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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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Das eingewandte Produkt. § 130
tiven nur die Formänderung verstattet ist, dass der eine Faktor CD
um ein Stück wachse, welches von dem andern Faktor A in einem
höheren als dem c-ten Grade abhängig ist. Es ist klar, dass dies
Stück nicht mit CD gleichartig sein dürfe, weil ein solches mit A
in demselben Grade der Abhängigkeit stehen würde, wie CD selbst;
es muss also mit CD ungleichartig angenommen werden. Für die
Addition der ungleichartigen Grössen hatten wir einen realen und
einen formalen Begriff aufgestellt, von denen der erstere dann ein-
trat, wenn beide zu addirenden Grössen auf eine solche Weise in
einfache Faktoren zerlegt werden können, dass sie alle bis auf Ei-
nen Faktor gemeinschaftlich enthalten. Da nun die formale Addi-
tion nur als abgekürzte Schreibart auftrat, so werden wir die Be-
deutung unseres Produktes schon auffinden, wenn wir nur die reale
Addition berücksichtigen, und also annehmen, das hinzuzuaddirende
Stück habe mit CD alle einfachen Faktoren mit Ausschluss Eines
solchen gemeinschaftlich. Dieser eine einfache Faktor nun wird,
da das hinzuzuaddirende Stück von A in einem höheren als dem
c-ten Grade abhängen soll, nothwendig dem Systeme von A ange-
hören, während unter den übrigen einfachen Faktoren nothwendig
die sämmtlichen einfachen Faktoren von C vorkommen müssen.
Es wird sich also dies Stück in der Form CE darstellen lassen
müssen, wo E von A abhängig ist. Hiernach wird nun das Pro-
dukt in der Form
[Formel 1] erscheinen, wo E von A abhängig ist. Vergleichen wir nun die
beiden Produkte
[Formel 2] ,
so stellt AD das nächstumfassende System für die Faktoren des er-
sten, A (D + E) das für die Faktoren des zweiten Produktes dar;
und da E von A abhängig, also
[Formel 3] ist, so ist auch das nächstumfassende System für beide Produkte
dasselbe. Ausser dieser Formänderung ist nur noch die allgemein
multiplikative verstattet, dass die Faktoren sich in umgekehrtem
Zahlenverhältnisse ändern. Da hierdurch die Systeme der Faktoren
nicht geändert werden, also das gemeinschaftliche und das nächst-

Das eingewandte Produkt. § 130
tiven nur die Formänderung verstattet ist, dass der eine Faktor CD
um ein Stück wachse, welches von dem andern Faktor A in einem
höheren als dem c-ten Grade abhängig ist. Es ist klar, dass dies
Stück nicht mit CD gleichartig sein dürfe, weil ein solches mit A
in demselben Grade der Abhängigkeit stehen würde, wie CD selbst;
es muss also mit CD ungleichartig angenommen werden. Für die
Addition der ungleichartigen Grössen hatten wir einen realen und
einen formalen Begriff aufgestellt, von denen der erstere dann ein-
trat, wenn beide zu addirenden Grössen auf eine solche Weise in
einfache Faktoren zerlegt werden können, dass sie alle bis auf Ei-
nen Faktor gemeinschaftlich enthalten. Da nun die formale Addi-
tion nur als abgekürzte Schreibart auftrat, so werden wir die Be-
deutung unseres Produktes schon auffinden, wenn wir nur die reale
Addition berücksichtigen, und also annehmen, das hinzuzuaddirende
Stück habe mit CD alle einfachen Faktoren mit Ausschluss Eines
solchen gemeinschaftlich. Dieser eine einfache Faktor nun wird,
da das hinzuzuaddirende Stück von A in einem höheren als dem
c-ten Grade abhängen soll, nothwendig dem Systeme von A ange-
hören, während unter den übrigen einfachen Faktoren nothwendig
die sämmtlichen einfachen Faktoren von C vorkommen müssen.
Es wird sich also dies Stück in der Form CE darstellen lassen
müssen, wo E von A abhängig ist. Hiernach wird nun das Pro-
dukt in der Form
[Formel 1] erscheinen, wo E von A abhängig ist. Vergleichen wir nun die
beiden Produkte
[Formel 2] ,
so stellt AD das nächstumfassende System für die Faktoren des er-
sten, A (D + E) das für die Faktoren des zweiten Produktes dar;
und da E von A abhängig, also
[Formel 3] ist, so ist auch das nächstumfassende System für beide Produkte
dasselbe. Ausser dieser Formänderung ist nur noch die allgemein
multiplikative verstattet, dass die Faktoren sich in umgekehrtem
Zahlenverhältnisse ändern. Da hierdurch die Systeme der Faktoren
nicht geändert werden, also das gemeinschaftliche und das nächst-

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[190/0226] Das eingewandte Produkt. § 130 tiven nur die Formänderung verstattet ist, dass der eine Faktor CD um ein Stück wachse, welches von dem andern Faktor A in einem höheren als dem c-ten Grade abhängig ist. Es ist klar, dass dies Stück nicht mit CD gleichartig sein dürfe, weil ein solches mit A in demselben Grade der Abhängigkeit stehen würde, wie CD selbst; es muss also mit CD ungleichartig angenommen werden. Für die Addition der ungleichartigen Grössen hatten wir einen realen und einen formalen Begriff aufgestellt, von denen der erstere dann ein- trat, wenn beide zu addirenden Grössen auf eine solche Weise in einfache Faktoren zerlegt werden können, dass sie alle bis auf Ei- nen Faktor gemeinschaftlich enthalten. Da nun die formale Addi- tion nur als abgekürzte Schreibart auftrat, so werden wir die Be- deutung unseres Produktes schon auffinden, wenn wir nur die reale Addition berücksichtigen, und also annehmen, das hinzuzuaddirende Stück habe mit CD alle einfachen Faktoren mit Ausschluss Eines solchen gemeinschaftlich. Dieser eine einfache Faktor nun wird, da das hinzuzuaddirende Stück von A in einem höheren als dem c-ten Grade abhängen soll, nothwendig dem Systeme von A ange- hören, während unter den übrigen einfachen Faktoren nothwendig die sämmtlichen einfachen Faktoren von C vorkommen müssen. Es wird sich also dies Stück in der Form CE darstellen lassen müssen, wo E von A abhängig ist. Hiernach wird nun das Pro- dukt in der Form [FORMEL] erscheinen, wo E von A abhängig ist. Vergleichen wir nun die beiden Produkte [FORMEL], so stellt AD das nächstumfassende System für die Faktoren des er- sten, A (D + E) das für die Faktoren des zweiten Produktes dar; und da E von A abhängig, also [FORMEL] ist, so ist auch das nächstumfassende System für beide Produkte dasselbe. Ausser dieser Formänderung ist nur noch die allgemein multiplikative verstattet, dass die Faktoren sich in umgekehrtem Zahlenverhältnisse ändern. Da hierdurch die Systeme der Faktoren nicht geändert werden, also das gemeinschaftliche und das nächst-

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 190. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/226>, abgerufen am 23.11.2024.