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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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Das eingewandte Produkt. § 134
des gemeinschaftlichen austauscht; eine Beziehung, welche, wie wir
sehen werden, bei der weiteren Entwickelung ihre Gültigkeit bei-
behält.

§ 134. Das Produkt von drei und mehr Faktoren, zu welchem
wir nun übergehen, kann stets auf das von zwei Faktoren zurück-
geführt werden, wenn nur die Multiplikation zweier Faktoren auch
für den Fall feststeht, dass diese Faktoren wieder Produkte sind.
Da nun, wenn die Faktoren wieder eingewandte Produkte sind, der
Sinn ihrer Multiplikation noch nicht festgestellt ist, so bedürfen
wir hier einer neuen Definition; und zwar müssen wir festsetzen,
welche Bedeutung eine beliebige Produktgrösse als erster Faktor,
und welche sie als zweiter Faktor habe. Wenn eine Grösse als
zweiter Faktor auftritt, so wollen wir sagen, es werde mit ihr mul-
tiplicirt, wenn als erster, sie selbst werde multiplicirt. Ich setze
nun fest, "mit einer Produktgrösse, welche auf die Form der Un-
terordnung gebracht, d. h. so dargestellt ist, dass jeder folgende
Faktor dem vorhergehenden untergeordnet sei, multipliciren heisse
mit ihren Faktoren fortschreitend *) multipliciren," und ferner
"eine Produktgrösse, welche auf die Form der Unterordnung ge-
bracht ist, mit irgend einer Grösse multipliciren heisse den letzten
Faktor der ersteren mit der letzteren multipliciren (ohne die frühe-
ren Faktoren zu ändern)". Hierbei muss dann natürlich, damit
der Sinn der gesammten Multiplikation klar sei, die Stufe für eine
jede der einzelnen Multiplikationen, auf welche jene eine reducirt
wird, bestimmt sein. Dass diese Definitionen für jedes reale Pro-
dukt ausreichen, werde ich sogleich zeigen. Das Produkt wird näm-
lich als ein reales von geltendem Werthe erscheinen, wenn bei den
einzelnen Multiplikationen die Stufe der eingewandten Multiplikation
mit dem Grade der Abhängigkeit übereinstimmt; hingegen wird es
null werden, wenn der Grad der Abhängigkeit bei irgend einer die-
ser Multiplikationen die Stufe der Multiplikation übersteigt, indem
dadurch dann einer der Faktoren null wird. Bloss formale Bedeu-
tung wird es haben, wenn der Grad der Abhängigkeit irgendwo

*) Fortschreitend mit einer Reihe von Grössen verknüpfen heisst nach dem
schon früher eingeführten Sprachgebrauche so verknüpfen, dass das jedesmalige
Ergebniss der Verknüpfung mit der nächstfolgenden Grösse der Reihe verknüpft
wird.

Das eingewandte Produkt. § 134
des gemeinschaftlichen austauscht; eine Beziehung, welche, wie wir
sehen werden, bei der weiteren Entwickelung ihre Gültigkeit bei-
behält.

§ 134. Das Produkt von drei und mehr Faktoren, zu welchem
wir nun übergehen, kann stets auf das von zwei Faktoren zurück-
geführt werden, wenn nur die Multiplikation zweier Faktoren auch
für den Fall feststeht, dass diese Faktoren wieder Produkte sind.
Da nun, wenn die Faktoren wieder eingewandte Produkte sind, der
Sinn ihrer Multiplikation noch nicht festgestellt ist, so bedürfen
wir hier einer neuen Definition; und zwar müssen wir festsetzen,
welche Bedeutung eine beliebige Produktgrösse als erster Faktor,
und welche sie als zweiter Faktor habe. Wenn eine Grösse als
zweiter Faktor auftritt, so wollen wir sagen, es werde mit ihr mul-
tiplicirt, wenn als erster, sie selbst werde multiplicirt. Ich setze
nun fest, „mit einer Produktgrösse, welche auf die Form der Un-
terordnung gebracht, d. h. so dargestellt ist, dass jeder folgende
Faktor dem vorhergehenden untergeordnet sei, multipliciren heisse
mit ihren Faktoren fortschreitend *) multipliciren,“ und ferner
„eine Produktgrösse, welche auf die Form der Unterordnung ge-
bracht ist, mit irgend einer Grösse multipliciren heisse den letzten
Faktor der ersteren mit der letzteren multipliciren (ohne die frühe-
ren Faktoren zu ändern)“. Hierbei muss dann natürlich, damit
der Sinn der gesammten Multiplikation klar sei, die Stufe für eine
jede der einzelnen Multiplikationen, auf welche jene eine reducirt
wird, bestimmt sein. Dass diese Definitionen für jedes reale Pro-
dukt ausreichen, werde ich sogleich zeigen. Das Produkt wird näm-
lich als ein reales von geltendem Werthe erscheinen, wenn bei den
einzelnen Multiplikationen die Stufe der eingewandten Multiplikation
mit dem Grade der Abhängigkeit übereinstimmt; hingegen wird es
null werden, wenn der Grad der Abhängigkeit bei irgend einer die-
ser Multiplikationen die Stufe der Multiplikation übersteigt, indem
dadurch dann einer der Faktoren null wird. Bloss formale Bedeu-
tung wird es haben, wenn der Grad der Abhängigkeit irgendwo

*) Fortschreitend mit einer Reihe von Grössen verknüpfen heisst nach dem
schon früher eingeführten Sprachgebrauche so verknüpfen, dass das jedesmalige
Ergebniss der Verknüpfung mit der nächstfolgenden Grösse der Reihe verknüpft
wird.
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[198/0234] Das eingewandte Produkt. § 134 des gemeinschaftlichen austauscht; eine Beziehung, welche, wie wir sehen werden, bei der weiteren Entwickelung ihre Gültigkeit bei- behält. § 134. Das Produkt von drei und mehr Faktoren, zu welchem wir nun übergehen, kann stets auf das von zwei Faktoren zurück- geführt werden, wenn nur die Multiplikation zweier Faktoren auch für den Fall feststeht, dass diese Faktoren wieder Produkte sind. Da nun, wenn die Faktoren wieder eingewandte Produkte sind, der Sinn ihrer Multiplikation noch nicht festgestellt ist, so bedürfen wir hier einer neuen Definition; und zwar müssen wir festsetzen, welche Bedeutung eine beliebige Produktgrösse als erster Faktor, und welche sie als zweiter Faktor habe. Wenn eine Grösse als zweiter Faktor auftritt, so wollen wir sagen, es werde mit ihr mul- tiplicirt, wenn als erster, sie selbst werde multiplicirt. Ich setze nun fest, „mit einer Produktgrösse, welche auf die Form der Un- terordnung gebracht, d. h. so dargestellt ist, dass jeder folgende Faktor dem vorhergehenden untergeordnet sei, multipliciren heisse mit ihren Faktoren fortschreitend *) multipliciren,“ und ferner „eine Produktgrösse, welche auf die Form der Unterordnung ge- bracht ist, mit irgend einer Grösse multipliciren heisse den letzten Faktor der ersteren mit der letzteren multipliciren (ohne die frühe- ren Faktoren zu ändern)“. Hierbei muss dann natürlich, damit der Sinn der gesammten Multiplikation klar sei, die Stufe für eine jede der einzelnen Multiplikationen, auf welche jene eine reducirt wird, bestimmt sein. Dass diese Definitionen für jedes reale Pro- dukt ausreichen, werde ich sogleich zeigen. Das Produkt wird näm- lich als ein reales von geltendem Werthe erscheinen, wenn bei den einzelnen Multiplikationen die Stufe der eingewandten Multiplikation mit dem Grade der Abhängigkeit übereinstimmt; hingegen wird es null werden, wenn der Grad der Abhängigkeit bei irgend einer die- ser Multiplikationen die Stufe der Multiplikation übersteigt, indem dadurch dann einer der Faktoren null wird. Bloss formale Bedeu- tung wird es haben, wenn der Grad der Abhängigkeit irgendwo *) Fortschreitend mit einer Reihe von Grössen verknüpfen heisst nach dem schon früher eingeführten Sprachgebrauche so verknüpfen, dass das jedesmalige Ergebniss der Verknüpfung mit der nächstfolgenden Grösse der Reihe verknüpft wird.

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 198. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/234>, abgerufen am 20.05.2024.