Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.
§ 130 Konstante Systeme des eingewandten Prod. umfassende System auch bei dieser Formänderung dieselben blei-ben, so bleiben die genannten Systeme überhaupt bei jeder Form- änderung des Produktes dieselben, und gehören also zu demjenigen, was den konstanten Werth dieses Produktes ausmacht. Setzt man den gemeinschaftlichen äusseren Faktor C als den mittleren, so dass das Produkt, wie wir es schon oben darstellten, in der Form [Formel 1] erscheint; so giebt das Produkt der äusseren Faktoren AD das nächstumfassende System; und es stellen dann also sowohl der mittlere Faktor als das Produkt der beiden äusseren AD konstante Systeme dar. -- Vergleichen wir beide Grössen C und AD auch ihrem Werthe nach, so haben wir nicht bloss diejenigen Umgestal- tungen zu berücksichtigen, durch welche der Werth der einge- wandten Faktoren A und CD, aber nicht der ihres Produktes A . CD geändert wird, sondern auch diejenigen, welche den Werth des äusseren Produktes CD und das System seines ersten Faktors ungeändert lassen. Vermöge der ersten Art der Umgestaltung konnte CD um ein Stück CE wachsen, in welchem E von A ab- hängig ist, vermöge der zweiten kann D um ein von C abhängiges Stück wachsen, welches dann gleichfalls von A abhängig sein muss, weil C dem A untergeordnet ist. Bezeichnen wir daher auch dies Stück mit E, so verwandelt sich in beiden Fällen das Produkt A. CD in das ihm gleiche A . C (D + E). Da nun E von A abhängig, also [Formel 2] ist, so ist in beiden Produkten sowohl der Werth des mittleren Fak- tors, als auch der Werth des Produktes aus den äusseren Faktoren derselbe geblieben. Ausserdem ist nun bei beiden Arten der Um- gestaltung nur noch die allgemeine multiplikative Formänderung, nach welcher sich die Faktoren in umgekehrtem Verhältnisse än- dern können, anwendbar. Wendet man diese Aenderung bei bei- den Arten der Umgestaltung an, so wird jedesmal, wenn dem einen Faktor eine Zahl als Faktor hinzugefügt wird, einem andern die- selbe Zahl als Divisor hinzugefügt werden müssen, also auch, wenn von den drei Faktoren des Produktes einer, z. B. C, m-mal grösser wird, so muss das Produkt der beiden andern m-mal kleiner wer- den; d. h. C und AD müssen sich dann im umgekehrten Verhält- § 130 Konstante Systeme des eingewandten Prod. umfassende System auch bei dieser Formänderung dieselben blei-ben, so bleiben die genannten Systeme überhaupt bei jeder Form- änderung des Produktes dieselben, und gehören also zu demjenigen, was den konstanten Werth dieses Produktes ausmacht. Setzt man den gemeinschaftlichen äusseren Faktor C als den mittleren, so dass das Produkt, wie wir es schon oben darstellten, in der Form [Formel 1] erscheint; so giebt das Produkt der äusseren Faktoren AD das nächstumfassende System; und es stellen dann also sowohl der mittlere Faktor als das Produkt der beiden äusseren AD konstante Systeme dar. — Vergleichen wir beide Grössen C und AD auch ihrem Werthe nach, so haben wir nicht bloss diejenigen Umgestal- tungen zu berücksichtigen, durch welche der Werth der einge- wandten Faktoren A und CD, aber nicht der ihres Produktes A . CD geändert wird, sondern auch diejenigen, welche den Werth des äusseren Produktes CD und das System seines ersten Faktors ungeändert lassen. Vermöge der ersten Art der Umgestaltung konnte CD um ein Stück CE wachsen, in welchem E von A ab- hängig ist, vermöge der zweiten kann D um ein von C abhängiges Stück wachsen, welches dann gleichfalls von A abhängig sein muss, weil C dem A untergeordnet ist. Bezeichnen wir daher auch dies Stück mit E, so verwandelt sich in beiden Fällen das Produkt A. CD in das ihm gleiche A . C (D + E). Da nun E von A abhängig, also [Formel 2] ist, so ist in beiden Produkten sowohl der Werth des mittleren Fak- tors, als auch der Werth des Produktes aus den äusseren Faktoren derselbe geblieben. Ausserdem ist nun bei beiden Arten der Um- gestaltung nur noch die allgemeine multiplikative Formänderung, nach welcher sich die Faktoren in umgekehrtem Verhältnisse än- dern können, anwendbar. Wendet man diese Aenderung bei bei- den Arten der Umgestaltung an, so wird jedesmal, wenn dem einen Faktor eine Zahl als Faktor hinzugefügt wird, einem andern die- selbe Zahl als Divisor hinzugefügt werden müssen, also auch, wenn von den drei Faktoren des Produktes einer, z. B. C, m-mal grösser wird, so muss das Produkt der beiden andern m-mal kleiner wer- den; d. h. C und AD müssen sich dann im umgekehrten Verhält- <TEI> <text> <body> <div n="1"> <div n="2"> <p><pb facs="#f0227" n="191"/><fw place="top" type="header">§ 130 Konstante Systeme des eingewandten Prod.</fw><lb/> umfassende System auch bei dieser Formänderung dieselben blei-<lb/> ben, so bleiben die genannten Systeme überhaupt bei jeder Form-<lb/> änderung des Produktes dieselben, und gehören also zu demjenigen,<lb/> was den konstanten Werth dieses Produktes ausmacht. 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Vermöge der ersten Art der Umgestaltung<lb/> konnte CD um ein Stück CE wachsen, in welchem E von A ab-<lb/> hängig ist, vermöge der zweiten kann D um ein von C abhängiges<lb/> Stück wachsen, welches dann gleichfalls von A abhängig sein muss,<lb/> weil C dem A untergeordnet ist. Bezeichnen wir daher auch dies<lb/> Stück mit E, so verwandelt sich in beiden Fällen das Produkt A. CD<lb/> in das ihm gleiche A . C (D + E). Da nun E von A abhängig, also<lb/><formula/> ist, so ist in beiden Produkten sowohl der Werth des mittleren Fak-<lb/> tors, als auch der Werth des Produktes aus den äusseren Faktoren<lb/> derselbe geblieben. Ausserdem ist nun bei beiden Arten der Um-<lb/> gestaltung nur noch die allgemeine multiplikative Formänderung,<lb/> nach welcher sich die Faktoren in umgekehrtem Verhältnisse än-<lb/> dern können, anwendbar. 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§ 130 Konstante Systeme des eingewandten Prod.
umfassende System auch bei dieser Formänderung dieselben blei-
ben, so bleiben die genannten Systeme überhaupt bei jeder Form-
änderung des Produktes dieselben, und gehören also zu demjenigen,
was den konstanten Werth dieses Produktes ausmacht. Setzt man
den gemeinschaftlichen äusseren Faktor C als den mittleren, so dass
das Produkt, wie wir es schon oben darstellten, in der Form
[FORMEL] erscheint; so giebt das Produkt der äusseren Faktoren AD das
nächstumfassende System; und es stellen dann also sowohl der
mittlere Faktor als das Produkt der beiden äusseren AD konstante
Systeme dar. — Vergleichen wir beide Grössen C und AD auch
ihrem Werthe nach, so haben wir nicht bloss diejenigen Umgestal-
tungen zu berücksichtigen, durch welche der Werth der einge-
wandten Faktoren A und CD, aber nicht der ihres Produktes
A . CD geändert wird, sondern auch diejenigen, welche den Werth
des äusseren Produktes CD und das System seines ersten Faktors
ungeändert lassen. Vermöge der ersten Art der Umgestaltung
konnte CD um ein Stück CE wachsen, in welchem E von A ab-
hängig ist, vermöge der zweiten kann D um ein von C abhängiges
Stück wachsen, welches dann gleichfalls von A abhängig sein muss,
weil C dem A untergeordnet ist. Bezeichnen wir daher auch dies
Stück mit E, so verwandelt sich in beiden Fällen das Produkt A. CD
in das ihm gleiche A . C (D + E). Da nun E von A abhängig, also
[FORMEL] ist, so ist in beiden Produkten sowohl der Werth des mittleren Fak-
tors, als auch der Werth des Produktes aus den äusseren Faktoren
derselbe geblieben. Ausserdem ist nun bei beiden Arten der Um-
gestaltung nur noch die allgemeine multiplikative Formänderung,
nach welcher sich die Faktoren in umgekehrtem Verhältnisse än-
dern können, anwendbar. Wendet man diese Aenderung bei bei-
den Arten der Umgestaltung an, so wird jedesmal, wenn dem einen
Faktor eine Zahl als Faktor hinzugefügt wird, einem andern die-
selbe Zahl als Divisor hinzugefügt werden müssen, also auch, wenn
von den drei Faktoren des Produktes einer, z. B. C, m-mal grösser
wird, so muss das Produkt der beiden andern m-mal kleiner wer-
den; d. h. C und AD müssen sich dann im umgekehrten Verhält-
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| Zitationshilfe: | Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 191. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/227>, abgerufen am 20.05.2024. |
