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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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§ 133 Einführung der Ergänzzahlen.
ren Multiplikation, welche sich auf die Stufenzahlen beziehen, hier
die entsprechenden aufzusuchen, was natürlich hier nur geschehen
kann in Bezug auf Produkte aus zwei Faktoren. Es war die Stufen-
zahl eines äusseren Produktes von geltendem Werthe die Summe
aus den Stufenzahlen seiner Faktoren. Bei der eingewandten Mul-
tiplikation ist die Stufenzahl des beiden Faktoren gemeinschaftlichen
Systems (nach § 132) als die Stufenzahl der Produktgrösse, wenn
diese einen geltenden Werth hat, aufgefasst. Sind a und b die
Stufenzahlen der Faktoren, und h die des Beziehungssystems, was
hier zugleich das nächstumfassende System ist, so ist die des ge-
meinschaftlichen Systems (g) nach § 126 gleich a + b -- h. Um
hier die Ergänzzahlen einzuführen, kann man der Gleichung fol-
gende Gestalt geben
[Formel 1] oder wenn man die Ergänzzahlen mit a', b', g' bezeichnet,
[Formel 2] d. h. die Ergänzzahl eines eingewandten Produktes von geltendem
Werthe ist die Summe aus den Ergänzzahlen seiner beiden Fakto-
ren. Es bleibt uns noch der Fall, wo das Produkt null ist, zu be-
rücksichtigen. Bei der eingewandten Multiplikation trat dieser Fall
(nach § 125) dann ein, wenn das beiden Faktoren gemeinschaft-
liche System von höherer Stufe war, als die Stufe der eingewand-
ten Multiplikation d. h. a + b -- h betrug, also wenn
[Formel 3] ,
oder wenn
[Formel 4] ,
und ausserdem nur noch, wenn einer der Faktoren null ist, d. h.
"ein eingewandtes Produkt zweier geltenden Werthe ist null, wenn
die Ergänzzahlen beider Faktoren zusammengenommen grösser sind,
als die Ergänzzahl ides beiden Faktoren gemeinschaftlichen Systems."
Ein äusseres Produkt zweier geltenden Werthe hingegen erschien
als null, wenn die Stufenzahlen der Faktoren zusammengenommen
grösser sind als die des beide Faktoren zunächst umfassenden Sy-
stemes. Es stimmen also diese Gesetze für beide Multiplikations-
weisen überein, wenn man den Begriff der Stufenzahl gegen den
der Ergänzzahl und den des nächstumfassenden Systems gegen den

§ 133 Einführung der Ergänzzahlen.
ren Multiplikation, welche sich auf die Stufenzahlen beziehen, hier
die entsprechenden aufzusuchen, was natürlich hier nur geschehen
kann in Bezug auf Produkte aus zwei Faktoren. Es war die Stufen-
zahl eines äusseren Produktes von geltendem Werthe die Summe
aus den Stufenzahlen seiner Faktoren. Bei der eingewandten Mul-
tiplikation ist die Stufenzahl des beiden Faktoren gemeinschaftlichen
Systems (nach § 132) als die Stufenzahl der Produktgrösse, wenn
diese einen geltenden Werth hat, aufgefasst. Sind a und b die
Stufenzahlen der Faktoren, und h die des Beziehungssystems, was
hier zugleich das nächstumfassende System ist, so ist die des ge-
meinschaftlichen Systems (g) nach § 126 gleich a + b — h. Um
hier die Ergänzzahlen einzuführen, kann man der Gleichung fol-
gende Gestalt geben
[Formel 1] oder wenn man die Ergänzzahlen mit a′, b′, g′ bezeichnet,
[Formel 2] d. h. die Ergänzzahl eines eingewandten Produktes von geltendem
Werthe ist die Summe aus den Ergänzzahlen seiner beiden Fakto-
ren. Es bleibt uns noch der Fall, wo das Produkt null ist, zu be-
rücksichtigen. Bei der eingewandten Multiplikation trat dieser Fall
(nach § 125) dann ein, wenn das beiden Faktoren gemeinschaft-
liche System von höherer Stufe war, als die Stufe der eingewand-
ten Multiplikation d. h. a + b — h betrug, also wenn
[Formel 3] ,
oder wenn
[Formel 4] ,
und ausserdem nur noch, wenn einer der Faktoren null ist, d. h.
„ein eingewandtes Produkt zweier geltenden Werthe ist null, wenn
die Ergänzzahlen beider Faktoren zusammengenommen grösser sind,
als die Ergänzzahl ides beiden Faktoren gemeinschaftlichen Systems.“
Ein äusseres Produkt zweier geltenden Werthe hingegen erschien
als null, wenn die Stufenzahlen der Faktoren zusammengenommen
grösser sind als die des beide Faktoren zunächst umfassenden Sy-
stemes. Es stimmen also diese Gesetze für beide Multiplikations-
weisen überein, wenn man den Begriff der Stufenzahl gegen den
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[197/0233] § 133 Einführung der Ergänzzahlen. ren Multiplikation, welche sich auf die Stufenzahlen beziehen, hier die entsprechenden aufzusuchen, was natürlich hier nur geschehen kann in Bezug auf Produkte aus zwei Faktoren. Es war die Stufen- zahl eines äusseren Produktes von geltendem Werthe die Summe aus den Stufenzahlen seiner Faktoren. Bei der eingewandten Mul- tiplikation ist die Stufenzahl des beiden Faktoren gemeinschaftlichen Systems (nach § 132) als die Stufenzahl der Produktgrösse, wenn diese einen geltenden Werth hat, aufgefasst. Sind a und b die Stufenzahlen der Faktoren, und h die des Beziehungssystems, was hier zugleich das nächstumfassende System ist, so ist die des ge- meinschaftlichen Systems (g) nach § 126 gleich a + b — h. Um hier die Ergänzzahlen einzuführen, kann man der Gleichung fol- gende Gestalt geben [FORMEL] oder wenn man die Ergänzzahlen mit a′, b′, g′ bezeichnet, [FORMEL] d. h. die Ergänzzahl eines eingewandten Produktes von geltendem Werthe ist die Summe aus den Ergänzzahlen seiner beiden Fakto- ren. Es bleibt uns noch der Fall, wo das Produkt null ist, zu be- rücksichtigen. Bei der eingewandten Multiplikation trat dieser Fall (nach § 125) dann ein, wenn das beiden Faktoren gemeinschaft- liche System von höherer Stufe war, als die Stufe der eingewand- ten Multiplikation d. h. a + b — h betrug, also wenn [FORMEL], oder wenn [FORMEL], und ausserdem nur noch, wenn einer der Faktoren null ist, d. h. „ein eingewandtes Produkt zweier geltenden Werthe ist null, wenn die Ergänzzahlen beider Faktoren zusammengenommen grösser sind, als die Ergänzzahl ides beiden Faktoren gemeinschaftlichen Systems.“ Ein äusseres Produkt zweier geltenden Werthe hingegen erschien als null, wenn die Stufenzahlen der Faktoren zusammengenommen grösser sind als die des beide Faktoren zunächst umfassenden Sy- stemes. Es stimmen also diese Gesetze für beide Multiplikations- weisen überein, wenn man den Begriff der Stufenzahl gegen den der Ergänzzahl und den des nächstumfassenden Systems gegen den

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 197. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/233>, abgerufen am 20.05.2024.