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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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Das eingewandte Produkt. § 126
angehören, während wir es bisher von dem gemeinschaftlichen Sy-
steme beider Faktoren oder von dem Grade ihrer gegenseitigen
Abhängigkeit bedingt sein liessen.

Wir stellen uns zu dem Ende die Aufgabe: "Wenn das zweien
Grössen gemeinschaftliche System gegeben ist, das sie zunächst
umfassende System, d. h. das niedrigste *) System, welchem beide
zugleich angehören, zu finden." Wir erinnern hierbei daran, dass
eine Grösse einem Systeme dann und nur dann angehört, wenn sie
einer andern Grösse, die dies System darstellt, untergeordnet ist,
d. h. sich dieselbe als äusserer Faktor dieser letzteren Grösse dar-
stellen lässt. Wenn daher A und B die beiden Grössen sind, und
C ihr gemeinschaftliches System darstellt, so wird sich C als äus-
serer Faktor sowohl von A als von B darstellen lassen, also z. B.
B auf die Form CD gebracht werden können Indem wir C als das
gemeinschaftliche System für A und B setzen, so meinen wir damit
nach dem vorigen §, dass C alle Grössen in sich enthalte, welche
dem A und B gemeinschaftlich angehören, aber auch keine andern.
Daraus folgt, dass D keine Grösse mit A gemeinschaftlich haben
kann, weil sonst auch CD, d. h. B noch Grössen mit A gemein-
schaftlich haben würde, welche nicht dem Systeme von C angehör-
ten, wider die Annahme. Da nun hiernach A und D von einander
unabhängig sind, das Produkt AD also als äusseres einen geltenden
Werth hat, so werden zuerst beide Grössen A und B diesem Pro-
dukte AD untergeordnet sein, indem A unmittelbar als äusserer Fak-
tor desselben erscheint, von den beiden Faktoren der Grösse B
oder CD aber der eine C in A enthalten ist, der andere unmittel-
bar in jenem Produkte AD erscheint, also auch B selbst als äusse-
rer Faktor dieses Produktes darstellbar ist. Dass es aber keine
Grösse von niederer Stufe giebt, welcher beide Grössen A und B
untergeordnet sind, folgt sogleich, da eine solche Grösse sowohl A
als D zu äusseren Faktoren haben muss, also, da beide von einan-
der unabhängig sind, auch ihr Produkt AD (§ 125) als äusseren
Faktor enthalten muss. Also stellt AD das jene Grössen A und B
zunächst umfassende System dar, und die Aufgabe ist gelöst. Hierin
liegt der Satz:

*) Darunter ist natürlich das System, was die kleinste Stufenzahl hat, zu
verstehen.

Das eingewandte Produkt. § 126
angehören, während wir es bisher von dem gemeinschaftlichen Sy-
steme beider Faktoren oder von dem Grade ihrer gegenseitigen
Abhängigkeit bedingt sein liessen.

Wir stellen uns zu dem Ende die Aufgabe: „Wenn das zweien
Grössen gemeinschaftliche System gegeben ist, das sie zunächst
umfassende System, d. h. das niedrigste *) System, welchem beide
zugleich angehören, zu finden.“ Wir erinnern hierbei daran, dass
eine Grösse einem Systeme dann und nur dann angehört, wenn sie
einer andern Grösse, die dies System darstellt, untergeordnet ist,
d. h. sich dieselbe als äusserer Faktor dieser letzteren Grösse dar-
stellen lässt. Wenn daher A und B die beiden Grössen sind, und
C ihr gemeinschaftliches System darstellt, so wird sich C als äus-
serer Faktor sowohl von A als von B darstellen lassen, also z. B.
B auf die Form CD gebracht werden können Indem wir C als das
gemeinschaftliche System für A und B setzen, so meinen wir damit
nach dem vorigen §, dass C alle Grössen in sich enthalte, welche
dem A und B gemeinschaftlich angehören, aber auch keine andern.
Daraus folgt, dass D keine Grösse mit A gemeinschaftlich haben
kann, weil sonst auch CD, d. h. B noch Grössen mit A gemein-
schaftlich haben würde, welche nicht dem Systeme von C angehör-
ten, wider die Annahme. Da nun hiernach A und D von einander
unabhängig sind, das Produkt AD also als äusseres einen geltenden
Werth hat, so werden zuerst beide Grössen A und B diesem Pro-
dukte AD untergeordnet sein, indem A unmittelbar als äusserer Fak-
tor desselben erscheint, von den beiden Faktoren der Grösse B
oder CD aber der eine C in A enthalten ist, der andere unmittel-
bar in jenem Produkte AD erscheint, also auch B selbst als äusse-
rer Faktor dieses Produktes darstellbar ist. Dass es aber keine
Grösse von niederer Stufe giebt, welcher beide Grössen A und B
untergeordnet sind, folgt sogleich, da eine solche Grösse sowohl A
als D zu äusseren Faktoren haben muss, also, da beide von einan-
der unabhängig sind, auch ihr Produkt AD (§ 125) als äusseren
Faktor enthalten muss. Also stellt AD das jene Grössen A und B
zunächst umfassende System dar, und die Aufgabe ist gelöst. Hierin
liegt der Satz:

*) Darunter ist natürlich das System, was die kleinste Stufenzahl hat, zu
verstehen.
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[184/0220] Das eingewandte Produkt. § 126 angehören, während wir es bisher von dem gemeinschaftlichen Sy- steme beider Faktoren oder von dem Grade ihrer gegenseitigen Abhängigkeit bedingt sein liessen. Wir stellen uns zu dem Ende die Aufgabe: „Wenn das zweien Grössen gemeinschaftliche System gegeben ist, das sie zunächst umfassende System, d. h. das niedrigste *) System, welchem beide zugleich angehören, zu finden.“ Wir erinnern hierbei daran, dass eine Grösse einem Systeme dann und nur dann angehört, wenn sie einer andern Grösse, die dies System darstellt, untergeordnet ist, d. h. sich dieselbe als äusserer Faktor dieser letzteren Grösse dar- stellen lässt. Wenn daher A und B die beiden Grössen sind, und C ihr gemeinschaftliches System darstellt, so wird sich C als äus- serer Faktor sowohl von A als von B darstellen lassen, also z. B. B auf die Form CD gebracht werden können Indem wir C als das gemeinschaftliche System für A und B setzen, so meinen wir damit nach dem vorigen §, dass C alle Grössen in sich enthalte, welche dem A und B gemeinschaftlich angehören, aber auch keine andern. Daraus folgt, dass D keine Grösse mit A gemeinschaftlich haben kann, weil sonst auch CD, d. h. B noch Grössen mit A gemein- schaftlich haben würde, welche nicht dem Systeme von C angehör- ten, wider die Annahme. Da nun hiernach A und D von einander unabhängig sind, das Produkt AD also als äusseres einen geltenden Werth hat, so werden zuerst beide Grössen A und B diesem Pro- dukte AD untergeordnet sein, indem A unmittelbar als äusserer Fak- tor desselben erscheint, von den beiden Faktoren der Grösse B oder CD aber der eine C in A enthalten ist, der andere unmittel- bar in jenem Produkte AD erscheint, also auch B selbst als äusse- rer Faktor dieses Produktes darstellbar ist. Dass es aber keine Grösse von niederer Stufe giebt, welcher beide Grössen A und B untergeordnet sind, folgt sogleich, da eine solche Grösse sowohl A als D zu äusseren Faktoren haben muss, also, da beide von einan- der unabhängig sind, auch ihr Produkt AD (§ 125) als äusseren Faktor enthalten muss. Also stellt AD das jene Grössen A und B zunächst umfassende System dar, und die Aufgabe ist gelöst. Hierin liegt der Satz: *) Darunter ist natürlich das System, was die kleinste Stufenzahl hat, zu verstehen.

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 184. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/220>, abgerufen am 23.11.2024.