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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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§ 135 Eingewandtes Produkt aus mehr Faktoren.
geringer ist als die Stufe der zugehörigen Multiplikation, ohne dass
anderswo das entgegengesetzte Verhältniss eintritt.

§ 135. Der Nachweis dafür, dass die aufgestellten Definitio-
nen für das reale Produkt ausreichen, fällt zusammen mit dem Be-
weise des Satzes, dass jedes reale Produkt sich auf die Form der
Unterordnung bringen lasse. In der That lässt sich nach § 132
zunächst das Produkt zweier reiner Faktoren (so können wir sol-
che Faktoren nennen, die nicht wieder als eingewandte Produkte
erscheinen) auf die Form der Unterordnung bringen. Kommt nun
zu einem solchen Produkt A . B, wo B dem A untergeordnet sei,
ein dritter reiner Faktor hinzu, welcher mit B im c-ten Grade der
Abhängigkeit steht, mit A im (c+d)-ten, während seine eigne Stu-
fenzahl c + d + e beträgt, so wird er sich darstellen lassen in der
Form CDE, wo C dem B (also auch dem A) untergeordnet ist, und
CD dem A, während sonst keine Abhängigkeit statt findet, voraus-
gesetzt nämlich, dass c, d, e die Stufenzahlen von C, D, E sind.
Ist dann das Produkt ein reales von geltendem Werthe, d. h. stimmt
die Stufe der Multiplikation mit dem Grade der Abhängigkeit über-
ein, so lässt sich zeigen, dass
[Formel 1] sei. In der That, da hier die Produktgrösse A . B in der Form der
Unterordnung erscheint, so wird sie mit einer andern Grösse CDE
multiplicirt, indem man den letzten Faktor mit derselben multipli-
cirt; also ist
[Formel 2]

Es ist aber B . CDE, da C dem B untergeordnet, und c der
Grad der Multiplikation ist, gleich BDE . C (nach § 132), also jenes
Produkt
[Formel 3]

Da hier C dem B, also auch dem BDE untergeordnet ist, so
multiplicirt man nach dem ersten Theil der Definition (§ 134) mit
BDE . C, indem man zuerst mit BDE und das Ergebniss dieser Mul-
tiplikation mit C multiplicirt. Nun ist aber A . BDE, da B und D,
also auch BD, dem A untergeordnet sind, und (b + d) den Grad
der Multiplikation darstellt, gleich AE . BD; also ist der obige Aus-
druck
[Formel 4]

§ 135 Eingewandtes Produkt aus mehr Faktoren.
geringer ist als die Stufe der zugehörigen Multiplikation, ohne dass
anderswo das entgegengesetzte Verhältniss eintritt.

§ 135. Der Nachweis dafür, dass die aufgestellten Definitio-
nen für das reale Produkt ausreichen, fällt zusammen mit dem Be-
weise des Satzes, dass jedes reale Produkt sich auf die Form der
Unterordnung bringen lasse. In der That lässt sich nach § 132
zunächst das Produkt zweier reiner Faktoren (so können wir sol-
che Faktoren nennen, die nicht wieder als eingewandte Produkte
erscheinen) auf die Form der Unterordnung bringen. Kommt nun
zu einem solchen Produkt A . B, wo B dem A untergeordnet sei,
ein dritter reiner Faktor hinzu, welcher mit B im c-ten Grade der
Abhängigkeit steht, mit A im (c+d)-ten, während seine eigne Stu-
fenzahl c + d + e beträgt, so wird er sich darstellen lassen in der
Form CDE, wo C dem B (also auch dem A) untergeordnet ist, und
CD dem A, während sonst keine Abhängigkeit statt findet, voraus-
gesetzt nämlich, dass c, d, e die Stufenzahlen von C, D, E sind.
Ist dann das Produkt ein reales von geltendem Werthe, d. h. stimmt
die Stufe der Multiplikation mit dem Grade der Abhängigkeit über-
ein, so lässt sich zeigen, dass
[Formel 1] sei. In der That, da hier die Produktgrösse A . B in der Form der
Unterordnung erscheint, so wird sie mit einer andern Grösse CDE
multiplicirt, indem man den letzten Faktor mit derselben multipli-
cirt; also ist
[Formel 2]

Es ist aber B . CDE, da C dem B untergeordnet, und c der
Grad der Multiplikation ist, gleich BDE . C (nach § 132), also jenes
Produkt
[Formel 3]

Da hier C dem B, also auch dem BDE untergeordnet ist, so
multiplicirt man nach dem ersten Theil der Definition (§ 134) mit
BDE . C, indem man zuerst mit BDE und das Ergebniss dieser Mul-
tiplikation mit C multiplicirt. Nun ist aber A . BDE, da B und D,
also auch BD, dem A untergeordnet sind, und (b + d) den Grad
der Multiplikation darstellt, gleich AE . BD; also ist der obige Aus-
druck
[Formel 4] 

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[199/0235] § 135 Eingewandtes Produkt aus mehr Faktoren. geringer ist als die Stufe der zugehörigen Multiplikation, ohne dass anderswo das entgegengesetzte Verhältniss eintritt. § 135. Der Nachweis dafür, dass die aufgestellten Definitio- nen für das reale Produkt ausreichen, fällt zusammen mit dem Be- weise des Satzes, dass jedes reale Produkt sich auf die Form der Unterordnung bringen lasse. In der That lässt sich nach § 132 zunächst das Produkt zweier reiner Faktoren (so können wir sol- che Faktoren nennen, die nicht wieder als eingewandte Produkte erscheinen) auf die Form der Unterordnung bringen. Kommt nun zu einem solchen Produkt A . B, wo B dem A untergeordnet sei, ein dritter reiner Faktor hinzu, welcher mit B im c-ten Grade der Abhängigkeit steht, mit A im (c+d)-ten, während seine eigne Stu- fenzahl c + d + e beträgt, so wird er sich darstellen lassen in der Form CDE, wo C dem B (also auch dem A) untergeordnet ist, und CD dem A, während sonst keine Abhängigkeit statt findet, voraus- gesetzt nämlich, dass c, d, e die Stufenzahlen von C, D, E sind. Ist dann das Produkt ein reales von geltendem Werthe, d. h. stimmt die Stufe der Multiplikation mit dem Grade der Abhängigkeit über- ein, so lässt sich zeigen, dass [FORMEL] sei. In der That, da hier die Produktgrösse A . B in der Form der Unterordnung erscheint, so wird sie mit einer andern Grösse CDE multiplicirt, indem man den letzten Faktor mit derselben multipli- cirt; also ist [FORMEL] Es ist aber B . CDE, da C dem B untergeordnet, und c der Grad der Multiplikation ist, gleich BDE . C (nach § 132), also jenes Produkt [FORMEL] Da hier C dem B, also auch dem BDE untergeordnet ist, so multiplicirt man nach dem ersten Theil der Definition (§ 134) mit BDE . C, indem man zuerst mit BDE und das Ergebniss dieser Mul- tiplikation mit C multiplicirt. Nun ist aber A . BDE, da B und D, also auch BD, dem A untergeordnet sind, und (b + d) den Grad der Multiplikation darstellt, gleich AE . BD; also ist der obige Aus- druck [FORMEL]

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 199. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/235>, abgerufen am 20.05.2024.