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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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Das eingewandte Produkt. § 135

Dieser Ausdruck hat die Form der Unterordnung, da C dem
B, also auch dem BD, BD aber dem A, also auch dem AE unterge-
ordnet ist. Somit lässt sich das fortschreitende Produkt von drei
reinen Faktoren stets auf die Form der Unterordnung bringen.
Kommt nun noch ein vierter Faktor hinzu, so kann man zuerst die
3 ersten auf die Form der Unterordnung bringen.

Es sei A . B . C diese Form. Tritt nun ein vierter Faktor hin-
zu, so muss, damit der Sinn der Multiplikation ein bestimmter sei,
festgesetzt sein, in welchem Grade der Abhängigkeit er mit jeder
der drei Grössen A, B, C stehen muss, wenn das Produkt einen
realen geltenden Werth haben soll; es möge dann der vierte Faktor
von C im d-ten Grade abhängig sein, von B im (d + e)ten, von A
im (d + e + f)ten Grade, während er selbst zur Stufenzahl d + e
+ f + g habe, so wird er sich in der Form DEFG darstellen lassen,
wo D dem C, E dem B, F dem A untergeordnet ist, und d, e, f, g
die Stufenzahlen von D, E, F, G darstellen. Dann kann man zei-
gen, dass
[Formel 1] sei. Denn es ist
[Formel 2] ,
da nämlich D dem C untergeordnet ist. Da nun CEFG . D in der
Form der Unterordnung erscheint, so kann man mit seinen einzel-
nen Faktoren CEFG und D fortschreitend multipliciren; B giebt
aber mit CEFG multiplicirt, da C und E, also auch CE dem B un-
tergeordnet sind, den Ausdruck BFG . CE. Man erhält also den
obigen Ausdruck
[Formel 3] ,
da nämlich B und F, also auch BF, dem A untergeordnet sind. Also
erscheint auch das fortschreitende Produkt aus vier reinen Faktoren
in der Form der Unterordnung, und es lässt sich schon übersehen,
wie ganz auf dieselbe Weise folgt, dass überhaupt ein fortschrei-
tendes Produkt aus beliebig vielen reinen Faktoren sich auf die
Form der Unterordnung bringen lässt. Ist nun aber dies der Fall,
so wird, da nach den Definitionen sich die Multiplikation überhaupt

Das eingewandte Produkt. § 135

Dieser Ausdruck hat die Form der Unterordnung, da C dem
B, also auch dem BD, BD aber dem A, also auch dem AE unterge-
ordnet ist. Somit lässt sich das fortschreitende Produkt von drei
reinen Faktoren stets auf die Form der Unterordnung bringen.
Kommt nun noch ein vierter Faktor hinzu, so kann man zuerst die
3 ersten auf die Form der Unterordnung bringen.

Es sei A . B . C diese Form. Tritt nun ein vierter Faktor hin-
zu, so muss, damit der Sinn der Multiplikation ein bestimmter sei,
festgesetzt sein, in welchem Grade der Abhängigkeit er mit jeder
der drei Grössen A, B, C stehen muss, wenn das Produkt einen
realen geltenden Werth haben soll; es möge dann der vierte Faktor
von C im d-ten Grade abhängig sein, von B im (d + e)ten, von A
im (d + e + f)ten Grade, während er selbst zur Stufenzahl d + e
+ f + g habe, so wird er sich in der Form DEFG darstellen lassen,
wo D dem C, E dem B, F dem A untergeordnet ist, und d, e, f, g
die Stufenzahlen von D, E, F, G darstellen. Dann kann man zei-
gen, dass
[Formel 1] sei. Denn es ist
[Formel 2] ,
da nämlich D dem C untergeordnet ist. Da nun CEFG . D in der
Form der Unterordnung erscheint, so kann man mit seinen einzel-
nen Faktoren CEFG und D fortschreitend multipliciren; B giebt
aber mit CEFG multiplicirt, da C und E, also auch CE dem B un-
tergeordnet sind, den Ausdruck BFG . CE. Man erhält also den
obigen Ausdruck
[Formel 3] ,
da nämlich B und F, also auch BF, dem A untergeordnet sind. Also
erscheint auch das fortschreitende Produkt aus vier reinen Faktoren
in der Form der Unterordnung, und es lässt sich schon übersehen,
wie ganz auf dieselbe Weise folgt, dass überhaupt ein fortschrei-
tendes Produkt aus beliebig vielen reinen Faktoren sich auf die
Form der Unterordnung bringen lässt. Ist nun aber dies der Fall,
so wird, da nach den Definitionen sich die Multiplikation überhaupt

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[200/0236] Das eingewandte Produkt. § 135 Dieser Ausdruck hat die Form der Unterordnung, da C dem B, also auch dem BD, BD aber dem A, also auch dem AE unterge- ordnet ist. Somit lässt sich das fortschreitende Produkt von drei reinen Faktoren stets auf die Form der Unterordnung bringen. Kommt nun noch ein vierter Faktor hinzu, so kann man zuerst die 3 ersten auf die Form der Unterordnung bringen. Es sei A . B . C diese Form. Tritt nun ein vierter Faktor hin- zu, so muss, damit der Sinn der Multiplikation ein bestimmter sei, festgesetzt sein, in welchem Grade der Abhängigkeit er mit jeder der drei Grössen A, B, C stehen muss, wenn das Produkt einen realen geltenden Werth haben soll; es möge dann der vierte Faktor von C im d-ten Grade abhängig sein, von B im (d + e)ten, von A im (d + e + f)ten Grade, während er selbst zur Stufenzahl d + e + f + g habe, so wird er sich in der Form DEFG darstellen lassen, wo D dem C, E dem B, F dem A untergeordnet ist, und d, e, f, g die Stufenzahlen von D, E, F, G darstellen. Dann kann man zei- gen, dass [FORMEL] sei. Denn es ist [FORMEL], da nämlich D dem C untergeordnet ist. Da nun CEFG . D in der Form der Unterordnung erscheint, so kann man mit seinen einzel- nen Faktoren CEFG und D fortschreitend multipliciren; B giebt aber mit CEFG multiplicirt, da C und E, also auch CE dem B un- tergeordnet sind, den Ausdruck BFG . CE. Man erhält also den obigen Ausdruck [FORMEL], da nämlich B und F, also auch BF, dem A untergeordnet sind. Also erscheint auch das fortschreitende Produkt aus vier reinen Faktoren in der Form der Unterordnung, und es lässt sich schon übersehen, wie ganz auf dieselbe Weise folgt, dass überhaupt ein fortschrei- tendes Produkt aus beliebig vielen reinen Faktoren sich auf die Form der Unterordnung bringen lässt. Ist nun aber dies der Fall, so wird, da nach den Definitionen sich die Multiplikation überhaupt

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 200. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/236>, abgerufen am 20.05.2024.