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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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§ 136 Das reale Produkt auf die Form der Unterordnung gebracht.
auf die fortschreitende Multiplikation reiner Grössen zurückführen
lässt, dasselbe auch von beliebigen realen Produkten gelten, näm-
lich dass

"jedes reale Produkt sich in Form der Unterordnung darstel-
len lässt."

Es reichen daher in der That die obigen Definitionen für das
reale Produkt aus, und die Form der Unterordnung, als die ein-
fachste, auf die sich das reale Produkt bringen lässt, bestimmt die
Bedeutung desselben.

§ 136. Es entsteht uns nun die Aufgabe, die verschiedenen
Umgestaltungen, welche nach der bis hierher geführten Darstellung
das eingewandte Produkt zulässt, in ein einfaches Hauptgesetz zu-
sammenzufassen, auf welches wir dann in der Folge stets zurück-
gehen können, wenn es sich um solche Umgestaltungen handelt.
Wir brauchen, um dazu zu gelangen, nur die im vorigen Paragra-
phen entwickelten Umgestaltungen weiter fortzuführen und in Worte
zu kleiden. Es ergab sich dort, dass
A . B . CDE = AE . BD . C
sei, wenn B dem A untergeordnet ist, C das System darstellt, was
CDE mit B, also auch mit A gemeinschaftlich hat, und CD das Sy-
stem darstellt, was CDE mit A gemeinschaftlich hat, und überdies
die Art der Multiplikation so angenommen ist, dass sie unter die-
sen Voraussetzungen einen geltenden realen Werth liefert. Unter
denselben Voraussetzungen ergiebt sich nämlich auch
[Formel 1] Denn
[Formel 2] und da EDB . C in der Form der Unterordnung erscheint, so multi-
plicirt man es (nach § 134) mit A, indem man C mit A multipli-
cirt; da C dem A untergeordnet ist, so ist hier nach § 133 die
Ordnung gleichgültig; man erhält also den zuletzt gefundenen Ans-
druck
[Formel 3] ;
da wieder A . C auf die Form der Unterordnung gebracht ist, so
kann man hier mit A und C fortschreitend multipliciren, und er-
hält den letzten Ausdruck

§ 136 Das reale Produkt auf die Form der Unterordnung gebracht.
auf die fortschreitende Multiplikation reiner Grössen zurückführen
lässt, dasselbe auch von beliebigen realen Produkten gelten, näm-
lich dass

„jedes reale Produkt sich in Form der Unterordnung darstel-
len lässt.“

Es reichen daher in der That die obigen Definitionen für das
reale Produkt aus, und die Form der Unterordnung, als die ein-
fachste, auf die sich das reale Produkt bringen lässt, bestimmt die
Bedeutung desselben.

§ 136. Es entsteht uns nun die Aufgabe, die verschiedenen
Umgestaltungen, welche nach der bis hierher geführten Darstellung
das eingewandte Produkt zulässt, in ein einfaches Hauptgesetz zu-
sammenzufassen, auf welches wir dann in der Folge stets zurück-
gehen können, wenn es sich um solche Umgestaltungen handelt.
Wir brauchen, um dazu zu gelangen, nur die im vorigen Paragra-
phen entwickelten Umgestaltungen weiter fortzuführen und in Worte
zu kleiden. Es ergab sich dort, dass
A . B . CDE = AE . BD . C
sei, wenn B dem A untergeordnet ist, C das System darstellt, was
CDE mit B, also auch mit A gemeinschaftlich hat, und CD das Sy-
stem darstellt, was CDE mit A gemeinschaftlich hat, und überdies
die Art der Multiplikation so angenommen ist, dass sie unter die-
sen Voraussetzungen einen geltenden realen Werth liefert. Unter
denselben Voraussetzungen ergiebt sich nämlich auch
[Formel 1] Denn
[Formel 2] und da EDB . C in der Form der Unterordnung erscheint, so multi-
plicirt man es (nach § 134) mit A, indem man C mit A multipli-
cirt; da C dem A untergeordnet ist, so ist hier nach § 133 die
Ordnung gleichgültig; man erhält also den zuletzt gefundenen Ans-
druck
[Formel 3] ;
da wieder A . C auf die Form der Unterordnung gebracht ist, so
kann man hier mit A und C fortschreitend multipliciren, und er-
hält den letzten Ausdruck

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[201/0237] § 136 Das reale Produkt auf die Form der Unterordnung gebracht. auf die fortschreitende Multiplikation reiner Grössen zurückführen lässt, dasselbe auch von beliebigen realen Produkten gelten, näm- lich dass „jedes reale Produkt sich in Form der Unterordnung darstel- len lässt.“ Es reichen daher in der That die obigen Definitionen für das reale Produkt aus, und die Form der Unterordnung, als die ein- fachste, auf die sich das reale Produkt bringen lässt, bestimmt die Bedeutung desselben. § 136. Es entsteht uns nun die Aufgabe, die verschiedenen Umgestaltungen, welche nach der bis hierher geführten Darstellung das eingewandte Produkt zulässt, in ein einfaches Hauptgesetz zu- sammenzufassen, auf welches wir dann in der Folge stets zurück- gehen können, wenn es sich um solche Umgestaltungen handelt. Wir brauchen, um dazu zu gelangen, nur die im vorigen Paragra- phen entwickelten Umgestaltungen weiter fortzuführen und in Worte zu kleiden. Es ergab sich dort, dass A . B . CDE = AE . BD . C sei, wenn B dem A untergeordnet ist, C das System darstellt, was CDE mit B, also auch mit A gemeinschaftlich hat, und CD das Sy- stem darstellt, was CDE mit A gemeinschaftlich hat, und überdies die Art der Multiplikation so angenommen ist, dass sie unter die- sen Voraussetzungen einen geltenden realen Werth liefert. Unter denselben Voraussetzungen ergiebt sich nämlich auch [FORMEL] Denn [FORMEL] und da EDB . C in der Form der Unterordnung erscheint, so multi- plicirt man es (nach § 134) mit A, indem man C mit A multipli- cirt; da C dem A untergeordnet ist, so ist hier nach § 133 die Ordnung gleichgültig; man erhält also den zuletzt gefundenen Ans- druck [FORMEL]; da wieder A . C auf die Form der Unterordnung gebracht ist, so kann man hier mit A und C fortschreitend multipliciren, und er- hält den letzten Ausdruck

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 201. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/237>, abgerufen am 19.05.2024.