ter Stufe ein reales, wenn die Faktoren wenigstens im m-ten Grade von einander ab- hängen, hingegen ein formales, wenn in einem niederen. Der Werth des eingewandten Produktes besteht dann eben in dem- jenigen, was bei jenen verstatteten Aenderungen konstant bleibt. Nur das reale Produkt ist es jedoch, was wir hier der Betrachtung unterwerfen, indem das formale eine andere Behandlungs- und Bezeichnungsweise erfordert, und es überdies von viel geringerer Bedeutung ist. Das reale eingewandte Produkt hat nun entweder einen geltenden Werth, oder es ist null, und zwar wird es nicht nur, wie jedes Produkt, null, wenn ein Faktor es wird, sondern auch, wenn die beiden Faktoren in einem höheren Grade von ein- ander abhängen, als die Stufe der eingewandten Multiplikation be- trägt. Nämlich dies letztere folgt daraus, dass man dann einen Faktor als Summe betrachten kann, deren eines Stück null, und deren anderes er selbst ist, und dass man dann nach der vorher- gehenden Definition dies Stück weglassen darf, wodurch das Pro- dukt gleich null erscheint. § 126. Um die Bedeutung des realen eingewandten Produk- *) Von den unabhängigen Grössen würden wir also sagen können, sie seien
m null-ten Grade, d. h. eben gar nicht abhängig von einander. § 126 Das eingewandte Produkt von bestimmtem Grade. der abhängig, wenn die durch sie bestimmten Systeme es sind,oder wenn sie sich auf einen gemeinschaftlichen Faktor m-ter Stufe bringen lassen (und auf keinen höheren). Dies letztere nämlich folgt aus dem Vorhergehenden, da nach § 47 jede Grösse, welche dem durch eine andere Grösse bestimmten Systeme angehört, auch als Faktor der letzteren angesehen werden kann *). Jedem Grade der Abhängigkeit nun entspricht eine Art der Multiplikation, wir fassen alle diese Arten der Multiplikation unter dem Namen der eingewandten Multiplikation zusammen, und verstehen ins Be- sondere unter dem eingewandten Produkt m-ter Stufe dasjenige, in welchem ohne Werthänderung desselben in jedem Faktor nur ein solches Stück weggelassen werden kann, welches von dem andern Faktor in einem höheren, als dem m-ten Grade abhängig ist; und zwar nennen wir das eingewandte Produkt m-ter Stufe ein reales, wenn die Faktoren wenigstens im m-ten Grade von einander ab- hängen, hingegen ein formales, wenn in einem niederen. Der Werth des eingewandten Produktes besteht dann eben in dem- jenigen, was bei jenen verstatteten Aenderungen konstant bleibt. Nur das reale Produkt ist es jedoch, was wir hier der Betrachtung unterwerfen, indem das formale eine andere Behandlungs- und Bezeichnungsweise erfordert, und es überdies von viel geringerer Bedeutung ist. Das reale eingewandte Produkt hat nun entweder einen geltenden Werth, oder es ist null, und zwar wird es nicht nur, wie jedes Produkt, null, wenn ein Faktor es wird, sondern auch, wenn die beiden Faktoren in einem höheren Grade von ein- ander abhängen, als die Stufe der eingewandten Multiplikation be- trägt. Nämlich dies letztere folgt daraus, dass man dann einen Faktor als Summe betrachten kann, deren eines Stück null, und deren anderes er selbst ist, und dass man dann nach der vorher- gehenden Definition dies Stück weglassen darf, wodurch das Pro- dukt gleich null erscheint. § 126. Um die Bedeutung des realen eingewandten Produk- *) Von den unabhängigen Grössen würden wir also sagen können, sie seien
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§ 126 Das eingewandte Produkt von bestimmtem Grade.
der abhängig, wenn die durch sie bestimmten Systeme es sind,
oder wenn sie sich auf einen gemeinschaftlichen Faktor m-ter Stufe
bringen lassen (und auf keinen höheren). Dies letztere nämlich
folgt aus dem Vorhergehenden, da nach § 47 jede Grösse, welche
dem durch eine andere Grösse bestimmten Systeme angehört, auch
als Faktor der letzteren angesehen werden kann *). Jedem Grade
der Abhängigkeit nun entspricht eine Art der Multiplikation, wir
fassen alle diese Arten der Multiplikation unter dem Namen der
eingewandten Multiplikation zusammen, und verstehen ins Be-
sondere unter dem eingewandten Produkt m-ter Stufe dasjenige, in
welchem ohne Werthänderung desselben in jedem Faktor nur ein
solches Stück weggelassen werden kann, welches von dem andern
Faktor in einem höheren, als dem m-ten Grade abhängig ist; und
zwar nennen wir das eingewandte Produkt m-ter Stufe ein reales,
wenn die Faktoren wenigstens im m-ten Grade von einander ab-
hängen, hingegen ein formales, wenn in einem niederen. Der
Werth des eingewandten Produktes besteht dann eben in dem-
jenigen, was bei jenen verstatteten Aenderungen konstant bleibt.
Nur das reale Produkt ist es jedoch, was wir hier der Betrachtung
unterwerfen, indem das formale eine andere Behandlungs- und
Bezeichnungsweise erfordert, und es überdies von viel geringerer
Bedeutung ist. Das reale eingewandte Produkt hat nun entweder
einen geltenden Werth, oder es ist null, und zwar wird es nicht
nur, wie jedes Produkt, null, wenn ein Faktor es wird, sondern
auch, wenn die beiden Faktoren in einem höheren Grade von ein-
ander abhängen, als die Stufe der eingewandten Multiplikation be-
trägt. Nämlich dies letztere folgt daraus, dass man dann einen
Faktor als Summe betrachten kann, deren eines Stück null, und
deren anderes er selbst ist, und dass man dann nach der vorher-
gehenden Definition dies Stück weglassen darf, wodurch das Pro-
dukt gleich null erscheint.
§ 126. Um die Bedeutung des realen eingewandten Produk-
tes darlegen zu können, so haben wir das Nullwerden desselben
abhängig zu machen von dem Systeme, welchem beide Faktoren
*) Von den unabhängigen Grössen würden wir also sagen können, sie seien
m null-ten Grade, d. h. eben gar nicht abhängig von einander.
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